Controlli Automatici

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1 Controlli Automatici (Prof. Casella) II Prova in Itinere 3 Luglio 2014 TRACCIA DI SOLUZIONE

2 Domana 1 Si consieri il sistema i controllo schematizzato in figura. Definire la funzione i sensitività, illustrano quini il suo ruolo nella valutazione elle prestazioni el sistema. Tracciare infine un iagramma qualitativo el moulo ella sua risposta in frequenza, assumeno che la funzione 'anello soisfi le ipotesi el criterio i Boe. u n La funzione i sensitività è efinita come S(s) = 1/(1+R(s)G(s)). E' la f..t. tra il isturbo in linea i anata e l'uscita controllata ; in quanto tale, il suo iagramma el moulo esprime il fattore i attenuazione ei isturbi in linea i anata che si ottiene impiegano il regolatore in retroazione R(s). Per quanto riguara il iagramma i Boe el moulo, il suo anamento a frequenze inferiori alla pulsazione critica ω c è il simmetrico rispetto all'asse 0 B el iagramma el moulo ella funzione 'anello L(s) = R(s)G(s); a frequenze superiori alla pulsazione critica ω c è circa pari a 0 B, mentre attorno alla pulsazione critica ω c può avere un picco i risonanza, nel caso che il margine i fase sia inferiore ai 60. Complessivamente, l'anamento è quello i un filtro passaalto, corrisponente al fatto che il sistema i controllo rigetta efficacemente i isturbi a frequenze inferiori alla pulsazione critica (tanto più quanto più è alto il moulo ella funzione 'anello), mentre lascia sostanzialmente invariati quelli a frequenze superiori. Domana 2 Spiegare come si può implementare un regolatore i tipo PID aveno a isposizione un attuatore i tipo onoff che si presti a commutazioni frequenti senza particolari inconvenienti. Si può collegare l'uscita a un generatore a moulazione 'ampiezza 'impulsi (PWM), che a ogni perioo i campionamento accene l'attuatore per una frazione el perioo proporzionale alla ampiezza el segnale i controllo in quel perioo. Perché il sistema funzioni in moo simile a quello che si otterrebbe con un attuatore moulante, è necessario che perioo i campionamento sia molto piccolo rispetto al polo ominante el sistema a controllare e rispetto al tempo i risposta el sistema a anello chiuso. Il segnale onoff in uscita al generatore PWM può essere iealmente scomposto nella sua componente meia, che riflette i valori in uscita al regolatore PID, e in una componente a alta frequenza e meia nulla; il processo a controllare filtra la componente a alta frequenze, otteneno quini lo stesso anamento ell'uscita che si sarebbe ottenuto con un attuatore moulante.

3 Domana 3 Si consieri il seguente sistema i controllo (l'unità i misura elle costanti i tempo è il secono), ove R(s) è un regolatore PID reale con K p = 0.04, T i = 2, T = 0.4, N = 5: 50 G(s)= s(1+0.4s)(1+ 0.2s) H (s)= 50 s u 3.1 Calcolare l'errore a transitorio esaurito a fronte i variazioni a scalino unitarie el riferimento e el isturbo. Supposto che il sistema sia asintoticamente stabile (come risulta al valore el margine i fase calcolato al punto successivo), applicano il teorema el valore finale si trova che l'errore è nullo in entrambi i casi. n 3.2 Calcolare la pulsazione critica e il margine i fase el sistema i controllo. Tracciare quini un iagramma qualitativo ella risposta ella variabile controllata a uno scalino unitario applicato al riferimento. L(s)=0.04 (1+2s)(1+0.4s) 2s(1+0.08s) 50 s(1+0.4s)(1+0.2s) = 1+2s 2s ω c =2 ϕ m = atan(4) atan(0.4) atan(0.16)=45 2 s(1+0.2s)(1+0.08s) La risposta può essere approssimata a quella i una f..t. con guaagno unitario e una coppia i poli complessi coniugati con ω n = 2, ξ = Il tempo i assestamento è circa 5 s, lo pseuoperioo elle oscillazioni circa 3 s.

4 3.3 Valutare l'ampiezza asintotica elle oscillazioni ella variabile i controllo u a fronte i un anamento sinusoiale el isturbo in linea i anata con ampiezza unitaria e perioo pari a 100 seconi. La f..t. tra l'ingresso e l'uscita in questione è R(s)/(1+R(s)G(s)). Il isturbo ha una pulsazione i ra/s, quini si trova all'interno ella bana el sistema, ove tale funzione può essere approssimata come /G(s). Il iagramma el moulo i G(s) nell'intervallo attorno a quella frequenza è approssimabile a quello i 50/s, quini il moulo ella funzione i trasferimento cercata vale circa 1, che per il teorema ella risposta in frequenza è anche l'ampiezza asintotica elle oscillazioni i u. 3.4 Progettare un compensatore statico el isturbo, inicano in quale bana i frequenze esso risulti efficace. C(s) R(s) G(s) n Il compensatore ieale avrebbe funzione i trasferimento C * (s) = /G(s) = (1+0.4s)(1+0.2s), mentre il compensatore statico ha funzione i trasferimento C(s) = 1. La reiezione el isturbo a parte el compensatore è quini efficace nella bana i frequenze in cui C * (jω) C(jω), ossia per ω << 2.5 ra/s 3.5 Si supponga ora i porre N = 20. Spiegare sinteticamente quali effetti positivi e negativi ciò comporti sulle prestazioni el sistema. L'effetto positivo è un aumento el margine i fase i circa 7, con un aumento ello smorzamento elle risposte el sistema e una maggiore robustezza elle prestazioni el sistema rispetto alle incertezza sulla inamica el processo a controllare. L'effetto negativo è l'aumento i un fattore 4 el moulo ella sensitività el controllo a alta frequenza, il che comporta un effetto molto più accentuato ei isturbi a alta frequenza sul controllo.

5 Domana 4 Si consieri il seguente sistema i controllo (l'unità i misura elle costanti i tempo è il secono): 1 G(s)=0.1 (1+1000s)(1+200s)(1+100s) 1+s H (s)= s u 4.1 Progettare un regolatore i tipo PI (o PID, se necessario) con una bana i ra/s e un margine i fase i almeno 60. La specifica richiee ϕ m = G(jω c ) + R(jω c ) > 60. La fase G(jω c ) = 82, pertanto eve essere per soisfare la specifica occorre che R(jω c ) > > 38. Non occorreno un anticipo i fase alla pulsazione critica, si conclue che è sufficiente un regolatore PI per soisfare la specifica. Si può prenere a esempio: K p =15,T i =1000 ϕ m = Tracciare un iagramma qualitativo ella risposta ella variabile controllata a uno scalino el riferimento. Dato l'elevato margine i fase, in prima approssimazione il sistema rispone come un sistema el primo orine con guaagno unitario, costante i tempo 670 s e tempo i assestamento 3300 s.

6 4.3 Progettare uno schema i controllo che garantisca la stessa risposta ell'uscita e el controllo u a variazioni el isturbo ottenuta col regolatore progettato in preceenza, ma che permetta i riurre i un fattore 3 il tempo i assestamento a una variazione a scalino el riferimento. F(s) v Si può ricorrere a uno schema a ue grai i libertà con prefiltraggio el riferimento. La funzione i trasferimento tra v e può essere approssimata alla funzione F 1 (s) = 1/(1+670s)(1+200s)(1+100s), e ha un polo ominante con costante i tempo 670s. Anteponeno un filtro F(s) = (1+670s)/(1+223s) si ottiene una funzione i trasferimento tra e con le caratteristiche esierate, senza moificare la risposta el sistema al isturbo rispetto a quanto ottenuto al punto Tracciare lo schema a blocchi i una implementazione igitale el sistema progettato al punto 4.1. Nell'ipotesi che il ritaro i elaborazione sia pari all'intero perioo i campionamento T c, scegliere tale perioo in moo che la riuzione i margine i fase rispetto all'implementazione analogica non superi i 10. µp D/A G(s) A/D Il blocco A/D converte le misure a tempo continuo i in quantità igitali con un perioo T c. Il microprocessore esegue, sempre con perioo T c, un programma basato su algoritmi i calcolo numerico che approssima la inamica el regolatore PI progettato in preceenza. I valori calcolati sono poi convertiti in quantità analogiche al convertitore D/A e inviate agli attuatori el sistema. L'implementazione igitale aggiunge un ritaro alla funzione 'anello che è la somma el ritaro intrinseco i campionamento, pari a T c /2, e el tempo i elaborazione, che è pari a T c. La perita i margine i fase è quini pari a: Δ ϕ m = 3 2 T ω 180 c c π > 10 a cui si ricava T c < 78 s.