Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 2

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1 Esercizi proposti i Fonamenti i Automatica - Parte Febbraio 5 Es. Dimostrare che le matrici A, a elementi reali, e A D, a elementi complessi, sono simili. α ω α + ω A, A ω α D α ω Es. Calcolare e A t e e A Dt. Es. 3 Data una generica matrice A caratterizzata alla coppia i autovalori λ α + ω e λ a cui corrisponono rispettivamente gli autovettori complessi u e u u u a + u b, con u a e {u }, u b Im {u } u a e u b vettori a elementi reali, la matrice T, a elementi reali, efinita in moo tale che T imostrare che T è tale a trasformare A in A A T A T 3 Es. Data una generica matrice A caratterizzata alla coppia i autovalori λ α + ω e λ a cui corrisponono rispettivamente gli autovettori complessi u e u u u a + u b, con u a e {u }, u b Im {u } u a e u b entrambi vettori a elementi reali, al risultato ell Es. 3 e alla iagonalizzazione i una matrice con autovalori istinti si ha T non singolare : T A T A T T D non singolare : T D u u Calcolare l evoluzione libera nello stato secono le ue alternative A D T D A T D e At x T ea t T x 5 e At x T D ea Dt T D x 6 N.B. Dalle relazioni 5 e 6 si possono efinire i seguenti vettori ca T c x x T ca x c b c a u a + c b u b 7 b c T D x x T c D x c u + u 8

2 con c a e c b coefficienti reali, mentre c e sono complessi; si pone c c a + c b, con c a e {c }, c b Im {c } 9 Le relazioni 7 e 8 illustrano come sia possibile esprimere il generico stato iniziale x sia nella base u a, u b vettori reali che nella base u, u vettori complessi. Si pone m, ϕ t.c. m c a + c b, c a m sin ϕ, c b m cos ϕ m D, ϕ D t.c. m D c a + c b, c a m D cos ϕ D, c b m D sin ϕ D Es. 5 Calcolare l evoluzione libera nello stato e in uscita el sistema ẋt xt + ut yt xt a partire a x / / Es. 6 Calcolare l evoluzione libera nello stato e in uscita el sistema ẋt xt + ut 3 a partire a yt xt x per aiutare la risoluzione ell esercizio, si fornisce uno egli autovalori λ 3

3 Bozze i soluzione i Esercizi proposti i Fonamenti i Automatica - Parte Sol. Si calcolano i polinomi caratteristici e gli autovalori p A λ et λi A λ αλ + α + ω p AD λ et λi A D λ αλ + α + ω A e A D hanno gli stessi autovalori complessi e coniugati λ α + ω, λ λ α ω Il cambiamento i coorinate che trasforma A nella matrice iagonale A D è un caso particolare i iagonalizzazione autovalori istinti matrice iagonalizzabile, caso i autovalori complessi e coniugati. Pertanto le ue matrici sono simili. Sol. Siano u r e u r u r gli autovettori associati rispettivamente a λ e λ ella matrice A, efineno iagonalizzazione T u r u r ur u r si ha A D T A T A T A DT e At T Si calcola prima e ADt sfruttano la formula i Eulero e ϕ cos ϕ + sin ϕ e A Dt e λ e α+ωt e λ e α ωt e αt e ωt e ωt e αt cos ωt + sin ωt cos ωt sin ωt Gli autovettori u r e u r u r associati a λ e λ i A sono ati a u r, u r T, T ea Dt T e è facile verificare che A D T A T. Continuano nel calcolo ell esponenziale i matrice, si ottiene e A t T ea Dt T eαt cos ωt + sin ωt cos ωt sin ωt. e αt cos ωt sin ωt sin ωt cos ωt Ovviamente si ottiene lo stesso risultato alla forma spettrale e A t e sfruttano le relazioni si ha e λt u r vr T + e λ t u rvr T e λ t e λt / / / / { e αt e ωt / e ωt + e ωt cos ωt, / / + e λ t / / / + e λ t / / / / e ωt e ωt e At e αt cos ωt sin ωt sin ωt cos ωt / / + e ωt / / / / e ωt e ωt } sin ωt 3 3

4 Sol. 3 Per efinizione i autovalore e autovettore si ha Au λ u α + ωu a + u b αu a ωu b + ωu a + αu b e Au Au a + u b Au a + Au b a cui, esseno A, u a e u b a elementi reali, Au a αu a ωu b α ω Au b ωu a + αu b ω α le quali si possono riscrivere A α ω ua u b ω α e cioè A T T A A T A T Si noti che il calcolo ell esponenziale i matrice può essere effettuato sfruttano sia la relazione preceente sia il calcolo i e At riportato in e At T ea t T Sol. Incominciano a 5 e sfruttano la 3 e At x T ea t T x e αt cos ωt sin ωt ca sin ωt cos ωt c b m e αt cos ωt sin ωt sin ωt cos ωt a 7 sin ϕ cos ϕ m e αt cos ωt sin ϕ u a u + sin ωt cos ϕ b sin ωt sin ϕ + cos ωt cos ϕ m e αt sin ωt + ϕ cos ωt + ϕ a e At x m e αt {sin ωt + ϕ u a + cos ωt + ϕ u b } 5 Calcolano l evoluzione libera nello stato alla 6, sfruttano la, la 8 la 9 e la e At x e ADt T D x e αt u u cos ωt + sin ωt ca + c b cos ωt sin ωt c a c b m D e αt u u cos ωt + sin ωt cos ϕd + sin ϕ D cos ωt sin ωt cos ϕ D sin ϕ D m D e αt cos ωt + sin ωtcos ϕ u a + u b u a u D + sin ϕ D b cos ωt sin ωtcos ϕ D sin ϕ D m D e αt {cos ωt cos ϕ D sin ωt sin ϕ D u a sin ωt cos ϕ D + cos ωt sin ϕ D u b } e At x m D e αt {cos ωt + ϕ D u a sin ωt + ϕ D u b } 6

5 nella quale sono state usate le note formule sinα + β sin α cos β + cos α sin β cosα + β cos α cos β sin α sin β Si noti che si arriva alla stessa espressione 6 esplicitano la forma spettrale ricorano la 8 e che v T u v T u e At x { e λt u v T + e λ t u v T x { e λt u v T + e λ t u v T c u + u c e λ t u + e λ t u sfruttano le relazioni, 9, e le posizioni u u a + u b c c a + c b m D c a + c b, c a m D cos ϕ D, c b m D sin ϕ D Confrontano le espressioni i 5 e 6, si potrebbe pensare i aver ottenuto ue risultati iversi. A tal proposito si noti che, esseno u + u u a, u u u b lo stato iniziale generico x si può riscrivere come x c a u a + c b u b c a u + u c a c b la quale, confrontanola con la 8 e la 9, implica c c a c b c a + c b + c b u u u + c a + c b u c a c a, c b c b Sostitueno tali espressioni nelle posizioni e sfruttano le si ha e pertanto c a c a c b c b m D c a + c b c a + c b m m D cos ϕ D m sin ϕ m D sin ϕ D m cos ϕ m D m sin ϕ cos ϕ D cos ϕ sin ϕ D In conclusione, le ue espressioni ell evoluzione libera 5 e 6 sono equivalenti in quanto valgono le relazioni m D m ϕ D ϕ π 7 8 5

6 Sol. 5 Autovalori e autovettori λ + u pertanto u a e {u }, λ λ u u, u b Im {u } e quini c a e c b evono essere tali che in alternativa si usa la formula 7 / x c / u a + c b u b c a + c b cioè c a, c b Si ottengono le quantità a cui m sin ϕ c a m cos ϕ c b m + ϕ 3π Dalla formula generale 5 si ha x l t e [sin t t + 3π e t cos t + 3π sin t + 3π + cos t + 3π mentre l evoluzione libera in uscita è ata a y l t e [cos t t + 3π + sin t + 3π ] ] In alternativa, voleno utilizzare la formula 6, si ha T D c T D x / / + e quini c / + / a cui c a / e c b /. Utilizzano le posizioni si ottiene m D + cos ϕ D c a m D sin ϕ D c b m D e cioè ϕ D π Le relazioni 7 e 8 sono ovviamente verificate; si ottiene x l t [ et cos t + π sin t + π ] e t cos t + 3π sin t + 3π 6

7 Sol. 6 Dal polinomio caratteristico e conosceno uno egli autovalori autovalori e autovettori λ 3 u p A λ λ 3 5λ + λ 5 λ 3λ λ + 5, λ + u +, λ 3 λ u 3 u Per il calcolo ell evoluzione libera nello stato, si può sfruttare sia la forma spettrale ell esponenziale 3 autovalori istinti sia il cambiamento i coorinate Per iagonalizzare la matrice A si sceglie T u u u 3 + T Dall espressione ell esponenziale i matrice 6, si generalizza facilmente la 8 che esprime lo stato iniziale in funzione ella base prescelta c α c T x x u u + u 3 Da c c a + c b si efiniscono le quantità m D e ϕ D π/, mentre a u si efiniscono u a e u b u a e{u }, u b Im{u } Infine si ottiene l evoluzione libera nello stato alla forma spettrale { 3 } e At x e λit u i vi T c α u + c u + u i c α e λt u + c e λt u + e λ t u c α e λt u + m D e αt {cos ωt + ϕ D u a sin ωt + ϕ D u b } e 3t + e t cos t π sin t π Ovviamente si arriva allo stesso risultato tramite il cambiamento i coorinate T u T 3 Si noti che T AT Inoltre si ha 3 c α c a c b 3 T x e m, ϕ. L evoluzione libera nello stato è pari a λ A TAT e t e λ t e A t x u + u a + u b e At x c α e λt u + m e αt {sin ωt + ϕ u a + cos ωt + ϕ u b } e 3t + e t sin t + cos t la quale fornisce lo stesso risultato preceente. L evoluzione libera in uscita si ottiene per semplice pre-moltiplicazione per C y l t Ce At x v T v T v T 3 7