Lavoro ed energia cinetica

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1 INGEGNERIA GESTIONALE corso i Fisica Generale Prof. E. Puu LEZIONE DEL 7 8 OTTOBRE 2008 Lavoro e energia cinetica 1

2 Il lavoro Il lavoro W fatto su un oggetto a un agente che esercita su i esso una forza costante è uguale al prootto ella componente ella forza lungo lo spostamento per lo spostamento stesso: W= F =F cos F Il lavoro può essere positivo, negativo, o nullo: 90 < <90 lavoro positivo L'unità i misura el lavoro è il Joule, 90 < <270 lavoro negativo efinito come il lavoro compiuto a una = 90, 90 lavoro nullo forza i 1 N che agisca parallelamente a = 0 lavoro massimo W=F uno spostamento i 1 m. = 180 lavoro minimo W= F Esseno il concetto i lavoro legato al movimento, se teniamo un corpo sollevato a una quota, allora il lavoro compiuto sarà nullo. Questa consierazione si può comprenere all'esempio: a) F b) F È comprensibile che la forza in figura c) abbia maggior efficacia! c) F 2

3 Lavoro fatto a una forza variabile Consieriamo un punto materiale che si muova lungo l'asse x sotto l'azione i una forza variabile F(x) alla posizione alla posizione. Non possiamo usare la relazione W=Fcos perché valia solo se F è costante!!! F(x) F(x) W=F x x F x1 F x2 F x3 Possiamo approssimare la forza con una poligonale i segmenti sufficientemente piccoli per cui la forza non vari apprezzabilmente all'interno i essi. Quini moltiplichiamo ogni forza appena costruita per lo spostamento corrisponente x, ricavano il lavoro W, e poi sommiamo tutti i lavori tra e. F x Al limite i x 0, la sommatoria tene all'integrale... x x W= F x x= F x x Quini il lavoro compiuto a una forza non costante lungo l'asse elle ascisse è l'area compresa tra la la curva che rappresenta la forza e l'asse elle ascisse stesso. 3

4 Lavoro fatto a una molla Una molla allungata o compressa rispetto alla posizione i equilibrio esercita una forza i richiamo F= kx (legge i Hooke). Se una molla viene compressa fino alla coorinata x= x max e a essa viene collegata una massa m, allora quano viene lasciata libera i muoversi questa sposterà la massa fino alla posizione x=x max (quano invece una molla viene allungata fino a x max, e quini viene lasciata libera, essa eserciterà una forza i richiamo e sposterà la massa fino a x max ). Il lavoro fatto alla molla per spostare il blocco i massa m alla posizione x= x max alla posizione x=0 è ato allora all'integrale ella forza calcolato tra le posizioni iniziali e finali: x Il lavoro ottenuto è positivo, com'era intuibile al fatto che forza e spostamento sono entrambi nel verso elle x positive (quini concori!!!). Il lavoro esercitato alla stessa molla per spostare il blocco i massa m a x=0 a x=x max è invece 0 W 1 = x max W 2 = 0 kx x= 1 2 k x 2 max x max kx x= 1 2 k x 2 max x max 0 +x max E è opposto al risultato ottenuto alla formula preceente, quini negativo. Anche questo risultato era intuibile al fatto che, mentre la molla esercitava una forza i richiamo iretta verso le x negative, il blocchetto si stava muoveno ancora nel verso elle x positive! Forza e spostamento erano antiparalleli! F(x) x F(x) x max 0 +x max 4

5 Lavoro fatto a una molla Quini il lavoro fatto a una molla per spostare un blocco i massa m tra le posizioni x max e +x max è la somma W=W 1 +W 2 ei ue lavori appena calcolati e quini è uguale a zero! Dal punto i vista analitico si osserva che le ue aree comprese tra la retta F(x)= kx e l'asse elle ascisse sono uguali in valore assoluto ma opposte in segno! F(x) x max +x max x Il lavoro ottenuto è positivo, com'era intuibile al fatto che forza e spostamento sono entrambi nel verso elle x positive (quini concori!!!). Il lavoro esercitato alla stessa molla per spostare il blocco i massa m alla posizione x=0 alla posizione x=x max è invece x max W= kx x= k x 2 max E è opposto al risultato ottenuto alla formula preceente, quini negativo. Anche questo risultato era intuibile al fatto che, mentre la molla esercitava una forza i richiamo iretta verso le x negative, il blocchetto si stava muoveno ancora nel verso elle x positive! Forza e spostamento erano antiparalleli! Il lavoro svolto contro la molla (per esempio a una persona che allunghi o comprima la molla, è opposto in segno ai risultati trovati in preceenza!) 5

6 Energia cinetica e teorema lavoro energia cinetica Supponiamo che un blocco i massa m sia spostato a una forza F che agisce lungo la retta per uno spostamento lungo la retta: W=F =ma Dove abbiamo usato la relazione F=ma, nota alla secona legge i Newton. Sfruttano ora la relazione, nota alla cinematica v 2 f v 2 i =2 a a = 1 2 v 2 f v 2 i E inserenola nell'equazione preceente, ricaviamo W=F =ma= 1 2 m v 2 f v 2 i = 1 2 m v 2 f 1 2 m v 2 i La quantità ½ mv 2 è sempre positiva e si chiama energia cinetica. L'energia cinetica si inica con la lettera maiuscola K e, come il lavoro, si misura in Joule. Possiamo allora alla relazione preceente affermare che il lavoro W compiuto su una massa m a una forza F è uguale alla sua variazione i energia cinetica K. Da questa affermazione capisco che, se su i un corpo compio un lavoro positivo, allora la sua velocità aumenterà; al contrario, se compio un lavoro negativo, la sua velocità iminuirà. La stessa imostrazione può essere svolta per mezzo el calcolo integrale: W= F x x =m a x x 6

7 Energia cinetica e teorema lavoro energia cinetica Usano ora il calcolo ifferenziale trasformiamo l'accelerazione in una funzione ella velocità a x = v t = v t e la sostituiamo nell'integrale preceente W =m x x = v x v f a x x=m v i x t = v x v v v x x v f =m v v= 1 v i 2 m v 2 f 1 2 m v 2 i 7

8 Casi con attrito inamico Consieriamo ora l'energia cinetica persa a causa ell'attrito inamico. Supponiamo che sul blocco i massa m agisca la sola forza i attrito inamico f k, f k E sfruttano la relazione cinematica v f2 v i2 =2a x otteniamo L'equazione i Newton per questo caso è f k =ma x Moltiplicano entrambi i membri la istanza percorsa otteniamo f k =ma x f k = 1 2 m v 2 f 1 2 m v 2 i Ovvero efiniamo il lavoro compiuto a una forza i attrito che agisce lungo una istanza come la variazione i energia cinetica i un corpo. Va notato che poiché la variazione i energia cinetica ottenuta è negativa, avremo che la velocità el corpo i minuisce, in accoro con la ecelerazione fornita alla forza i attrito inamico. 8

9 Potenza La potenza meia è efinita coma il lavoro compiuto nell'unità i tempo. Quini P= W t Consierano frazioni i tempo sempre più piccole, questo valore tene alla potenza L'unità i misura ella potenza è il Watt, e è la potenza ottenuta al lavoro i un J che agisca per un secono. Se la forza F che genera il lavoro è costante, allora avremo E quini P= lim t 0 P= W t W = F s P= W t = F s t = F s t = F v Nota: il kwh (chilowattora) è un'unità i misura el lavoro pari al prootto i un kw per un'ora i tempo 1kWh=10 3 J 3600s= J 9

10 Energia potenziale gravitazionale e elastica Energia potenziale gravitazionale Quano lasciamo caere un corpo sotto l'effetto ella forza i gravità (mg) allora la sua velocità aumenta man mano la sua velocità e, i conseguenza, la sua energia cinetica K. Allora questo significa che c'era ell'energia a spenere che si trasformasse in energia cinetica. Questa fonte i energia si chiama energia potenziale. Nel caso el campo gravitazionale essa è U g =mgy Dove y è l'altezza alla quale l'oggetto cae. Per comprenere questo ragionamento calcoliamo innanzitutto il lavoro compiuto al campo gravitazionale su un corpo che cae per una istanza e che parta a fermo (v=0 K=0) y y i mg W g =m g = mg j y f y i j=mgy i mgy f j j=1 (ove abbiamo sfruttato il fatto che ) y f y y i y f mg mg x mg La prima cosa che notiamo è che il lavoro fatto alla forza i gravità su un corpo che viene lasciato caere ipene solo alla quota iniziale e alla quota finale! Se il corpo segue un cammino qualsiasi, allora il lavoro svolto al campo gravitazionale è W g =m g =mgy i mgy f mg mg i j =mgy i mgy f (ove abbiamo sfruttato il fatto che i j=1 ) 10 x

11 Energia potenziale gravitazionale e elastica Quini il lavoro fatto alla forza gravitazionale ipene solo alla coorinata y, ovvero all'altezza. Poiché U i =mgy i e Uf=mgy f, allora Wg=U i U f = (U f U i )= U g II lavoro compiuto su un corpo a un campo gravitazionale è uguale all'opposto ella variazione ei energia potenziale gravitazionale el corpo stesso. Il lavoro fatto a una molla su un blocco i massa m per muoverlo alla posizione alla posizione è: Energia potenziale elastica W el = 1 2 k x 2 i 1 2 k x 2 f Il lavoro W el ipene solo alle coorinate iniziali e finali, e è quini nullo per ogni cammino chiuso. La funzione energia potenziale elastica che associamo è U el = 1 2 k x2 11

12 Forze conservative e non conservative Esistono forze per le quali il lavoro svolto ipene solo alla posizione iniziale e finale, altra in cui il lavoro svolto ipene al percorso seguito, come la forza i attrito. Le prime si chiamano conservative, le secone non conservative Forze conservative a) Una forza è conservativa se il lavoro svolto su un punto materiale che si sposta alla posizione A alla posizione B ipene solo alla posizione iniziale e finale. b) Il lavoro svolto a una forza conservativa su un punto materiale che si muove su un cammino chiuso è nullo. Per queste forze vale che: il lavoro svolto su un corpo è l'opposto ella variazione i energia potenziale W=U i U f = (U f U i )= U Forze non conservative Una forza è non conservativa se causa una variazione ell'energia meccanica E, efinita, punto per punto, come la somma ell'energia potenziale e i quella cinetica. Preniamo un corpo che scivoli su un piano con attrito fino a fermarsi. Inizialmente la sua velocità è v i e alla fine è v f =0. La sua energia totale quini è cambiata fino a annullarsi! 12

13 Forze conservative e energia potenziale Il lavoro fatto a una forza conservativa è W c = F x x= U ove F x è la componente i F lungo lo spostamento. Il lavoro compiuto a una forza conservativa è uguale, cambiata i segno, all'energia potenziale associata alla forza: U=U f U i = Energia potenziale significa che il corpo ha la potenzialità o capacità i aumentare la sua energia cinetica, i compiere un lavoro, nel caso sia libero i muoversi sotto l'effetto i una forza conservativa. Definiamo l'energia potenziale come F x x U f x = F x x U i x Poiché quel che cona nel calcolo i un lavoro è la ifferenza i energia potenziale e non il suo valore in una particolare posizione, possiamo arbitrariamente porre U i (x)=0. 13

14 Lavoro fatto a forze non conservative Se su un sistema agiscono forze non conservative, allora l'energia meccanica totale el sistema non si conserva. Lavoro svolto a una forza esterna Supponiamo i sollevare un corpo i massa m. Il lavoro che compiamo è W app. Poiché il lavoro è uguale alla variazione i energia cinetica, allora avremo che: Dove W g è il lavoro eseguito al campo gravitazionale el sistema massa Terra. Allora, poiché W g = U g, avremo che W app W g = k W app =U g k= E ovvero ageno esternamente su i un corpo (o sistema) possiamo fornire o togliere energia meccanica! Forze i attrito inamico La forza i attrito inamico è una forza non conservativa. Infatti questa, opponenosi al moto i un corpo, lo ferma azzeranone completamente l'energia cinetica. La istanza percorsa a un corpo che risenta ella forza i attrito è ata alla relazione energetica K att = f k ma se il piano su cui agisce la forza i attrito è inclinato, allora ci sarà anche una variazione i energia potenziale: E= U K att = f k 14

15 Relazione tra forze conservative e energia potenziale Ricoriamo che W=F x x= U nel caso i forze conservative. Allora vale la relazione infinitesima F x x= U, ovvero F x = U x Ogni forza conservativa che agisca su un corpo che è uguale alla erivata, cambiata i segno, ella funzione energia potenziale el sistema rispetto a x. Esempio: potenziale elettrostatico: U el = 1 2 k x2 F el = U el x = x 1 2 k x2 = kx 15