Regolazione e Controllo dei Sistemi Meccanici 16 Settembre 2005

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1 Numero i matricola Regolazione e Controllo ei Sistemi Meccanici 6 Settembre 25 = α = β = γ = δ Si consieri il moello monotraccia i autoveicolo con pneumatici rilassati riportato in fig.. Si inichino con u e v le componenti longituinale e laterale ella velocità el baricentro e con r la velocità i rotazione (o i imbarata ) el veicolo. Il veicolo può essere consierato in prima approssimazione otato i moto piano. F y Fy2 v α δ α 2 u r F l b a Figure : Moello monotraccia i autoveicolo Nel caso in cui sul veicolo agisca una forza esterna laterale F l ovuta al vento e applicata in corrisponenza ell assale posteriore il moello può essere escritto in base alle seguenti equazioni { m( v + ur) = Fy + F y2 + F l con pneumatici rilassati escritti alle equazioni Jṙ = F y a F y2 b F l b F u y + F y = C α F u y2 + F y2 = C 2 α 2 e angoli i eriva α e α 2 legati all angolo i sterzo anteriore δ in base alle relazioni lineari α = δ v + ra u α 2 = v rb. u Sia m = 2 + α kg la massa el veicolo J = 68 + β kgm2 il suo momento i inerzia rispetto al baricentro a =.2 m e b =.4 m i semipassi anteriore e posteriore C = C 2 = + γ N ra le rigiezze i eriva ell assale anteriore e ell assale posteriore =.25 m la lunghezza i rilassamento ei pneumatici. La velocità longituinale u è supposta costante e pari a 2 + δ m s. Il veicolo è otato i un sistema i guia automatica che ageno sull angolo i sterzo anteriore δ permette l inseguimento i riferimenti i velocità i imbarata r. A Si etermini una rappresentazione in forma i stato el sistema consierano come ingressi l angolo i sterzo anteriore δ e la forza laterale F l e come uscita la velocità i imbarata r. B Si eterminino le funzioni i trasferimento che legano l uscita r ai ue ingressi δ e F l rispettivamente. C Si escriva l effetto a regime sulla velocità i imbarata r i un angolo i sterzo sinusoiale δ (t) = δ sin t quano la forza laterale ovuta al vento sia costante e pari a F l = F l. D Si consieri il progetto i un controllore in retroazione che utilizzi la misura ella velocità i imbarata r e il controllo ell angolo i sterzo anteriore δ in moo a soisfare le specifiche riportate nel seguito. Si escriva nel ettaglio la proceura i progetto commentano i passaggi effettuati; si riportino i iagrammi i Boe utilizzati e l espressione analitica el controllore ricavato. D Se la forza laterale ovuta al vento F l è nulla il controllore eve garantire a regime errori nulli nell inseguimento i riferimenti i velocità i imbarata a graino e a rampa. D2 Sempre consierano F l (t) = il tempo i assestamento T a eve essere minore o uguale a 3 seconi e la massima sovraelongazione minore o uguale al 3%. D3 Sempre consierano F l (t) = eve essere garantita un attenuazione i un fattore 5 elle componenti el rumore i misura sulla velocità i imbarata r con frequenze pari o superiori a Hz. D4 Nel caso in cui sul veicolo agisca una forza laterale F l sinusoiale con frequenza pari o inferiore a.5 Hz il controllore eve garantire l attenuazione i un fattore 5 elle componenti in uscita ovute a questo isturbo.

2 Soluzione A Sostitueno le espressioni egli angoli i eriva α e α 2 nelle equazioni ifferenziali che escrivono il comportamento ei pneumatici si ottiene la rappresentazione in forma i stato el sistema ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du con x = [ v r F y F y2 ] T u = [ δ F l ] T e y = r. Le matrici A B C D risultano: A = u m a J C C 2 B = [ B δ B F ] C = [ ] D = [ ] m b J C a u C 2 b u = m b J C u B L-trasformano le equazioni el moto si ottengono le seguenti funzioni i trasferimento tra l uscita r e i ue ingressi δ e F l : G δ (s) = macus2 +mac u 2 s+c C 2u(a+b) p 4 s 4 +p 3 s 3 +p 2 s 2 +p s+p G F (s) = (s+u)[mbs2 +mbus+c (a+b)] p 4 s 4 +p 3 s 3 +p 2 s 2 +p s+p ove i coefficienti el polinomio a enominatore elle ue f..t. valgono p 4 = Jm 2 p 3 = 2Jmu p 2 = J(C + C 2 ) + m(c a 2 + C 2 b 2 ) + Jmu 2 p = Ju(C + C 2 ) + mu(c a 2 + C 2 b 2 ) + mu(c 2 b C a) p = C C 2 (a + b) 2 + mu 2 (C 2 b C a). Nel caso α = β = γ = δ = sostitueno i valori numerici ai vari parametri si ottiene: G δ (s) = 574s s s 4 +6s s s G F (s) =.8333s3.333s s 4.27 s 4 +6s s s I poli elle ue f..t. sono in ±.759i e.496 ± 4.87i: G δ e G F sono quini asintoticamente stabili in anello aperto. I relativi iagrammi i Boe vengono riportati in fig. 2 e 3. C Per eterminare l effetto combinato che a regime hanno un angolo i sterzo δ sinusoiale e una forza laterale F l costante agenti contemporaneamente è possibile applicare il principio i sovrapposizione egli effetti valio in campo lineare. In base a questo principio è possibile calcolare l effetto che a regime avrebbero i ue ingressi se agissero uno alla volta e sommare semplicemente i ue effetti così ottenuti. Per eterminare la risposta a regime corrisponente a un ingresso δ (t) = δ sin(t) è sufficiente applicare il teorema ella risposta armonica alla f..t. asintoticamente stabile G δ (s).

3 L espressione risultante consierano il fattore i amplificazione δ e la pulsazione ω = ra s è quini: yr(t) = δ G δ (j ω) sin ( ωt + arg(g δ (j ω))) = δ sin (t.836). Per eterminare invece l effetto a regime che una forza laterale F l a graino i ampiezza F l causa sull uscita consierano ienticamente nullo l angolo i sterzo anteriore δ basta applicare il teorema el valore finale: lim y(t) = lim sy (s) = lim sg F (s) F l t s s s = lim G F (s) F l = F l uc (a + b)/p = F l s Sfruttano il principio i sovrapposizione egli effetti nel caso in cui i ue ingressi agiscano contemporaneamente la risposta el sistema a regime è la somma elle ue risposte preceentemente calcolate. D Lo schema i controllo a realizzare è riportato in fig. 4. Poiché il sistema a controllare G δ (s) è asintoticamente stabile in anello aperto è possibile proceere al progetto el controllore irettamente in base ai iagrammi i Boe ella f..t. i anello C(s)G δ (s). Si faccia quini riferimento a un controllore el tipo C(s) = K s t C (s) con C () =. D) La funzione i trasferimento G δ (s) non ha poli nell origine. Quini per avere a regime errore nullo nell inseguimento i riferimenti a graino e a rampa è necessario che il controllore abbia ue poli nell origine. Il tipo t el controllore risulta quini t = 2. I iagrammi i Boe ella funzione i trasferimento i anello C(s)G δ (s) con C(s) = s 2 vengono riportati in fig. 5. D2) Poiché la massima sovraelongazione ammissibile nella risposta al graino è el 3% è possibile approssimare il sistema in anello chiuso a un sistema el secono orine e utilizzare quini un approssimazione a ue poli ominanti. Per un sistema el secono orine la relazione che lega la sovraelongazione allo smorzamento ei poli è S = e πδ δ 2. Nota la massima sovraelongazione ammissibile è possibile ricavare lo smorzamento minimo δ; nel caso specifico si trova δ = Il minimo margine i fase ammissibile vale quini Mf 36 grai. Per soisfare la specifica sul tempo i assestamento è necessario a questo punto utilizzare la relazione ω T 3 T a = 2.79 ra δ s. Il iagramma ell ampiezza ella funzione i trasferimento C(s)G δ (s) eve quini attraversare l asse a zero b per pulsazioni maggiori i 2.79 ra s. Dai iagrammi i Boe riportati in fig. 5 si euce che per soisfare queste specifiche è necessario inserire uno o più zeri a bassa frequenza e abbassare il guaagno ella f..t. i anello C(s)G δ (s). Insereno a esempio uno zero in.5 e abbassano il guaagno a.7 si ottiene un margine i fase i 46.8 grai e una pulsazione i taglio i 8.3 ra s. I iagrammi i Boe ella funzione i trasferimento i anello C(s)G δ (s) relativi al controllore C(s) =.7 2s+ s 2 vengono riportati in fig. 6. D3) La funzione i trasferimento tra l uscita y e il rumore i misura ν è: Y (s) = C(s)G δ(s) + C(s)G δ (s) ν(s). Per soisfare la specifica i reiezione el isturbo i misura è necessario soisfare la relazione: C(jω)G δ (jω) + C(jω)G δ (jω) < 5 = b. Poiché nel campo i frequenze i interesse vale C(jω)G δ (jω) la relazione a soisfare risulta in prima approssimazione: C(jω)G δ (jω) b < b per ω > 628 ra s. Questa specifica può essere verificata insereno un polo in alta frequenza a esempio in -. I iagrammi i Boe ella funzione i trasferimento i anello C(s)G δ (s) 2s+ con C(s) =.7 s 2 (.s+) vengono riportati in fig. 7. D4) La funzione i trasferimento tra l uscita y e la forza i isturbo F l è: Y (s) = G F (s) + C(s)G δ (s) F l(s).

4 Per soisfare la specifica i reiezione el isturbo F l è necessario soisfare la relazione (per ω.3 ra s ): G F (jω) + C(jω)G δ (jω) < 5. Poiché nel campo i frequenze i interesse vale C(jω)G δ (jω) la relazione a soisfare risulta in prima approssimazione: C(jω)G δ (jω) b > b + G F (jω) b = 6.5b. Come si osserva in fig. 7 la specifica risulta già soisfatta. In fig. 8 viene riportata la risposta el sistema in anello chiuso al graino unitario nel caso F l =.

5 2 Boe Diagram Magnitue (B) Phase (eg) Frequency (ra/sec) Figure 2: Diagrammi i Boe ella f..t. G δ (s). 8 Boe Diagram Magnitue (B) Phase (eg) Frequency (ra/sec) Figure 3: Diagrammi i Boe ella f..t. G F (s). Figure 4: Schema el sistema i controllo a realizzare.

6 5 Open Loop Boe Eitor (C) Magnitue (B) G.M.: Inf Freq: NaN Unstable loop 225 Phase (eg) P.M.: 2.4 eg Freq: 2.58 ra/sec Frequency (ra/sec) Figure 5: Diagrammi i Boe ella funzione i trasferimento i anello C(s)G δ (s) con C(s) = s 2. Open Loop Boe Eitor (C) 5 Magnitue (B) G.M.: 7. B Freq: 27 ra/sec Stable loop 35 Phase (eg) P.M.: 46.8 eg Freq: 8.3 ra/sec Frequency (ra/sec) Figure 6: Diagrammi i Boe ella funzione i trasferimento i anello C(s)G δ (s) con C(s) =.7 2s+ s 2. Open Loop Boe Eitor (C) 5 Magnitue (B) G.M.: 2.5 B Freq: 2.3 ra/sec Stable loop 35 Phase (eg) P.M.: 42.2 eg Freq: 8.28 ra/sec Frequency (ra/sec) Figure 7: Diagrammi i Boe ella funzione i trasferimento i anello C(s)G δ (s) con C(s) =.7 2s+ s 2 (.s+).

7 .4 System: Close Loop: r to y I/O: r to y Peak amplitue:.3 Overshoot (%): 3 At time (sec):.347 Step Response.2 System: Close Loop: r to y I/O: r to y Settling Time (sec): Amplitue Time (sec) Figure 8: Risposta el sistema in anello chiuso al graino unitario nel caso F l =.