Funzioni olomorfe e serie di potenze di una variabile complessa

Transcript

1 MATeXp Analisi infinitesimale Capitolo I37: Funzioni olomorfe e serie i potenze i una variabile complessa Contenuti elle sezioni a. Conizioni i monogeneità e funzioni olomorfe p.1 b. Serie i potenze e raggio i convergenza p.3 c. Serie i potenze come funzioni olomorfe nel loro cerchio i convergenza p.5. Serie esponenziale e serie logaritmica p.5 e. Serie per le funzioni circolari e trigonometria complessa p.5 f. Formule i Eulero e forma esponenziale ei numeri complessi p.6 g. Funzioni inverse elle circolari p.6 I37:0.01 In questo capitolo si introuce la nozione i funzione olomorfa associanola a quella i serie i potenze i una variabile complessa nel suo cerchio i convergenza. Successivamente si riprenono la funzione esponenziale, le funzioni trigonometriche e le funzioni loro collegate per consierarle funzioni olomorfe. I37:a. Conizioni i monogeneità e funzioni olomorfe I37:a.01 In questo capitolo ci occupiamo i funzioni univariate complesse, cioè i funzioni el genere {C C}. Quano sarà necessario istinguere le parti reali alle parti immaginarie scriveremo z = x + iy, cioè efiniremo x := R(z), y := I(z), e u(x, y) := R(f(z)) e v(x, y) := I(f(z)). Consieriamo una funzione w = f(z) {C C} che sia efinita in un insieme aperto e connesso A C e un punto z 0 A; istingueno parte reale e parte immaginaria scriviamo z = x + iy e w = u + iv. Consieriamo inoltre un cosietto incremento i z 0, h = z = x + i y iverso a 0 e variabile in un opportuno sottoinsieme i C tale che sia z + h A; iciamo poi rapporto incrementale ella f(z) relativo al punto z 0 e all incremento h l espressione f(z 0 + h) f(z). h Se il ite per h 0 i tale rapporto esiste unico e finito viene chiamato erivata ella f(z) in z 0 e si scrive f (z 0 ) = D z f(z) z=z0 = f(z) f(z 0 + h) f(z) z := ifle. z=z0 h 0 h In questo caso la funzione f(z) si ice erivabile in z 0. Osserviamo che eve esistere finito e unico il suetto ite per h tenente a 0 sia per valori reali che per valori immaginari; in altri termini evono esistere e coinciere f(z 0 + x) f(z) x 0 x e f(z 0 + i y) f(z) y 0 i y I37: Funzioni olomorfe e serie i potenze i una variabile complessa 1

2 Alberto Marini I37:a.02 Un esempio i funzione i {C C} erivabile per qualunque z 0 C è ato alla a n x con n intero naturale qualsiasi e a numero reale qualsiasi. Infatti per il relativo rapporto incrementale, come per il monomio reale, si ha a(z 0 + h) n n az 0 = naz n h ( ) n az n 2 0 h + 2 ( ) n az n 3 0 h ( ) n ah n 1 ; n passano al ite per h 0 l espressione preceente tene a naz 0 n 1. Si conclue che la funzione az n è erivabile per ogni z C e ha come erivata z zn = n a z n 1. I37:a.03 La linearità ella erivazione nel campo complesso consente i enunciare che tutte le funzioni polinomiali sono erivabili in ogni punto i C e vale l espressione z n n 1 a i z i = (i + 1) a i+1 z i. i=0 i=0 I37:a.04 Veiamo le conseguenze ell esistenza ella erivata finita i una funzione complessa f(z) = f(z 0 + h) f(z 0 ) u(x, y)+iv(x, y) in z 0 = x 0 +iy 0, cioè all esistenza e alla finitezza i = f (z 0 ). x 0 h Essa implica le ue seguenti relazioni ottenute consierano solo incrementi el punto z 0 sia reali che immaginari, cioè consierano, risp., h = x oppure h = i y [ u(x0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) + i v(x ] 0 + x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) = f (z 0 ) x 0 x x [ 1 u(x0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) + v(x ] 0, y 0 + y) v(x 0, y 0 ) = f (z 0 ) x 0 i x y Dalla prima elle preceenti si euce che u(x, y) e v(x, y) nel punto x 0, y 0 ammettono le erivate parziali rispetto a x e che si ha u x (x 0, y 0 ) + iv x (x 0, y 0 ) = f (z 0 ). Dalla secona si ricava che u(x, y) e v(x, y) nel punto x 0, y 0 ammettono le erivate parziali rispetto a y e che si ha v y (x 0, y 0 ) iu x (x 0, y 0 ) = f (z 0 ). Da questi enunciati si ottiene la seguente conclusione. (1) Prop.: Se la funzione complessa f(z) è erivabile in z 0 = x 0 + iy 0, allora valgono le seguenti uguaglianze u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ), u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ), Queste uguaglianze si possono riscrivere come u x = v y, u y = v x o in forma compatta Le preceenti uguaglianze sono ette conizioni i monogeneità. f x = 1 f i y Viceversa si mostra facilmente che se u(x, y) e v(x, y) in un intorno i z 0 = x 0 +iy 0 ammettono erivate parziali rispetto alle ue variabili x e y, queste sono continue e valgono le uguaglianze preceenti, allora f(z) := u(x, y) + iv(x, y) è erivabile in z 0 e si ha (2) f (z 0 ) = f x = 1 f i y. 2 I37: Funzioni olomorfe e serie i potenze i una variabile complessa

3 MATeXp Analisi infinitesimale Una funzione complessa efinita e otata i erivata finita in tutti i punti i un insieme aperto e connesso A viene etta funzione olomorfa o (secono la terminologia aottata a Cauchy) funzione monogena nell insieme aperto e connesso A. Se f(z) = u(x, y) + iv(x, y), con x e y variabili reali e u e v funzioni reali bivariate, è una funzione olomorfa in A I37:a.05 Per la erivazione elle funzioni i variabile complessa si imostrano, attraverso passaggi formalmente simili a quelli per le erivate i funzioni reali, le seguenti proprietà. (1) Prop.: La erivata i una costante è nulla (2) Prop.: La erivata i una combinazione lineare i funzioni erivabili è la combinazione lineare elle erivate: z [αf(z) + βg(z)] α z f(z) + β z g(z) (3) Prop.: La erivata el prootto i ue funzioni erivabili è ata a z [f(z) g(z)] = f(z) z g(z) + g(z) z f(z) (4) Prop.: La erivata ella potenza intera i una funzione erivabile è ata a z [f(z)]n = n[f(z)] n 1 z f(z) In particolare per le potenze negative z [f(z)] m = m[f(z)] m 1 z f(z). (5) Prop.: La erivata el quoziente i ue funzioni erivabili è ata a In particolare 1 g(z) = z g(z) g 2 (z). f(z) z g(z) = z f(z) g(z) f(z) z g(z) g 2 (z) I37:a.06 La relazione fra ifferenziabilità reale e complessa viene chiarita al seguente enunciato, non facile a imostrare. (i Looman-Menchoff) Teorema Se f(z) è continua, u(x, y) e v(x, y) hanno le ervate parziali prime e queste soisfano le conizioni i monogeneità :a.04(2), allora la f(z) è olomorfa. I I37:b. Serie i potenze e raggio i convergenza I37:b.01 Si ice serie i potenze i una variabile complessa z in un campo F una serie i funzioni i una variabile complessa ella forma (1) c 0 + c 1 (z a) + c 2 (z a) c n (z z) n + = c n (z a) n, ove a, c 0, c 1,... sono elementi el campo; a viene etto centro ella serie e n N : c n successione ei coefficienti ella serie. Nel seguito useremo l abbreviazione spvc per serie i potenze i una variabile complessa I37: Funzioni olomorfe e serie i potenze i una variabile complessa 3

4 Alberto Marini Per ogni n intero naturale la somma parziale n-esima s n (z) := c 0 + c 1 (z a) + c 2 (z a) c n (z z) n è un polinomio i grao n nella variabile z. Sono i grane importanza le serie i potenze convergenti i una variabile reale e i una variabile complessa, in quanto consentono i efinire importanti funzioni sui reali e sui complessi. Veremo che l ambiente nel quale risulta più opportuno stuiare sistematicamente queste serie è il campo complesso. In effetti queste serie costituiscono uno strumento cruciale per lo stuio elle [[funzioni analitiche]] (I38). In questo capitolo riguariamo soprattutto le serie i potenze i una variabile complessa che in linea i massima chiameremo semplicemente serie i potenze. Le spvc con centro nello zero el campo hanno la forma (2) c 0 + c 1 z + c 2 z c n z n + = c n z n, questa forma più semplice risulta spesso vantaggiosa e molte consierazioni su spvc specifiche riguarano serie con centro in 0. Spesso risulta conveniente riconurre lo stuio i una serie con centro generico a una serie con centro in 0 attraverso il cambiamento i variabile z a Z, traslazione nel campo complesso. I37:b.02 Ogni serie i potenze a.01(1) converge nel suo centro: infatti si riuce alla serie c Esistono serie che convergono uniformemente per ogni z C: questo è il caso ella cosietta serie esponenziale exp(z) = 1 + z + z2 2 + z zn n! + = + Infatti per la corrisponente serie ei mouli elle potenze si ha la convergenza per ogni valore i z z n+1 /(n + 1)! z grazie al criterio el rapporto, poiché n + z n = /n! n + n + 1 = 0. Vi sono serie i potenze che convergono in qualche punto i C ma non convergono in altri punti i tale piano. Questo è il caso ella serie geometrica z n z n n!. Infine esistono serie i potenze che convergono solo nel centro. Un esempio è ato alla serie n! z n : infatti si consieri un fissato z e la successione ei valori assoluti ei suoi termini n N : n! z n ; a (n + 1)! z n+1 essa si applica il criterio el rapporto che riguara n! z n = (n + 1) z ; questa quantità per n 2 è maggiore i 2 e questo implica la non convergenza ella serie. z I37:b.03 Si pone il problema i stabilire per ogni serie i potenze la forma el ominio i convergenza. (1) Teorema Data la spvc c 0 + c 1 (z a) + c 2 (z a) c n (z z) n +, o essa converge per ogni z C, o converge solo per z = 0 o esiste un numero positivo R tale che la serie converge per ogni z per il quale z < R e non converge per R < z. Dim.: I37: Funzioni olomorfe e serie i potenze i una variabile complessa

5 MATeXp Analisi infinitesimale Questo reale positivo R viene etto raggio i convergenza ella serie, il cerchio con centro nell origine e raggio R viene chiamato cerchio i convergenza ella serie e la sua circonferenza circonferenza i convergenza. I punti ella circonferenza i convergenza possono appartenere o meno al ominio i convergenza: questo ipene alle caratteristiche i ogni specifica serie i potenze. I37:b.04 Prop. Se per la serie in esame esiste finito o infinito c n n + c n+1, allora questo fornisce il raggio i convergenza ella serie. Dim.:..... I37:b.05 Esempi p580 I37:b.06 Teorema i Cauchy-Haamar Il raggio i convergenza R ella serie... 1 è espresso a sup n n + c n. Dim.:.... I37:b.07 In generale si possono consierare serie i potenze i variabile complessa aventi centro in un qualsiasi punto z C el piano complesso, cioè serie ella forma c 0 + c 1 (z z C ) + c 2 (z z C ) c n (z z C ) n +. Queste serie si possono consierare ottenute per traslazione a quelle con centro in 0, 0rg e anche per esse si efiniscono centro, cerchio e circonferenza i convergenza. Si trova quini che tutti i omini i convergenza sono insiemi che comprenono un cerchio aperto con centro nel centro ella serie, cioè ella forma {z C ST z z < R} e che escluono tutti i punti esterni alla circonferenza i raggio R; I37:c. Serie i potenze come funzioni olomorfe nel loro cerchio i convergenza I37:c.01 La convergenza assoluta elle serie all interno el loro cerchio i convergenza consente i erivare queste serie termine a termine. Questa nuova serie ha lo stesso raggio i convergenza; quini ogni funzione efinibile come somma i una serie i potenze è olomorfa nel cerchio i convergenza. I37:c.02 Ogni funzione olomorfa in un insieme aperto A in tale ominio è erivabile tante volte quante si vogliono e tutte le funzioni erivate sono olomorfe nell intero A. Come i polinomi anche le funzioni olomorfe sono monogene in tutti i punti interni el loro cerchio i convergenza. I37:. Serie esponenziale e serie logaritmica I37:.01 Serie esponenziale ha raggio i convergenza +, quini la funzione esponenziale è una funzione intera. SC1p284 Valgono le proprietà trovate in I35 per ogni x C I37: Funzioni olomorfe e serie i potenze i una variabile complessa 5

6 Alberto Marini I37:.02 La serie logaritmica ha raggio i convergenza uguale a 1. Essa converge anche per x = 1. SC1p289 I37:e. Serie per le funzioni circolari e trigonometria complessa I37:.01 I37:f. Formule i Eulero e forma esponenziale ei numeri complessi I37:f.01 Ricoriamo gli sviluppi in serie i Taylor elle funzioni esponenziale, seno e coseno. e x = 1 + x 1 + x2 2 + x3 3! + + xn n! + sin x = x 1 x3 3! + x5 x2n+1 + ( 1)n 5! (2n + 1)! + cos x = 1 x2 2 + x4 4! x6 x2n + + ( 1)n 6! (2n)! + Da queste si ricava l espressione e iθ (iθ) n = = cos θ + i sin θ n! I37:f.02 Si ottengono quini le seguenti formule i Eulero cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix 2 2i Si arriva quini alla forma esponenziale i un numero complesso z = ρe iθ = ρ(cos θ + i sin θ) Questa notazione risulta assai efficace in molte espressioni; a esempio abbiamo che la circonferenza goniometrica è l insieme ei numeri complessi ella forma {θ [0, 2π) : e iθ }. I37:g. Funzioni inverse elle circolari I37: f.01 SC1p Le varie componenti i questo testo sono accessibili in alberto 6 I37: Funzioni olomorfe e serie i potenze i una variabile complessa