DERIVATE DIREZIONALI ITERATE

Transcript

1 Analisi Matematica II, Anno Accaemico Ingegneria Eile e Architettura Vincenzo M. Tortorelli FOGLIO DI TEORIA n. 0 SVILUPPI DI TAYLOR DERIVATE DIREZIONALI ITERATE Se v R è non nullo è efinito l operatore ifferenziale i erivazione rispetto a v, che associa a una funzione f i variabili la sua eventuale erivata irezionale lungo v: ) ) f x) = f fx + tv) fx) f x) =: lim, x) = ρf x), ρ 0. v v t 0 t ρv v Se una funzione f è ifferenziabile in x si ha: f v x) = xf v = fx),v = v i f x i x). Se gt) =: fx+tv) si ha per la regola ella catena: g t) = f x + tv) = v )fx + tv). v Si osserva che si ottiene un polinomio omogeneo i primo grao, cioè un funzione lineare omogenea, nelle variabili v,...,v elle coorinate i v. Nel caso si usa la notazione: v = v, f x) = v fx) = v )fx). v Se f è ue volte ifferenziabile iterano questo tipo i erivata, e per v inipenente a x : ) ) f x) = f ) f 2 f v i = v i = v i v j x) v v v x i v x i x j x i cioè, enotano con Hfx) la matrice Hessiana elle erivate parziali secone in x: ) f x) = v Hfx)v = t v Hfx)v. v v Si osserva che si ottiene un polinomio omogeneo i secono grao, cioè una quarica omogenea nelle variabili v,...,v che anno le coorinate i v. ) 2 Si useranno quini anche le notazioni: v v = = 2 = v ) 2. v v 2 Se si efinisce gt) =: fx + tv) ) si ha per la regola ella catena: g t) = v v f x + tv) = 2 f v x + tv) = v 2 )2 fx + tv). Iterano h volte si useranno le notazioni: v... v = = h v v = v h )h. Se si efinisce gt) =: fx + tv) si ha per la regola ella catena iterata h volte : ) h h g f) t t) = x + tv) = h f h v v x + tv) = v h )h fx + tv), quini per t = 0 ) h ) v f = v + + v f = v f v i = v i v f x x x i x i Anche in questo caso si ottiene un polinomio omogeneo i grao h, nelle variabili v,...,v che anno le coorinate i v. Per metter in evienza la natura polinomiale, nelle coorinate ella irezione, i queste erivate irezionali successive conviene usare anche le notazioni relative ai multi-inici. j=

2 MULTINDICI Un vettore p = p,...,p ) N a componenti intere non negative, si ice -multi-inice La imensione si ice lunghezza el multi-inice. Si ice peso o norma è in effetti la norma l ): p = p i. p Dati ue multinici i egual lunghezza si ) scrive q) p per q) p,...,q p. p p Si efiniscono: p! = p!... p!, =..., p q, q q e per variabili y = y,...,y ) si pone y p =: y p...y p LEMMA:Sviluppo multinomiale) Si consierino le variabili A = A,...,A ), per cui A i + A j = A j + A i,a i A j = A j A i, A i A j + A k ) = A i A j + A i A k. Allora A i = A +...A = A +...A A i = h! p! Ap A p = h! p! Ap. DIM. Il prootto: A i = A + + A )...h fattori A +...A +) per istributività e commutatività è un polinomo omogeneo i grao h el tipo c p A p. Si tratta, fissato il multinice p = p,...,p ) i lunghezza e peso h, i calcolare c p, cioè i contare quante iverse scelte i aeni negli h fattori anno il monomio A p. Si tratta i contare: quante volte si sceglie: A in p fattori, A 2 in p 2 fattori,... A in p fattori. h. Tale numero i volte è appunto il coefficiente c p i A p nello sviluppo i i) ) A h Nell orine ato elle variabili: per A si hanno scelte i p fattori, quini per A 2 ne ) ) p ) h p h p p 2 p + p rimangono, per A 3,..., per A, per A rimane una p 2 ) p 3 ) ) p ) h h p h p p 2 p + p h! scelta i p fattori. Ma... = p!... p! = h! p!. p p 2 p 3 q. p La relazione tra le erivate irezionali e i monomi è chiarita alla seguenti convenzioni: D p = D p D p D p x = : p x p...x p ; quini la relazione con le erivate e i multi-inici è messa in evienza a: = p COROLLARIO: Qualora si possa scambiare l orine i erivazione si ha: v = v + + v = h! v p h x x p! x p DIM. Posto A i = v i x i piuttosto che il prootto tra numeri si consiera come prootto l iterazione successiva i ue erivazioni, e come somma la somma elle ue erivazioni. Cioè si consierano le erivazioni come operatori lineari a funzioni a funzioni con il prootto i composizione i operatori e la somma ata alla linearità egli operatori. Si osserva che per ipotesi le erivate commutano e per linearità si istribuiscono sulla somme. L asserto segue allo sviluppo multinomiale. Equivalentemente p

3 h f v hx0 + tv) = v fx 0 + tv) = i = i h = h f x i...x ih x 0 + tv) v i...v ih = = h! h f +tv) v p h f = h! p! x px0 p!...p! x p p + +p =h...x p x 0 +tv) v p...v p. Il ifferenziale i orine h si efinisce come il polinomio omogeneo i grao h nelle variabili v,...,v ato a D x h) f[v] = v fx). IL TEOREMA DI TAYLOR PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI TEOREMA Sia f : Ω R, x 0 Ω aperto in R, f C k Ω), e ifferenziabile k volte in x 0 le erivate parziali i orine k ifferenziabili in x 0 ). Allora a- esiste un polinomio Px) in x,...x, i grao k, per cui fx) Px) x x 0 k x x 0 0 cioè fx) = Px) + o x x 0 k ), per x x 0. b- Tale polinomio è unico e coincie con P k x) il polinomio i Taylor i grao k e centro x 0 : k h f k P k x) = ) = x x 0 ) ) k h fx 0 p f ) = h! x x 0 x0 h! p! x p x0 )x x 0 ) p. h=0 h=0 L ientità fx) = P k x) + o x x 0 k ) si ice sviluppo i Taylor i orine k e centro x 0, e la ifferenza fx) P k x) errore all orine k nello sviluppo. Si ha c- Se f è una funzione i classe C k+ in Ω allora il k-simo resto i Taylor i centro x 0 per f può essere scritto nella forma fx) P k x) = ove u è un punto el segmento i estremi x 0 e x p =0 p! Dp fu)x x 0 ) p, OSSERVAZIONE Come osservato inizialmente riguaro alle erivate irezionali secone: v ) 2 fx 0 ) = v Hfx 0 )v = t v Hfx 0 )v. Pertanto i polinomi i Taylor el secono orine si scrivono: P 2 x) = fx 0 ) + x x 0 ) fx 0 ) + 2 x x0 ) Hfx 0 )x x 0 ) = = fx 0 ) + x x 0 ) f x 0 ) + + x x 0 x ) f x 0 ) + x + x x 0 2 ) 2 f x 0 ) +...x x 2 x 0 ) 2 f ) x 0 ) + x x 2 i x 0 i)x j x 0 2 f j) x 0 ) x i x j L unicità el polinomio i Taylor è, tra l altro, utile nella pratica per ricavare polinomi i Taylor i funzioni i più variabili, a quelli notevoli i funzioni i una variabile, alle quali sono ottenute le prime per composizione. Dal polinomio i Taylor i centro x 0 e grao k, altrimenti calcolato, si possono quini h f ottenere, per p k, le erivate parziali ) moltiplicano per p! il coefficiente el x px0 monomio x x 0 ) p. i<j

4 DIM - Si mostra l unicità a priori. Dati ue polinomi P e Q, in variabili i grao k, con tale proprietà i approssimazione per f, il polinomio R = P Q, Rx) = c p x x 0 ) p, i p: p k Rx) grao minore o eguale a k, verifica: x x 0 0, x k x0. Fissato v, il polinomio i grao k i una variabile rt) = Rx 0 + vt) = t h c p v p è ot k ) per t 0. Pertanto ha coefficienti S h v) =: p: h k p: c p v p polinomi in v) che calcolano la funzione nulla e quini R calcola la funzione nulla. Per ottenere che i coefficienti c p i R sono nulli, lo si mostra per S h v) per inuzione sul numero i variabili. - Si mostra che il polinomio i Taylor soisfa la proprietà i approssimazione. Sia gt) = fx 0 + tv). Per x x 0 si pone v = x x0 x x 0, t = x x0. Pertanto fx) = fx 0 + tv). Se per tali t e v si usa lo sviluppo usuale i gt) in t = 0: fx 0 + tv) = gt) = = g0)+g 0)t+... k! gk 0)t k +ot k ) = fx 0 )+v )fx 0 )t+ + k! v ))k fx 0 )t k +ot k ) : fx) = fx 0 ) + x x 0 ) fx 0 ) + + x x 0 ) ) ) k fx 0 ) + o x x 0 k ) k! con resto o a priori ipenente alla irezione v, ovvero a x oltre che a x 0 e t = x x 0, in quanto g ipene a sia a x 0 che a x. Per l inipenenza alla irezione v ell anamento asintotico, per x x 0, i o, si usa la efinizione i Frechet ifferenzaibilità in x 0 elle erivate i orine k. Poichè la ifferenza tra fx) e il polinomio ha tutte le erivate parziali sino all orine k nulle in x 0 ci si riconuce a provare il seguente: LEMMA Se ϕ è C k Ω) con erivate parziali i orine k ifferenziabili in x 0, e tutte le erivate parziali sino all orine k sono nulle in x 0 allora ϕx) = o x x 0 k ). Per k = è la efinizone i ifferenziabilità i ϕ. Come sopra, con le stesse notazioni, si consiera lo sviluppo i Taylor i ϕx 0 + tv) i orine k 2 con resto i Lagrange teneno presente che tutte le erivate sono nulle in x 0, vi è θ con θ t : ϕx) = ϕx 0 + tv) = tk k )! v ))k ϕx 0 + θv) = tk v pk ϕ k )! x p x0 + θv) = p =k per ifferenziabilità in x 0 elle erivate i orine k, inipenemente a v e consierano che o θ ) è o t ) = tk v ) p k ϕ θv i ) + o t ) = tk v p o t ) = o t k ) k )! x i x px0 k )! p =k i p =k i c- Se f C k+ Ω) si ha la seguente imostrazione, che inipenente alla preceente, prova anche la proprietà i approssimazione el polinomio i Taylor i orine k +. Sia x x 0, v = x x0 x x 0, t = x x0. Pertanto fx) = fx 0 + tv). Sia gt) = fx 0 + tv). Usano il resto i Lagrange ello sviluppo i orine k i g vi è τ tra 0 e t per cui: fx) = fx 0 + tv) = gt) = g0) + g 0)t +... k! gk) 0)t k + k + )! gk+) τ)t k+ = = fx 0 ) + + x x 0 ) ) ) k fx 0 ) + x x 0 ) ) ) k+ fx 0 + τv). k! k + )! Per i teoremi i Schwarz e multinomiale si ha x x 0 ) ) ) k+ fx 0 + τv) = k + )! conclue la imostrazione con u = x 0 + τv. p! k+ f x p x0 + τv) x x 0 ) p. Ciò Prosegueno si ha, come sopra scritto, una

5 imostrazione meno riposta ella proprietà i approssimazione el polinomio i Taylor i grao k + nell ipotesi più forte f C k+ Ω): k+ f p! x p x0 ) x x 0 ) p k+ f p! x p x0 + τv) x x 0 ) p 0, per x x 0, x x 0 k+ infatti tale rapporto è minore uguale a: k+ f p! x p x0 ) k+ f x p x0 + τv) x x 0 ) p x x 0 k+, e il primo e il terzo fattore i ogni aeno son limitati, mentre il secono fattore è infinitesimo per x x 0 grazie all ipotesi i continuità elle erivate parziali i orine k + i f poichè τv t = x x 0.