Nome, Cognome: punti totali possibili, 50 punti corrispondono alla nota massima.

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1 Nome, Cognome: punti totali possibili, 5 punti corrisponono alla nota massima. 3 ottobre 23 ing. Ivan Furlan

2 . Controllo i un oscillatore meccanico (5 punti) Sia ato il sistema meccanico in figura.. k m F (t) 2 k x(t) Figura.: Sistema massa e molla i secono orine. Trovare il moello matematico el sistema, e la rispettiva rappresentazione i stato. 2. Progettare il controllore i stato, moi esierati a anello chiuso P e P Progettare l osservatore (full state observer). Soluzione:. Applicano la secona legge i Newton, si ottiene la seguente equazione ifferenziale m ẍ(t) = F (t) k x(t) 2 k x(t) = F (t) 3 k x(t). In forma i stato, l equazione sopra iventa ẋ(t) x(t) = ẍ(t) 3 k ẋ(t) m x(t) x(t) = ẋ(t) 2. Progettazione el controllore i stato: a cui + m F (t), + F (t). et(s I A + B K) = p(s), ( ) s et 3 k + k s + k = (s + P 2 ) (s + P 2 ), m m m s 2 + s k2 m + 3 k m + k m = s2 + s (P + P 2 ) + P P 2, k = m P P 2 3 k, k 2 = m (P + P 2 ). 2 ing. Ivan Furlan 3 ottobre 23

3 3. Progettazione ell osservatore i stato completo: a cui ove et(s I A + L C) = p o (s), ( ) s + l et 3 k + l = (s + P m 2 s o ) (s + P o2 ), s 2 + s l + 3 k m + l 2 = s 2 + s (P o + P o2 ) + P o P o2, l = P o + P o2, l 2 = P o P o2 3 k m. P oi = P i. 3 ottobre 23 ing. Ivan Furlan 3

4 .2 Rappresentazione i stato i un sistema (5 punti) Sia ato il sistema in figura.2. u s s y s 2 Figura.2: Sistema. Determinare la rappresentazione i stato. 2. Determinare la funzione i trasferimento, i che grao risulta il enominatore (iscuti il risultato)? 3. Per quali conizioni iniziali il sistema evolve ano uscita nulla? Soluzione:. Innanzitutto conviene riscrivere il termine i primo orine come segue s s = + s. otteneno lo schema equivalente in figura.3, ove, in aggiunta, il oppio integratore è stato rappresentato come la serie i ue integratori singoli, e sono stati efiniti stati e ingressi ei blocchi i primo orine ottenuti. È unque ora possibile scrivere u s = x = ẋ x, u 2 s = u 2 = ẋ 2, u 3 s = x 3 u 3 = ẋ 3. sapeno che u 3 =, u 2 = x 3, u = u, 4 ing. Ivan Furlan 3 ottobre 23

5 u u s x y u 2 x 3 u 3 s s Figura.3: Sistema equivalente le equazioni ifferenziali appena trovate equivalgono a = ẋ x, x 3 = ẋ 2, = ẋ 3, a cui la forma i stato (teneno conto che allo schema l uscita risulta y = u + x + x 3 ) ẋ x ẋ 2 = + u ẋ 3 y = x 3 x x 3 + u 2. La funzione i trasferimento può irettamente essere ottenuta allo schema a blocchi el sistema, e risulta essere G(s) =. Il sistema è i terzo orine, mentre invece il enominatore risulta essere i grao. Significa che il sistema eve essere: non controllabile e/o non osservabile. 3. Il sistema evolve con uscita nulla se viene inizializzato nello spazio non osservabile, vale a ire per tutte le conizioni iniziali x() che soisfano nella fattispecie l equazione risulta a cui : x () = x 3 () e x () = (). O x() =, x () () x 3 () =. 3 ottobre 23 ing. Ivan Furlan 5

6 .3 Controllo i un sistema iraulico (5 punti) Sia ato il sistema iraulico in figura.2. A Φ 2 x Φ 2 Φ Φ ove Figura.4: Sistema iraulico i secono orine Φ 2 (t) = (x (t) (t)), Φ 2 (t) = (t). I flusso Φ(t) può essere variato a paciere, e le misure x (t) e (t) sono misurate per mezzo i ue sensori.. Trovare il moello el sistema, e la rispettiva rappresentazione i stato, si hanno le misure ei ue livelli x (t) e (t). 2. A quale conizione il sistema risulta controllabile (imostrare)? Cosa significa? 3. Imposta i calcoli, senza risolverli, per la erivazione i un controllore i stato che sia in grao i regolare livello x (t) senza errore statico. Specificare gli elementi elle matrici! Disegna lo schema a blocchi el controllo consesso al sistema. 4. Per =, quale è il flusso stazionario i ingresso Φ(t = ) e la quota (t = ), che il controllore el punto sopra raggiungerà a tempo infinito? Soluzione:. Il moello el sistema risulta essere ẋ = Φ A Φ 2 A = Φ A A (x ), ẋ 2 = Φ + Φ 2 Φ 2 = Φ + (x ). 6 ing. Ivan Furlan 3 ottobre 23

7 La rappresentazione i stato iventa unque ẋ A = A x A + ẋ 2 2 x 2 x x = + Φ Φ. 2. Il sistema risulta controllabile quano la matrice C possiee rango pieno, esseno il sistema SISO, si trauce in e unque che si trauce in 2 A et(c). + A A A 2. A 2 alla quale si evince una prima conizione (ma questa conizione era già intrinseca nel problema stesso), moltiplicano unque le ue parti ell equazione per A2 A2 2, si ottiene l equazione che svela un ulteriore conizione 2 A + A 3 2 A. Se soisfatto quanto sopra, risulta possibile portare i ue livelli elle cisterne x (t) e (t) a un qual si voglia valore a un ato tempo t, meiante un opportuno flusso i ingresso Φ(t). Contrariamente, non soisfano quanto sopra, il livello i una cisterna sarà sempre legato in moo proporzionale al livello ell altra. In tal caso, questo coefficiente i proporzionalità, può essere ricavato valutano lo spazio controllabile el sistema. S c = C A2 = 3 2 A v x = A + A v A 2, v 2 2 A2 = 3 2 A x = 2 9 A 2 3 v 2, 2 A v 2 x = 2 3 ( A 2 v 3 v ) A v 3 v 2, 2 2 a cui si evince che, in caso i non controllabilità, x sara sempre.5 volte. Inoltre, se soisfatta la controllabilità, risulta possibile progettare una matrice i retrazione K in grao i moificare gli autovalori complessivi el sistema. 3 ottobre 23 ing. Ivan Furlan 7

8 3. Si potrebbe utilizzare un controllo i stato con precompensazione, oppure con integratore. Per la prima variante i calcoli sono: et (s I A + B k, k 2 ) = (s+p ) (s+p 2 ), k precomp = C ( A + Bk, k 2 ) B. ove A e B sono le matrici ella rappresentazione i stato trovata, e C =, (siccome si vuole avere errore statico zero su x ). Per la secona variante ove. et (s I A ext + B ext k, k 2, k e ) = (s + P ) (s + P 2 ) (s + P 3 ), A ext = A C, B ext = B Il isegno è stato omesso alla soluzione, siccome già ampiamente riportato sia nel capitolo el corso che nel relativo ocumento i sintesi. 4. Dal moello matematico ricavato, allo stato stazionario (erivate egli stati nulle), si può affermare che = A A 2 x + A Φ. Esseno x imposto, restano ue equazioni in ue incognite (Φ, ). Raggruppano le incognite e i termini noti in vettori separati, si ottiene = A A 2 Φ + x A x che si può risolvere per via matriciale come segue Φ = A A 2 x A x, otteneno (per = ) Φ = 3 x, = 2 3 x. 8 ing. Ivan Furlan 3 ottobre 23

9 .4 Controllabilità e osservabilità ( punti) Sia ato un sistema caratterizzato alle matrici A, B, C, D, con A singolare. La funzione i trasferimento presenta solamente poli asintoticamente stabili (parte reale strettamente minore i ).. Vi è un particolare autovalore che i sicuro sarà non osservabile e/o non controllabile (spiegare)? 2. Il sistema è asintoticamente stabile (spiegare)? 3. Sapeno inoltre che il rango ella matrice i controllabilità è equivalente a quello ella matrice i osservabilità, cosa si puô sicuramente affermare sulla controllabilità e rispettivamente sull osservabilità el sistema (spiegare). Attenzione: tutte le risposte evono essere motivate in moo ettagliato! Soluzione:. Siccome alla conizione A singolare si intuisce che esistono autovalori a, si intuisce che questi ultimi mancano sicuramente nella funzione i trasferimento. 2. Essenoci per forza autovalori a zero il sistema non è asintoticamente stabile. 3. Esseno i ue ranghi equivalenti, e mancano autovalori nella funzione i trasferimento, si euce che il sistema eve essere sia non controllabile che non osservabile. 3 ottobre 23 ing. Ivan Furlan 9