I sistemi lineari. In questo capitolo verranno descritte le proprietà dei sistemi lineari stazionari continui e discreti.

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1 3 I sistemi lineari In questo capitolo verranno escritte le proprietà ei sistemi lineari stazionari continui e iscreti 3 MOTO E RISPOSTA DEI SISTEMI LINEARI DISCRETI Si consieri un sistema lineare e stazionario iscreto, escritto al moello ingresso/ stato/uscita x(t+) A x(t) + B u(t), (3) y(t) C x(t) + D u(t), (32) (ientico al moello (88), (89) ma stazionario), l istante iniziale t, lo stato iniziale x e la sequenza i ingresso u(), u(), Al tempo t risulta x() A x + B u() y() C A x + C B u() + D u() mentre per t 2 risulta x(2) A 2 x + A B u() + B u() y(2) C A 2 x + C A B u() + C B u() + D u(2) Più in generale, per un valore generico el tempo, t k, valgono le relazioni x(k) A k x + k i A k i B u(i ) (33)

2 2 Capitolo 3 y(k) C A k x + k i C A k i B u(i ) + D u(k) (34) che escrivono il moto e la risposta el sistema Il secono membro ella (33) è quini costituito alla funzione i transizione ϕ(k,,x,u[,k) mentre il secono membro ella (34) è la funzione i risposta γ(k,,x,u[,k) La matrice i transizione è ata a (k, ) A k ; (35) il moto libero e il moto forzato sono ati, rispettivamente, a (k, )x A k x (36) k i A k i B u(i ) (37) Analogamente le espressioni ella risposta libera e ella risposta forzata sono k i y (k) C A k x (38) C A k i B u(i ) + D u(k) (39) Si consieri ora la funzione iscreta (t), ienticamente nulla () (impulso unitario) riportata in Figura 3 per ogni t e con Figura 3 Impulso unitario e un ingresso ienticamente nullo a eccezione ella sua componente j esima posta eguale a (t), u j (t) (t) La risposta a tale ingresso el sistema (3), (32) a partire allo stato x() è ata, per ogni t>, a y(t) C A t B e j

3 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 3 ove e j inica la j esima colonna ella matrice ientità La matrice W(t) C A t B (3) viene etta risposta impulsiva el sistema perché la sua colonna j esima costituisce la risposta el sistema, con stato iniziale zero, all impulso unitario applicato, per t, al suo ingresso j esimo (manteneno tutti gli altri ingressi a zero) Esempio 3 Si consieri il sistema lineare stazionario e iscreto escritto alle matrici A B lo stato iniziale C [ D [ 2, x() e la sequenza i ingresso u(), u(), u(2), u(3) 2 Il moto libero el sistema è ato a x l () A x() x l (2) A 2 x() 2 x l (3) A 3 2 x() x 3 l (4) A 4 3 x() 5 mentre il moto forzato è ato a x f () B u() x f (2) A B u() + B u() x f (3) A 2 B u() + A B u() + B u(2) 2 x f (4) A 3 B u() + A 2 B u() + A B u(2) + B u(3) Il moto totale, somma el moto libero e i quello forzato, è [ x(), x(2), x(3) 3 5, x(4) 3 3 8

4 4 Capitolo 3 La risposta el sistema è ata a y() 3, y(), y(2), y(3) 2 Infine la risposta impulsiva è ata a W() C B, W(2) C A B, W(3) C A 2 B, W(4) C A 3 B, W(5) C A 4 B, 32 MOTO E RISPOSTA DEI SISTEMI LINEARI CONTINUI Si consieri un sistema lineare e stazionario continuo, escritto al moello ingresso/ stato/uscita ẋ(t) A x(t) + B u(t), (32) y(t) C x(t) + D u(t), (322) (ientico al moello (86), (87) ma stazionario), l istante iniziale t, lo stato iniziale x e la funzione i ingresso u[,t Il moto libero el sistema è escritto alla relazione x l (t) ϕ(t,,x, ) (t, )x (323) ove la matrice (t, ), etta matrice i transizione, è ata alla successione (t, ) I + At + A2 t Ai t i 2 i! cioè all esponenziale ella matrice inamica A + (324) (t, ) e At (325) La matrice i transizione risulta non singolare per qualunque matrice A e per ogni valore i t; in particolare, per t risulta e At I In ogni moto libero è quini non solo possibile calcolare lo stato finale in funzione i quello iniziale ma anche eurre lo stato iniziale in funzione i quello finale (invertibilità) Il moto forzato è escritto all espressione x f (t) ϕ(t,,,u[,t) quini l espressione completa el moto è x(t) e At x + t t e A(t τ) B u(τ) τ, (326) e A(t τ) B u(τ) τ (327)

5 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 5 mentre quella ella risposta è y(t) Ce At x + t Ce A(t τ) B u(τ) τ + D u(t) (328) Il primo termine a secono membro ella (328) escrive la risposta libera, gli altri ue termini quella forzata Si consieri ora la funzione (t, τ) rappresentata in Figura 32 e costituita a un impulso i larghezza τ e ampiezza /τ (area unitaria) al tempo t Si supponga ora i renere infinitesima la larghezza ell impulso (concettualmente, i fare tenere τ a zero) e i applicare la funzione risultante, δ(t) all ingresso j esimo i un sistema puramente inamico (D ) il cui stato iniziale sia nullo (x() ) manteneno tutti gli altri ingressi a zero Figura 32 Approssimazione ell impulso i Dirac La risposta el sistema a tale ingresso è ata a y(t) Ce At b j esseno b j la j esima colonna i B La matrice W(t) Ce At B (329) viene etta risposta impulsiva el sistema perché la sua colonna j esima escrive l anamento ell uscita el sistema a partire a stato iniziale nullo quano viene applicato al tempo zero un impulso i area unitaria e ampiezza infinitesima (impulso i Dirac) all ingresso j esimo manteneno tutti gli altri ingressi a zero Esempio 32 Si consieri il sistema lineare stazionario continuo escritto alle matrici 2 A B C [,

6 6 Capitolo 3 lo stato iniziale x() e una funzione i ingresso ata a un graino unitario applicato per t (u(t) per t<, u(t) per t ) La risposta al graino è costituita alla sola risposta forzata, ata a y(t) t Ce A(t τ) B u(τ) τ e è riportata, per t compreso trae8seconi, in Figura 33 ove si può osservare come venga raggiunto il valore i regime in circa 5 seconi e come il tempo necessario per passare al % al 9% el valore finale (tempo i salita) sia i circa 55 seconi Figura 33 Risposta al graino unitario La risposta impulsiva ello stesso sistema urante i primi 8 seconi è riportata in Figura 34 ove si può osservare come questa tena a zero per t Figura 34 Risposta impulsiva Figura 35 Evoluzione ello stato iniziale [2 2 T Consierano, infine, lo stato iniziale x() [2 2 T, l evoluzione urante i primi

7 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 7 8 seconi è riportata in Figura 35 ove si può notare come venga raggiunto, in tale intervallo i tempo, lo stato finale 33 I MODELLI DISCRETI DEI SISTEMI CONTINUI I sistemi inamici più iffusi sono quelli continui mentre i moelli i uso più frequente sono quelli iscreti; tali moelli vengono utilizzati anche per i sistemi continui perché l ingresso e l uscita i tali sistemi vengono spesso rilevati solo in certi istanti i tempo (campionamento) Per ottenere un moello iscreto (3), (32) per un sistema continuo (32), (322) sul quale sia effettuato un campionamento a intervalli i tempo T occorre introurre l ipotesi che l ingresso subisca variazioni solamente negli istanti i tempo t + kt(k,,) nei quali viene campionato anche il valore ello stato e ell uscita Le matrici A, B, C e D el moello iscreto sono legate, in tale caso, alle matrici A, B, C e D el moello continuo alle seguenti relazioni A e AT (33) T ( T ) B e A(T τ) B τ e Aτ τ B (332) C C (333) D D (334) La matrice inamica A è, in tale caso, sempre non singolare coincieno con la matrice i transizione el sistema continuo sull intervallo i campionamento; la stessa proprietà vale quini anche per la matrice i transizione (k, ) A k Nel caso in cui la matrice inamica A el moello continuo risulti non singolare, l espressione (332) ella matrice i istribuzione egli ingressi, B, el moello iscreto assume la forma B A ( e AT I ) B A ( A I ) B (335) Esempio 33 Si consieri il sistema continuo ell Esempio 32 e un tempo i campionamento T s La matrice inamica i un moello iscreto i tale sistema è ata a A e A La matrice i istribuzione egli ingressi, B, è B A ( A I ) B 9, 994

8 8 Capitolo 3 mentre la matrice i istribuzione elle uscite C coincie con quella, C, el moello continuo C C [ 34 GLI STATI DI EQUILIBRIO CON INGRESSO COSTANTE È talvolta utile eterminare il valore che lo stato e l uscita i un sistema assumono, a regime, quano viene applicato un ingresso costante, u c Nel caso ei sistemi a tempo iscreto (3), (32) basterà imporre che il valore ello stato al tempo t + risulti uguale al valore assunto al tempo t; ne segue la relazione ( I A ) xe B u c alla quale, se la matrice (I A ) risulta non singolare, si ricava lo stato i equilibrio x e ( I A ) B u c (34) Nel caso in cui (I A ) risulti singolare, esiste più i uno stato i equilibrio compatibile con u c ; l insieme i tali stati è ato alla varietà lineare efinita al vettore (I A ) + B u c ((I A ) + pseuoinversa i (I A )) e allo spazio nullo ella matrice (I A ) Nel caso ei sistemi continui (32), (322) si imporrà la nullità ella erivata ello stato; ne segue, qualora la matrice inamica A sia non singolare, il valore ello stato i equilibrio x e A Bu c (342) Se A risulta singolare, l insieme egli stati i equilibrio compatibili con u c è ato alla varietà lineare efinita al vettore A + Bu c (A + pseuoinversa i A) e allo spazio nullo ella matrice A Esempio 34 Quale applicazione elle espressioni (34) e (342) si etermineranno gli stati ai quali si portano, a regime, i sistemi consierati negli Esempi 3 e 32 in seguito alla applicazione i un graino unitario (ingresso costante eguale a ) Nel caso el sistema iscreto consierato nell Esempio 3 si trova x e ( I A ) B [ 2 Per il sistema continuo consierato nell Esempio 32 si ha [ x e A B

9 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 9 Si noti come faceno riferimento al moello iscreto ello stesso sistema, calcolato nell Esempio 33, si ottenga, grazie alla commutatività el prootto tra A e e AT, x e ( I A ) B ( I A ) A ( A I ) B A B Risulta quini inifferente, nel calcolo egli stati i equilibrio con ingresso costante, l uso i moelli continui o iscreti i un sistema; si noti anche come lo stato el sistema resti lo stesso passano a moelli continui a moelli iscreti e viceversa 35 RAGGIUNGIBILITÀ E CONTROLLABILITÀ DEI SISTEMI DISCRETI Si consieri il sistema lineare stazionario iscreto (3), (32) e lo stato iniziale x() Gli stati che possono essere raggiunti per t sono ati a x() A x() + B u() B u() Sceglieno opportunamente l ingresso u(), x() può essere eguagliato a qualunque combinazione lineare elle colonne ella matrice B ; ne segue che R + () im[ B Faceno ora riferimento a un intervallo i tempo i ampiezza 2, gli stati che possono essere raggiunti allo stato zero sono ati a x(2) A 2 x() + A B u() + B u() A B u() + B u() Sceglieno opportunamente gli ingressi u() e u(), x(2) può essere eguagliato alla somma i qualunque combinazione lineare elle colonne ella matrice B eia B ; ne segue che R + 2 () im[ B A B Ripeteno il ragionamento su k transizioni si ottiene, in maniera el tutto analoga, R k + () im[ B A B A (k ) B (35) In generale, quini, l insieme egli stati raggiungibili a partire allo stato in k transizioni è un sottospazio con imensione che cresce con k; tale sottospazio inoltre contiene tutti i preceenti Se tuttavia, per un certo valore i k risulta R + k+ () R+ k () anche tutti i successivi sottospazi coinciono con R k + (); infatti in tale caso tutte le colonne i A k B risulteranno linearmente ipenenti alle preceenti, apparterranno quini a R k + () e lo stesso avverrà per A(k+i) B per qualunque i> In ogni caso il sottospazio i imensione massima che può essere raggiunto a partire all origine è ato a R + () im [ B A B A (n ) B (352)

10 Capitolo 3 poiché, per il teorema i Cayley Hamilton, A n può essere espressa come combinazione lineare i A, A,, A(n ) Si consieri ora lo stato finale x() ; gli stati iniziali che possono, meiante opportuna scelta ell ingresso u(), essere controllati allo stato zero soisfano la relazione A x + B u() cioè, se A risulta non singolare, x A B u() Ne segue che l insieme R () è il sottospazio R () A im [ B A R+ () Analogamente gli stati iniziali che possono essere controllati allo stato finale x(2) evono soisfare, per opportuni valori i u() eiu(), la relazione Se A risulta invertibile si avrà quini R 2 A 2 x + A B u() + B u() () A 2 im [ B A B A 2 R+ 2 () Con consierazioni analoghe a quelle fatte in preceenza in relazione ai sottospazi i raggiungibilità, si trova che R k () A k im [ B A (k ) B A k R+ k () (353) Nel caso in cui A risulti singolare sarà Rk () Ak + R + k () + N ( A k ) (354) ove A k + e N (A k ) inicano rispettivamente la pseuoinversa e lo spazio nullo i A k Inoltre R () A n im [ B A (n ) B A n R+ () (355) e, nel caso in cui A risulti singolare, R () A n + R + () + N ( A n ) (356) Si può osservare come nei sistemi lineari stazionari e iscreti i sottospazi i controllabilità su un intervallo i ampiezza k siano i imensioni maggiori (se A è singolare)

11 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati o uguali (se A è non singolare) a quelle ei corrisponenti sottospazi i raggiungibilità Si noti inoltre come l aumento el numero i transizioni a isposizione per raggiungere uno stato a partire allo stato zero o per controllare uno stato allo stato zero possa risultare utile solo fino a arrivare a n transizioni; opo tale limite ogni ulteriore allungamento ell intervallo non comporta vantaggi Se è possibile raggiungere uno stato allo stato zero (o controllare uno stato allo stato zero) ciò può essere ottenuto in non piùin transizioni 36 RAGGIUNGIBILITÀ E CONTROLLABILITÀ DEI SISTEMI CONTINUI Per i sistemi continui (32), (322), a ifferenza i quanto avviene per i sistemi iscreti, la lunghezza ell intervallo i tempo a isposizione per il controllo (purché finito) non gioca alcun ruolo sulla possibilità i raggiungere uno stato finale a partire allo stato zero o sulla possibilità i controllare uno stato iniziale allo stato zero Inoltre il sottospazio i raggiungibilità R + () e quello i controllabilità R () risultano coincienti e ati a R + () R () im [ B AB A (n ) B (36) cioè alla stessa espressione già vista per il sottospazio i raggiungibilità ei sistemi iscreti Dato un sistema continuo si ottengono, ovviamente, gli stessi sottospazi i raggiungibilità e i controllabilità sia utilizzano il moello continuo (3), (32) che quello iscreto (32), (322) Potrebbe tuttavia sembrare incongruente che utilizzano il moello continuo non vi siano le limitazioni poste al moello iscreto al tempo necessario per effettuare un controllo; tali limitazioni erivano alla ipotesi i costanza ell ingresso tra ue successivi istanti i campionamento introotta nel passaggio al moello continuo a quello iscreto 37 IL CONTROLLO TRA STATI NEI SISTEMI DISCRETI E CONTINUI Dato un moello iscreto, lo stato iniziale x(), l intervallo i tempo [,k e i k valori i ingresso u[,k, lo stato x(k) è ato a x(k) x f A (k ) B u() + + A B u(k 2) + B u(k ) Tale relazione può essere scritta anche nella forma u() [ x f A (k ) B A B B u(k 2) P k û k u(k ) ove û k è il vettore formato ai valori ell ingresso ai tempi,,,k Assegnato uno stato x f raggiungibile in k transizioni (esprimibile cioè come combinazione lineare

12 2 Capitolo 3 elle colonne i P k ), l insieme elle soluzioni è ato alla varietà lineare escritta al vettore P + k x f e al sottospazio N (P k ) In particolare il vettore û k i norma Eucliea minima che consente i effettuare il controllo è ato a û k P + k x f (37) Si noti che se x f non è raggiungibile allo stato zero in k transizioni, la sequenza i ingresso fornita alla (37) è quella che consente i raggiungere lo stato ˆx f che minimizza la norma Eucliea ell errore x f ˆx f Se lo stato iniziale è iverso a zero, x(k) iventa x(k) x f A k x + A (k ) B u() + + B u(k ); ne segue che il vettore û k i norma Eucliea minima che consente tale controllo, quano possibile, o che porta allo stato x(k) più vicino a quello esierato è ato a û k P + k ( xf A k x ) ; (372) basta cioè utilizzare la (37) sottraeno allo stato finale l evoluzione libera ello stato iniziale La (372) può poi essere utilizzata anche per eterminare una sequenza i ingresso che controlli uno stato iniziale x allo stato finale ; basterà porre, in tal caso, x f Per i sistemi continui la funzione i ingresso che effettua, nell intervallo [,t, il controllo ello stato iniziale x allo stato finale x(t ) x f è ata a ove P + inica la pseuoinversa ella matrice P û(t) B T e AT (t t) P + x f (373) t e A(t τ) BB T e AT (t τ) τ Se x f non è raggiungibile allo stato si ottiene, meiante la (373), lo stato raggiungibile ˆx f più vicino a x f, quello cioè che minimizza la norma Eucliea i x f ˆx f Se lo stato iniziale x è iverso a zero basterà sottrarre a x f l evoluzione libera i x in [,t ; si userà quini l espressione û(t) B T e AT (t t) P +( x f e At x ) (374) che può essere utilizzata, poneno x f, anche per eterminare una funzione i ingresso che effettui il controllo allo stato finale zero

13 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 3 Esempio 35 Si consieri il sistema lineare stazionario e iscreto la cui matrice inamica, A,ei istribuzione egli ingressi, B, sono ate a A B Per tale sistema si vuole eterminare una sequenza i ingresso che permetta i passare allo stato allo stato x(2) [ 3 T La matrice P 2 è, in questo caso, quarata e non singolare; si ottiene pertanto [ u() A u() B B 3 [ La sequenza cercata è quini ata a u() 3, u() 3; tale sequenza porta infatti lo stato iniziale a x() [3 T eax(2) [ 3 T come richiesto Si noti che, esseno P 2 quarata e non singolare, la sua pseuoinversa coincie con l inversa Si vuole poi eterminare una sequenza i ingresso che porti lo stato iniziale x() [ T allo stato finale x(2) [ T La sequenza cercata è la stessa che porta lo stato iniziale zero allo stato finale che si ottiene sottraeno a quello assegnato l evoluzione libera i quello iniziale sull intervallo consierato; si calcolerà quini, come primo passo lo stato x f x f A 2 x Applicano ora la (372) si ottiene u() u() P 2 x f [ [ Il moto el sistema con la sequenza eterminata porta agli stati x() [2 T e x(2) [ T Infine si vuole eterminare il valore ell ingresso che porta lo stato x() [ T allo stato finale zero al tempo Utilizzano i nuovo la (372) con x f ek si ottiene + u() P + A x [ 2

14 4 Capitolo 3 Si noti come, in questo caso, la pseuoinversa ella matrice P coincia con la trasposta 38 ASPETTI GEOMETRICI DELLA RAGGIUNGIBILITÀ E RELATIVA SCOMPOSIZIONE Si consieri il sottospazio i raggiungibilità i un sistema lineare stazionario iscreto o continuo R + () im [ B AB A (n ) B Si è già osservato come, in base al teorema i Cayley Hamilton, tutti i termini el tipo A k B con k n risultino linearmente ipenenti ai preceenti; ciò stabilisce l invarianza i R + () rispetto alla trasformazione escritta alla matrice A Di conseguenza, per qualunque vettore x R + () risulta Ax R + () e qualunque stato iniziale appartenente a R + () genera un moto libero che si evolve completamente all interno i R + () Sipuò inoltre osservare come R + () contenga il sottospazio im B; R + () è infatti il più piccolo sottospazio invariante rispetto a A contenente im B come si può verificare osservano che risulta contenuto in ogni altro sottospazio invariante rispetto a A contenente im B L invarianza i R + () rispetto a A potrebbe essere eotta anche osservano che, in caso contrario, una volta raggiunto all origine uno stato i R + () basterebbe applicare un ingresso nullo per raggiungere anche stati non appartenenti a R + () attraverso il moto libero; tale risultato sarebbe assuro poiché tutti gli stati raggiungibili all origine appartengono a R + () L invarianza i R + () rispetto a A consente i scomporre qualunque sistema in ue sottosistemi interconnessi che ne escrivono rispettivamente la parte raggiungibile e quella non raggiungibile Si consieri, a tale scopo, un cambiamento i base nello spazio egli stati che porti alla nuova base escritta, rispetto alla vecchia, alle colonne ella matrice (quarata e non singolare) T ; tale cambiamento i base etermina il passaggio allo stato x allo stato z legato a x alla relazione x Tz Sostitueno tale espressione i x nelle equazioni (3) (32) o (32) (322) si trova la rappresentazione el sistema rispetto alla nuova base ata (faceno riferimento a un sistema continuo) alle equazioni ż(t) A z(t) + B u(t), y(t) C z(t) + D u(t) ove A T AT, B T B, C CT, D D

15 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 5 Per scomporre un sistema nella sua parte raggiungibile e in quella non raggiungibile si sceglierà una base, T, el tipo T T T 2 esseno T (n n ) una base i R + () e T 2 (n n 2 ) un insieme i vettori che completano la base ello spazio egli stati X R n In tale base, grazie all invarianza i R + () rispetto a A e al fatto che im B R + (), le matrici A, B, C e D presentano la seguente struttura A A A 2 A 22 C C C 2 B [ B (38) esseno le partizioni i A, B e C congruenti con le imensioni i T e T 2 Inicano con z le prime n componenti i z e con z 2 le ultime n n componenti, il moello el sistema può essere scritto nella forma ż (t) A z (t) + A 2 z 2 (t) + B u(t) ż 2 (t) A 22 z 2 (t) y(t) C z (t) + C 2 z 2 (t) Il sistema può quini essere consierato come formato a ue sottosistemi interconnessi, S e S 2, che rappresentano la parte raggiungibile e quella non raggiungibile (Figura 36) Figura 36 Scomposizione relativa alla raggiungibilità Se si volesse estrarre a un sistema la sola parte raggiungibile questa sarebbe escritta al moello ż (t) A z (t) + B u(t) y(t) C z (t)

16 6 Capitolo 3 Si noti come, a causa ella struttura i A eib, la risposta impulsiva ell intero sistema coincia, sia nel caso iscreto che in quello continuo, con quella ella sua parte raggiungibile Risulta cioè W(k) C A (k ) B C A (k ) B (382) e W(t) Ce At B C e A t B (383) Esempio 36 Si consieri il sistema puramente inamico iscreto escritto alle equazioni ove A x(t + ) A x(t) + B u(t) y(t) C x(t) 2 2 B C Si vuole scomporre tale sistema nella sua parte raggiungibile e in quella non raggiungibile Il primo passo per effettuare la scomposizione consiste nel calcolo i una matrice i base per il sottospazio R + () che è lo spazio generato alle colonne ella matrice i raggiungibilità P [B A B A (n ) B Selezionano le colonne linearmente inipenenti i P, a esempio meiante il proceimento i ortonormalizzazione i Gram Schmit, si ottiene la base cercata ata a 2 Gram Schmit Si costruirà quini una nuova base per lo spazio egli stati X R 6 el tipo T [ T T 2 ove T è una base i R + () e T 2 completa la base i X Nel caso in esame, esseno

17 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 7 T formata a colonne ell ientità, la scelta più semplice è T Esseno, in questo caso, la matrice T ortonormale, l inversa coincie con la trasposta e si ottiene facilmente il moello el sistema nella nuova base che sarà el tipo A T A A A T 2 A 22 C C T C C 2 B T B [ B ove le imensioni elle varie sottomatrici sono eterminate al numero i colonne elle sottomatrici T e T 2 Si ottiene A 2 2 C [ B La parte raggiungibile el sistema è quini escritta alle matrici A C [ B A verifica ei calcoli eseguiti si eterminerà ora la risposta impulsiva el sistema originale e ella sua parte raggiungibile al tempo t 3 Si ottiene W(3) C A 2 B C A 2 B 2

18 8 Capitolo 3 39 Osservabilità e ricostruibilità ei sistemi iscreti Si consieri il sistema lineare stazionario e iscreto escritto alle (3), (32) Gli stati x() x che generano uscita nulla al tempo, y(), con ingresso nullo, u(), evono soisfare la conizione Tali stati soisfano quini la conizione C x + D u() C x x N ( C ) ; ne segue che l insieme egli stati iniziali che con ingresso nullo anno uscita nulla èil sottospazio ( ) ( ) [, [ N C E Si consieri ora un intervallo i ampiezza e la sequenza i ingresso u[, [, Gli stati x che anno risposta nulla in tale intervallo, y[, [, evono soisfare, oltre la conizione preceente, anche la conizione evono quini soisfare la conizione C A x + D u() C A x ; x N [ C C A Ne segue che E ( ) C [,, [, N C A Consierano, più in generale, un intervallo i ampiezza k e utilizzano la notazione semplificata Ek (, ) per inicare E k ([, [ ), si trova che E k C C A (, ) N (39) C A k Il generico sottospazio Ek ha come limite (, ) è quini contenuto in tutti i preceenti e tale sequenza E (, ) N C C A C A (n ) (392)

19 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 9 poiché, per il teorema i Cayley Hamilton, A n è combinazione lineare elle potenze inferiori i A e lo stesso vale per le potenze successive Il sottospazio Ek (, ) contiene stati che per t [,k anno, con ingresso nullo, uscita nulla; per la linearità el sistema tali stati sono inistinguibili e non osservabili in tale intervallo Analogamente E (, ) è il sottospazio che contiene tutti gli stati, tra loro equivalenti e equivalenti allo stato zero, che anno uscita nulla, con ingresso nullo, in qualunque intervallo; si tratta quini egli stati non osservabili Analogamente, gli stati finali, x(), compatibili con ingresso e uscita nulle per t [, sono i trasformati secono A egli stati iniziali compatibili con ingresso e uscita nulle nello stesso intervallo; vale quini la relazione E + (, ) A E (, ) e, ripeteno il ragionamento su un intervallo i ampiezza qualsiasi, si trova che E + k (, ) Ak E k (, ) (393) e E + (, ) A (n ) E (, ) (394) E k + (, ) e E + (, ) sono i sottospazi egli stati non ricostruibili in [,k e i quelli non ricostruibili su qualunque intervallo 3 Osservabilità e ricostruibilità ei sistemi continui Per i sistemi continui (32), (322), a ifferenza i quanto avviene per i sistemi iscreti, la lunghezza ell intervallo i tempo a isposizione non influisce sulla imensione ei sottospazi i non osservabilità, E t (, ), e i non ricostruibilità, E + t (, ), quini non influisce neppure sulla possibilità i osservare lo stato iniziale o i ricostruire lo stato finale I sottospazi i non osservabilità e i non ricostruibilità risultano inoltre coincienti e ati a E (, ) E + (, ) N C CA CA (n ) (3) cioè alla stessa espressione già vista per il sottospazio i non osservabilità ei sistemi iscreti Valgono, per l osservabilità, le stesse consierazioni già fatte per la raggiungibilità: nel caso ei sistemi continui si ottengono cioè gli stessi sottospazi sia utilizzano il moello continuo (3), (32), sia quello iscreto relativo allo stesso sistema (32), (322)

20 2 Capitolo 3 3 L osservazione e la ricostruzione ello stato nei sistemi iscreti e continui Dato un moello iscreto (3), (32), un intervallo i tempo i ampiezza k e lo stato iniziale x() x, la risposta libera el sistema agli istanti i tempo t,,,kè ata a y () C x y () C A x y (k) C A k x Tali relazioni possono essere scritte anche nella forma y () C y () C A x y (k) C A k o anche, in maniera più sintetica, y k Q k x ove y k è un vettore formato ai valori assunti all uscita ai tempi,,,k L insieme egli stati iniziali compatibili con la risposta libera consierata è ato alla varietà lineare escritta al vettore Q + k y k e al sottospazio Ek (, ) In particolare il vettore i norma Eucliea minima compatibile con y k è ato a ˆx Q + k y k (3) Si noti che se x E k (, ) e risulta quini osservabile, la (3) fornisce ˆx x Nel caso invece in cui x E k (, ) la (3) fornisce lo stato ˆx osservabile che minimizza la norma Eucliea ell errore ˆx x Se l ingresso el sistema non è nullo in [,k basterà sottrarre alla risposta osservata la risposta forzata per ottenere la risposta libera j y (j ) y(j ) C A (j i ) B u(j ) D u(j ), i j,,k (32) a utilizzare nella (3) Lo stato finale ˆx(k) corrisponente a ˆx sarà poi ato a A k x nel caso i moto libero o alla espressione generale (33) el moto se l ingresso

21 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 2 è iverso a zero in [,k Per i sistemi continui la stima ello stato iniziale in funzione el moto libero y (t) nell intervallo [,t è ata a ove Q + inica la pseuoinversa ella matrice t x Q + e ATτ C T y (τ) τ (33) Q t e ATτ C T Ce Aτ τ Se x E t (, ) e risulta quini osservabile, la (33) fornisce ˆx x Nel caso invece in cui x E t (, ), la (33) fornisce lo stato ˆx osservabile che minimizza la norma Eucliea ell errore ˆx x Se l ingresso el sistema non è nullo in [,t basterà sottrarre alla risposta osservata la risposta forzata per ottenere la risposta libera a utilizzare nella (33) Esempio 37 y (t) y(t) C t e A(t τ) B u(τ) τ D u(t) (34) Si consieri il sistema lineare stazionario e iscreto escritto alle matrici A B C [ Per tale sistema si vuole eterminare lo stato iniziale e quello finale relativi alla risposta libera y [, [, 2 La matrice Q 2 è, in questo caso, quarata e non singolare e la sua inversa coincie quini con la pseuoinversa; ne segue che [ C ˆx C A [ y () y () 2 [ 2 Si noti come risulti, nel caso in esame, E (, ) E (, ) {}; lo stato iniziale è quini osservabile e ˆx x Lo stato finale x() è poi ato a 2 x() A x

22 22 Capitolo 3 Si vuole poi eterminare lo stato iniziale corrisponente alle sequenze i ingresso u[, [, e i uscita y[, [, 2 Occorre in tale caso calcolare, come primo passo, la risposta libera sottraeno la risposta forzata a quella totale: Segue poi y () y() y () y() C B u() 2 [ C ˆx C A [ Lo stato finale x() è poi ato a y () y () x() A x + B u() + [ Aspetti geometrici ella osservabilità e relativa scomposizione Si consieri il sottospazio i non osservabilità i un sistema lineare stazionario iscreto o continuo C E CA (, ) N CA (n ) Per il teorema i Cayley Hamilton tale sottospazio risulta invariante rispetto alla trasformazione escritta alla matrice A, quini per ogni x E (, ) risulta Ax E (, ) e qualunque moto libero che tragga origine all interno i E (, ) si evolve all interno i tale sottospazio Si può inoltre notare come E (, ) risulti contenuto nel sottospazio N (C) e si potrebbe anche imostrare che E (, ) èilpiù grane sottospazio invariante rispetto a A contenuto in N (C) osservano che ogni altro sottospazio che goa i tali caratteristiche risulta contenuto in E (, ) L invarianza i E (, ) rispetto a A potrebbe essere eotta anche osservano che, in caso contrario, un moto libero che tragga origine a uno stato x E (, )

23 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 23 potrebbe evolversi al i fuori i tale sottospazio e are quini origine a una risposta libera non ienticamente nulla L invarianza i E (, ) rispetto a A consente i scomporre qualunque sistema in ue sottosistemi interconnessi che ne escrivono rispettivamente la parte osservabile e quella non osservabile Si consieri, a tale scopo, una nuova base, T, ello spazio egli stati el tipo T T T 2 ove T (n n ) è una base i E (, ) e T 2 (n n 2 ) un insieme i vettori che completano la base ello spazio egli stati X R n Grazie all invarianza i E (, ) rispetto a A e al fatto che E (, ) N (C), le matrici A T AT, B T B e C CT che escrivono il sistema nella nuova base presentano la seguente struttura A A A 2 B B A 22 B 2 C [ (32) C 2 esseno le partizioni i A, B e C congruenti con le imensioni i T e T 2 Inicano con z le prime n componenti ello stato, z, el sistema nella nuova base e con z 2 le ultime n n componenti, il moello el sistema può essere scritto nella forma ż (t) A z (t) + A 2 z 2 (t) + B u(t) ż 2 (t) A 22 z 2 (t) + B 2 u(t) y(t) C 2 z 2 (t) Il sistema può quini essere consierato come formato a ue sottosistemi interconnessi, S e S 2, che rappresentano rispettivamente la parte non osservabile e quella osservabile (Figura 37) Figura 37 Scomposizione relativa alla osservabilità Se si volesse estrarre a un sistema la sola parte osservabile, cioè ottenere la forma minima, questa sarebbe escritta al moello ż 2 (t) A 22 z 2 (t) + B 2 u(t) y(t) C 2 z 2 (t)

24 24 Capitolo 3 Si noti come, a causa ella struttura i A eic, la risposta impulsiva ell intero sistema coincia, sia nel caso iscreto che in quello continuo, con quella ella sua parte osservabile Risulta cioè e W(k) C A (k ) B C 2 A (k ) 22 B 2 (322) W(t) Ce At B C 2 e A 22t B 2 (323) Esempio 38 Si consieri la riuzione alla forma minima el sistema visto nell Esempio 36 Si eterminerà apprima il sottospazio E (, ), complemento ortogonale ello spazio generato alle colonne i Q T [C T AT CT AT(n ) C T Si costruirà quini la matrice [Q T I alle cui colonne verrà applicato il proceimento i ortonormalizzazione i Gram Schmit; i vettori ottenuti alle colonne i I forniranno la base cercata Si ottiene e la base i E (, ) risulta formata ai seguenti vettori Si costruirà quini una nuova base per lo spazio egli stati X R 6 el tipo T [ T T 2 ove T è una base i E (, ) e T 2 completa la base i X Nel caso in esame, esseno T formata a colonne ell ientità, la scelta più semplice è T

25 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 25 Esseno, in questo caso, la matrice T ortonormale, l inversa coincie con la trasposta e si ottiene facilmente il moello el sistema nella nuova base che, esseno E (, ) invariante rispetto a A e contenuto nel sottospazio N (C ),avrà una struttura el tipo A A A 2 A 22 C C 2 B B B 2 ove le imensioni elle sottomatrici i A, B e C sono eterminate al numero i colonne elle sottomatrici T e T 2 Si ottiene A 2 B 2 C [ La parte osservabile el sistema (forma minima) è quini escritta alle matrici A 2 2 C [ B A verifica ei calcoli eseguiti si eterminerà ora la risposta impulsiva el sistema originale e ella sua parte osservabile al tempo t 3 Si ottiene W(3) C A 2 B C A 2 B 2 33 La scomposizione canonica i Kalman La scomposizione canonica i Kalman si ottiene rappresentano un moello nello spazio egli stati rispetto a una base ello spazio egli stati partizionata in base alle caratteristiche i raggiungibilità e osservabilità el sistema consierato e mette in evienza tali proprietà

26 26 Capitolo 3 Si opera la trasformazione i coorinate x T z, zt x, in cui è T [T T 2 T 3 T 4 nonsingolare, con imt R + () E (, ), im[t T 2 R + (), im[t T 3 E (, ) Nella nuova base il sistema è escritto, faceno riferimento al caso continuo, alle equazioni ż(t) A z(t) + B u(t) y(t) C z(t) + D u(t), (33) in cui z R n e le matrici A, B, C presentano le strutture A A 2 A 3 A 4 B A O A 22 O A 24 O O A 33 A 34, B B 2 O O O O A 44 O, C [ O C 2 O C 4 (332) La struttura i A è conseguenza el fatto che R + () e E (, ) sono invarianti in A, quella i B el fatto che èimb R + () e quella i C el fatto che è E (, ) N (C) Le imensioni elle sottomatrici i A, B e C sono congruenti con il numero i colonne i T, T 2, T 3 e T 4 Consierano una analoga partizione el vettore i stato z [z z 2 z 3 z 4 T, il moello el sistema può essere scritto nella forma ż A z + A 2 z 2 + A 3 z 3 + A 4 z 4 + B u ż 2 A 22 z 2 + A 24 z 4 + B 2 u ż 3 A 33 z 3 + A 34 z 4 (333) ż 4 A 44 z 4 y C 2 z 2 + C 4 z 4 + Du La particolare struttura elle matrici A, B, C consente i scomporre il sistema ato (riefinenone lo stato) in quattro sottosistemi inamici interconnessi come in figura Gli stati ei sottosistemi e 2 sono raggiungibili, mentre gli stati ei sottosistemi e 3 sono inosservabili all uscita y I sottosistemi 2 e 4(oltre al legame algebrico D) costituiscono nel loro complesso una forma minima el sistema ato Il solo sistema 2 è completamente raggiungibile e osservabile e è il solo che, assieme al legame algebrico D, etermina il legame ingresso uscita, cioè la risposta el sistema complessivo con stato iniziale zero

27 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 27 Figura 38 Scomposizione canonica i Kalman i un sistema inamico La risposta impulsiva el sistema complessivo coincie quini con quella ella sola parte raggiungibile e osservabile: W(t) Ce At B C e A t B C 2 e A 22t B 2 (334a) Le stesse consierazioni possono essere ripetute per il caso iscreto; oltre all intera scomposizione, che viene effettuata nello stesso moo sui sistemi iscreti, vale la relazione W(k) C A (k ) B C A (k ) B C 2 A (k ) 22 B 2 (334b) Esempio 39 Si consieri lo stesso sistema lineare stazionario e iscreto già visto negli Esempi 36 e 37 e si effettui, su tale sistema, la scomposizione canonica i Kalman Nell Esempio 36 si ègià eterminata una base el sottospazio R + () mentre nell Esempio 38 si è eterminata una base i E (, ) Nel caso specifico, esseno le basi i R + () ei E (, ) formate a colonne ella matrice ientità, è possibile eterminare una base ella loro intersezione semplicemente selezionano le colonne i I comuni alle ue basi Analogamente T 2 sarà formata alle resiue colonne ella base i R + () e T 3 alle resiue colonne ella base i E (, ) Infine T 4 sarà formata alle colonne i I non presenti in T, T 2 e T 3 Si ottiene quini la nuova base T

28 28 Capitolo 3 Esseno la matrice T ortonormale, l inversa coincie con la trasposta e si ottiene facilmente la terna i matrici che escrive il moello el sistema nella nuova base che avrà una struttura el tipo A A 2 A 3 A 4 B A O A 22 O A 24 O O A 33 A 34, B B 2 O O O O A 44 O C [ O C 2 O C 4 ove le imensioni elle varie sottomatrici sono eterminate al numero i colonne elle sottomatrici T, T 2, T 3 e T 4 Si ottiene A 2 2 C [ B, Calcolano, infine, la risposta impulsiva ella sola parte raggiungibile e osservabile el sistema al tempo t 3, si trova W(3) C A 2 B C 2 A B 2 34 Stabilità ei sistemi lineari iscreti e continui La linearità i un sistema inamico ha importanti conseguenze sulla stabilità Si consieri infatti lo scarto (22) tra il moto i riferimento e il moto in cui lo stato iniziale è stato perturbato i δx ; per la linearità ella ϕ rispetto allo stato iniziale e all ingresso risulta δx (t) ϕ(t,t,δx, ) (34) La perturbazione el moto non ipene cioè né al moto consierato né all ingresso applicato ma solo alla perturbazione ello stato iniziale; ne segue che la stabilità (semplice o asintotica) i un moto o i uno stato i equilibrio implica la stabilità (semplice o asintotica) i qualunque altro moto o stato i equilibrio Analogamente la

29 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 29 perturbazione el moto (23) ovuta a una perturbazione ella funzione i ingresso, è ata a δx 2 (t) ϕ(t,t,,δu[t,t) (342) e ipene solo alla perturbazione δu[t,t e non allo stato iniziale o all ingresso applicato Per quanto etto in preceenza è possibile, per i sistemi lineari, efinire stabile (asintoticamente stabile) un sistema quano goe i tale proprietà un suo qualunque moto o stato i equilibrio Si noti come per i sistemi lineari non abbia più senso la istinzione tra stabilità in piccolo e stabilità in grane; se infatti si moltiplica per k la perturbazione ello stato iniziale o ell ingresso si osserverà, per la linearità ella ϕ, una perturbazione el moto pure moltiplicata per k Per eterminare le conizioni i stabilità ei sistemi lineari conviene fare riferimento allo stato zero che risulta sempre i equilibrio con ingresso nullo Faceno riferimento allo stato zero e a un sistema iscreto risulta, per una perturbazione δx ello stato iniziale, cioè per stato iniziale δx, al tempo t k δx (t) A k δx δx (t) A k δx La conizione δx (t) <ɛper δx <ηrichiesta alla stabilità semplice può essere soisfatta se e solo se la norma i A k risulta, per ogni k, limitata Se infatti Ak M basterà assumere, fissato ɛ, η ɛ/m Sipuò poi imostrare che la conizione A k M< è soisfatta se e solo se tutti gli autovalori i A hanno moulo minore o uguale a e quelli i moulo unitario sono zeri semplici el polinomio minimo i A Per la stabilità asintotica occorre sia soisfatta anche la conizione lim k A k eciò avviene se e solo se tutti gli autovalori i A hanno moulo minore i Utilizzano l espressione (33) el moto e faceno riferimento alla struttura (38) elle matrici A e B nella scomposizione el sistema nelle sue parti raggiungibile e non raggiungibile si può poi verificare come un sistema risulti stabile ingresso limitato stato limitato (ilsl) se e solo se tutti gli autovalori ella parte raggiungibile el sistema hanno moulo minore i uno, se cioè tale parte risulta asintoticamente stabile Consierano infine l espressione (34) ella risposta e faceno riferimento alla struttura (332) elle matrici A, B e C nella scomposizione canonica i Kalman el sistema si può verificare come un sistema risulti stabile ingresso limitato uscita limitata (ilul) se e solo se tutti gli autovalori ella parte raggiungibile e osservabile el sistema hanno moulo minore i uno, cioè se tale parte risulta asintoticamente stabile

30 3 Capitolo 3 L estensione i tali risultati al caso continuo può essere fatta ricorano che, per uno stesso sistema continuo, il legame tra la matrice inamica, A, el moello continuo e quella, A, el moello iscreto, è ata a A e AT esseno T l intervallo i campionamento Esseno quini A (ln A )/T, la conizione moulo egli autovalori minore o uguale a uno su A iventa parte reale egli autovalori minore o uguale a zero su A Ne segue che un sistema lineare stazionario e continuo è semplicemente stabile se e solo se tutti gli autovalori ella matrice inamica A hanno parte reale minore o uguale a zero e quelli a parte reale nulla sono zeri semplici el polinomio minimo i A La stabilità asintotica richiee che la parte reale i tutti gli autovalori i A sia minore i zero Infine la stabilità ilsl richiee che siano a parte reale minore i zero tutti gli autovalori ella parte raggiungibile el sistema mentre la stabilità ilul richiee siano a parte reale minore i zero gli autovalori ella parte raggiungibile e osservabile el sistema Esempio 3 Si consieri il sistema iscreto già stuiato negli Esempi 36, 37 e 39 Si vuole, per tale sistema, valutare la stabilità semplice o asintotica, ilsl e ilul Si calcoleranno quini gli autovalori ella matrice inamica, A ; si ottiene λ λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 2 λ 6 2 Esseno presenti autovalori i moulo maggiore i uno, il sistema non risulta stabile né semplicemente né asintoticamente Nell Esempio 36 si è calcolata la matrice inamica, A, ella parte raggiungibile el sistema; gli autovalori i tale matrice sono λ λ 2 λ 3 Esseno presenti autovalori i moulo unitario, tale parte non è asintoticamente stabile e il sistema non risulta stabile ilsl Faceno infine riferimento alla scomposizione

31 R Guiorzi - Introuzione ai moelli nello spazio egli stati 3 canonica i Kalman effettuata nell Esempio 39, si trova che gli autovalori ella parte raggiungibile e osservabile sono λ λ 2 ; il sistema non è quini stabile neppure ilul RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI G Marro, Teoria ei Sistemi e el Controllo, Zanichelli Eitore, Bologna, 989 R Guiorzi, Teoria ei Sistemi: Esercizi e Applicazioni, Zanichelli Eitore, Bologna, 99