Regolatori PID. Regolatori standard con parametri regolabili:

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1 Regolatori PID Regolatori stanar con parametri regolabili:

2 La variabile i controllo è la somma i tre contributi non sempre presenti contemporaneamente): Cs) KP + KI / s + KD s C s) K + + s i s Vantaggi: controllo soisfacente i un ampia gamma i processi semplicità i taratura in assenza i un moello el processo ampia isponibilità commerciale basso costo

3 effetto ell azione proporzionale: aumenta il guaagno i anello estabilizzante) effetto ell azione integrale: migliora le prestazioni a regime estabilizzante) effetto ell azione erivativa anticipatrice): migliora il transitorio stabilizzante) risposta al graino i un sistema con regolatore proporzionale A B A: errore > erivata < B:errore > erivata > L azione i controllo è maggiore se l errore è crescente e minore se l errore è ecrescente

4 Regolatori P: per processi a.s., quano le prestazioni statiche non richieono l uso ell azione I Regolatori I: è necessaria l azione integrale per le prestazioni a regime, è ammissibile un restringimento i bana Regolatori PI: è necessaria l azione integrale per le prestazioni a regime, non è ammissibile un restringimento i bana si introuce uno zero) Regolatori PD: non è necessaria l azione integrale, si vuole aumentare la bana

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7 + + s s K s C i ) La f.. t.: non è fisicamente realizzabile, si eve aggiungere un polo 2 5 ) N N s s s K s C i

8 LIMIAZIONE DELL AZIONE DERIVAIVA Cambiamento brusco el riferimento

9 MEODI DI ARAURA EMPIRICI ZIEGLER-NICHOLS) ANALIICI ZIEGLER-NICHOLS A CAENA APERA Si rileva sperimentalmente la risposta al graino el sistema a catena aperta s e P s) k R k / τ +τs P K i /R PI.9/R /.3 PID.2/R 2 /2 Coeff. smorzamento.2:

10 ZIEGLER-NICHOLS A CAENA CHIUSA Si rileva sperimentalmente la risposta la graino el sistema controllato a catena chiusa con regolatore proporzionale, al variare el guaagno Margine i fase 6b: k i P.5Kp PI.45Kp.8 È presente l errore a regime perché non c è azione integrale PID.6Kp.5 /8

11 Sintesi con il metoo a catena aperta >> g/s+)*s+2)*s+)) s^3 + 3 s^ s + 2 >> stepg).5.45 Step Response Amplitue ime sec)

12 .5 Step Response Amplitue ime sec) G s).3s e.5 +.2s

13 >> gappr.5/+.2*s) s Step Response g gappr >> gappr.inputelay.3.5 exp-.3*s) * s + Amplitue >> stepg,gappr) ime sec)

14 Proviamo a migliorare l approssimazione: >> gappr.5/+.5*s).5 Step Response s + >> gappr.inputelay.2.5 exp-.2*s) * s + Amplitue >> stepg,gappr) ime sec)

15 >> g.5/+.2*s) St ep Response g g s + >> g.inputelay.2.5 exp-.2*s) * s + >> stepg,g) Amplitue ime sec) La stima è sufficientemente accurata

16 K.5.2 τ.5 s e P s) k R k / τ +τs K i P /R PI.9/R /.3 PID.2/R 2 /2 Regolatore proporzionale: >> tau.5 >> k.5 >>.2 >>Rk/tau >> kp/r*) kp 5.

17 Prestazioni el regolatore P >> wpfeebackkp*g,).5e s^3 + 3 s^ s +.7e5 >> wfeebackg,) Amplitue Step Response wp w s^3 + 3 s^ s + 2 >> stepwp,w) ime sec)

18 Regolatore PI Amplitue Step Response ime sec) Abbiamo annullato l errore a regime, la inamica non va bene wpi w wp P K i /R PI.9/R /.3 PID.2/R 2 /2 >> ti/.3 ti.666 >> kpi.9/r*) kpi 35. >> cpikp*+/ti*s)) s s >> wpifeebackcpi*g,) e4 s +.5e s^ s^ s^2 +.33e4 s +.5e5 >> stepwpi,w,wp)

19 Amplitue Regolatore PID Step Response ime sec) Il transitorio è migliorato wpi wpi >> kpi.2/r*) kpi 8 >> ti2* ti.4 >> t.5* t. >> cpikpi*+/ti*s)+t*s).72 s^ s s >> wpifeebackcpi*g,) P K i /R PI.9/R /.3 PID.2/R 2 /2 72 s^ s +.8e s^ s^3 + 2 s^2 + 8 s +.8e5 >>

20 Sintesi con il metoo a catena chiusa >> g/s+)*s+2)*s+)) s^3 + 3 s^ s + 2 >> wfeebackg,) Step Response s^3 + 3 s^ s + 2 >> stepw) Amplitue ime sec)

21 Aumentiamo il guaagno el regolatore proporzionale.4 Step Response.2 >> wfeebackg*,) s^3 + 3 s^ s + 2 >> stepw) Amplitue ime sec)

22 Aumentiamo il guaagno el regolatore proporzionale >> wfeebackg*2,).5 Step Response s^3 + 3 s^ s + 22 >> stepw) Amplitue ime sec)

23 Aumentiamo ancora il guaagno.8 Step Response.8 Step Response Amplitue.8 Amplitue ime sec) ime sec) k3 k35

24 Step Response 2 Step Response Amplitue -2 Amplitue ime sec).5.5 ime sec) k4 k396 Scegliamo k396

25 >> kp396/2 kp 98 >> wpfeebackg*kp,) s^3 + 3 s^ s + 28 >> wfeebackg,) s^3 + 3 s^ s + 2 >> stepw,wp) Amplitue.5.5 Step Response ime sec) w wp

26 Calcoliamo il perioo: System: w ime sec):.39 Amplitue:.75 Step Response System: w ime sec):.55 Amplitue: Amplitue ime sec)

27 >> ti.8*. ti.88 >> cpikp*+/ti*s)) 5.68 s s >> wpifeebackcpi*g,) Step Response 2.568e4 s +.782e s^ s^ s^ e4 s +.782e5 >> stepwp,wpi).4.2 Si eve ancora migliorare la inamica, usiamo un PID Amplitue ime sec)

28 >> kpi.6*396 kpi Step Response >> ti.5*. ti.55 >> t.25*. t.375 >> cpikpi*+/ti*s)+t*s).797 s^ s s >> wpifeebackcpi*g,) 797 s^ s s^ s^ s^ s >> stepwpi) Amplitue ime sec)

29 Analisi in frequenza a ciclo aperto Boe Diagram 5 Magnitue B) -5 - Phase eg) P*g PI*g PID*g Frequency ra/sec)

30 Analisi in frequenza a ciclo chiuso 5 Boe Diagram Magnitue B) -5 - Phase eg) wp wpi wpi Frequency ra/sec)

31 Esercizio proposto Progettare, utilizzano sia il metoo i Ziegler e Nichols a catena aperta che quello a catena chiusa un regolatore P, un regolatore PI e un regolatore PID per il processo: g5/s+)*s+2)*s+5)) Analizzare le prestazioni ei regolatori progettati nel ominio el tempo e ella frequenza

32 Metoo analitico i taratura Si vuole moificare, tramite il regolatore PID, la funzione i risposta armonica il iagramma i Nyquist) el processo a una eterminata pulsazione OA: P ϖ ) exp arg P ϖ )) OB : C ϖ ) P ϖ ) exp arg C ϖ ) P ϖ ))

33 Si vuole quini che sia: )) arg )) arg ) arg ) ) ϖ ϖ ϖ ϖ P C OB P C OB + a cui: )) arg ) arg )) arg ) ) ϖ ϖ ϖ ϖ P OB C P OB C sceglieno: )) arg )) arg ) ) ϖ π ϖ ϖ ϖ ϕ P M C P C ) arg ha : si OB M OB t π ω ϖ ϕ

34 )) arg )) arg ) ) ϖ π ϖ ϖ ϖ ϕ P M C P C k i k ω ω ω) C )) arg ω C poiché: + i k k C ω ω ω ) Al variare ei parametri la fase introotta al PID varia tra -9 e 9 per un PD la variazione introotta è tra e 9 per un PI la variazione introotta è tra -9 e

35 Noti i valori i moulo e fase i Cs) alla pulsazione i attraversamento i possono quini ricavare i parametri alle formule: k C ω ω t t t ) ω i cosarg C ω t )) tanarg C ω t )) Poiché si hanno 3 parametri liberi e ue conizioni, si può imporre il valore esierato i errore alla rampa tramite la relazione: k v k i P) oppure imporre: i 4

36 P s) s specifiche : e _ step ω 2ra t Mϕ 3 + 2) s / sec + 5) esempio Serve un PI o PID tale che: C 2) ϕ C P 2) arctg C 2) P 2) 3 8 ϕ 2) arctg C ϕ C ,25 4,4 2) E un anticipo quini serve un PID

37 k i k ω ω ω) C )) arg ω C i i k C s s k s C 2 2 2) ) + + s s k s C tg k i i.2.8 ).8.2 4,4 6,8*2*4 2*2*4,8 2*4 2,8 2 2,25) 4,77 4,4 cos.25) 2 2

38 >> mop/sqrt2^2+2^2)*sqrt2^2+5^2)) mop.243 >> moc/mop moc >> fasec3-8+atan2/2)i+atan2/5) fasec.2532 >> kmoc*cosfasec) k tanfasec) ans.89 2*2*4 ans 6 >>.8*2*4 ans 4.4 >> roots[ ]) ans

39 >> ck*+/4*.29*s) +.29*s).372 s^ s s >>boep,p*c) Magnitue B) Phase eg) B oe Diagram senza PID -45 con PID Frequency ra/sec)

40 >> wfeebackp,).5 Step Response w wpi s^2 + 7 s + >> wpifeebackp*c,) Amplitue s^ s s^ s^ s >> stepw,wpi) ime sec)

41 Integratore ANIWINDUP