= x + x 0 2x 0 per x x 0,

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1 Lezione el 17 ottobre. Derivate 1. Derivata i una funzione in un punto Definizione 1 Sia f una funzione efinita in un intorno I i un punto x 0. Per ciascun x I con x = x 0 consieriamo: l incremento a x 0 a x, l incremento a f (x 0 ) a f (x), e il rapporto incrementale i f a x 0 a x ; iciamo ce f e erivabile in x 0 se e solo se il rapporto incrementale i f a x 0 a x converge a un numero reale per x x 0 ; il ite si ice erivata i f in x 0 e si scrive f (x 0 ); in simboli: Alcuni esempi. f (x 0 ) = x x0. 1- Sia f : R R una funzione costante f (x) = c, e sia x 0 R; per x R con x = x 0 si a = c c = 0 0 per x x 0, cosi f (x 0 ) = 0. Dunque una funzione costante e erivabile in ogni punto, e in ciascun punto a erivata nulla. 2- Sia f : R R un polinomio i primo grao f (x) = mx + q, e sia x 0 R; per x R con x = x 0 si a = mx + q (mx 0 + q) = m m per x x 0, cosi f (x 0 ) = m. Dunque un polinomio i primo grao e erivabile in ogni punto, e in ciascun punto a erivata uguale al coefficiente el termine i I grao. 3- Sia f : R R il monomio i secono grao f (x) = x 2, e sia x 0 R; per x R con x = x 0 si a = x2 x 2 0 = x + x 0 2x 0 per x x 0, cosi f (x 0 ) = 2x 0. Dunque il monomio i secono grao e erivabile in ogni punto, e in ciascun punto a erivata uguale al oppio ell orinata el punto.

2 2. Un moo equivalente i efinire rapporti incrementali e erivata. Definizione 2 Sia f una funzione efinita in un intorno I i un punto x 0. Per ciascun R abbastanza piccolo con = 0 consieriamo: l incremento a x 0 a x 0 +, l incremento f (x 0 + ) f (x 0 ) a f (x 0 ) a f (x 0 + ), e il rapporto incrementale i f a x 0 con incremento f (x 0 + ) f (x 0 ) ; iciamo ce f e erivabile in x 0 se e solo se il rapporto incrementale i f a x 0 con incremento converge a un numero reale per 0; il ite si ice erivata i f in x 0 e si scrive f (x 0 ); in simboli: Esempio. f f (x (x 0 ) = 0 + ) f (x 0 ) Sia f : R R il monomio i secono grao f (x) = x 2, e sia x 0 R; per R con = x 0 si a f (x 0 + ) f (x 0 ) cosi f (x 0 ) = 2x 0. = (x 0 + ) 2 x 2 0 = 2x 0 + 2x 0 per 0, 3. Interpretazione geometrica Sia ata una funzione f efinita in un intorno I i un punto x 0. A ciascun punto x I sull asse elle ascisse corrispone un punto f (x) sull asse elle orinate, e questi ue punti iniviuano un punto P = (x, f (x)) el grafico i f ; iniciamo con P 0 = (x 0, f (x 0 )) il punto i associato a x 0. Per ciascun x I con x = x 0 si a = penenza el segmento P 0 P. Dunque l evenienza ce il rapporto incrementale a x 0 a x tena a un ite finito equivale l evenienza ce la penenza el segmento P 0 P tena a una penenza ite finita, per x x 0. In caso affermativo, iciamo ce la erivata f (x 0 ) i f in x 0 e la penenza el grafico i f in P 0 e iciamo ce la retta per P 0 avente penenza f (x 0 ) y f (x 0 ) = f (x 0 )( ) e la retta tangente al grafico i f in P 0.

3 4. Esempio Sia f : R R, f (x) = x 2 ; il grafico i f e la parabola i equazione y = x 2. Per x 0 = 1 2 si a f ( 1 2 ) = 1; la tangente al grafico i f nel suo punto ( 2 1, 1 4 ) e la retta i equazione y 1 4 = 1 (x 1 2 ), cioe y = x 1 4. Per ciascun x 0 R si a f (x 0 ) = 2x 0. La tangente al grafico y = x 2 i f nel suo punto (x 0, x0 2 ) e la retta y x0 2 = 2x 0( ), cioe y = 2x 0 x x0 2. Nella figura seguente riportiamo alcuni punti el grafico i f, e le rette tangenti in essi al grafico i f. 5. Interpretazione cinematica 1 1 Sia ata una funzione f efinita in un intorno I i un punto x 0. Interpretiamo x come coorinata i tempo (rispetto a un certo riferimento), f (x) come coorinata i posizione su una retta (rispetto a un certo riferimento), e quini interpretiamo f come la legge el moto i un punto materiale p su una retta. Per ciascun istante x I con x = x 0 si a = velocita meia i p nell intervallo [x 0, x]. Dunque l evenienza ce il rapporto incrementale a x 0 a x tena a un ite finito equivale l evenienza ce la velocita meia el punto p nell intervallo [x 0, x] tena a una velocita ite finita, per x x 0. In caso affermativo, iciamo ce la erivata f (x 0 ) i f in x 0 e la velocita istantanea el punto p all istante x 0.

4 6. Derivate estre, sinistre Definizione 3 Sia ata una funzione f efinita in un intorno estro I i un punto x 0. Diciamo erivata estra i f in x 0 e iniciamo con f +(x 0 ) il ite, se esiste, el rapporto incrementale i f a x 0 a x per x x + 0 ; in simboli: f +(x 0 ) = x x + 0 Equivalentemente: f +(x f (x 0 ) = 0 + ) f (x 0 ). 0 + Analogamente: Definizione 4 Sia ata una funzione f efinita in un intorno sinistro I i un punto x 0. Diciamo erivata sinistra i f in x 0 e iniciamo con f (x 0 ) il ite, se esiste, el rapporto incrementale i f a x 0 a x per x x 0 ; in simboli: f (x 0 ) = x x 0 Equivalentemente... Si a Proposizione 1 Sia ata una funzione f efinita in un intorno I i un punto x 0. La funzione f a erivata in x 0 se e solo se a erivata estra in x 0, a erivata sinistra in x 0 e tali erivate coinciono; in tal caso, il valore comune i tali erivate e la erivata i f in x 0 : f (x 0 ) = f (x 0 ) = f +(x 0 ). 7. Altri esempi 1- Consieriamo la funzione f : R R efinita a { 0 per x = 0 f (x) = 1 per x = 0, e il punto x 0 = 0. Ci cieiamo se f a erivata estra in 0. Si a f (0 + ) f (0) = 1 + per 0+ Dunque f non a erivata estra in 0. Cio basta per affermare ce f non e erivabile in 0. Ci cieiamo se f a erivata sinistra in 0. Si a f (0 + ) f (0) = 1 per 0.

5 Dunque f non a erivata sinistra in 0. Questi risultati potevano essere previsti usano l interpretazione geometrica ella erivata. 2- Consieriamo la funzione g : [0, + [ R efinita a g(x) = x. e il punto x 0 = 0. La funzione non e efinita in alcun intorno sinistro i 0, unque non e efinta alcuna erivata sinistra in 0. Ci cieiamo se g a erivata estra in 0. Si a f (0 + ) f (0) = 0 = 1 + per 0 +. Dunque g non a erivata estra in 0. Questi risultati potevano essere previsti usano l interpretazione geometrica ella erivata. 3- Consieriamo la funzione v : R R efinita a v(x) = x, e il punto x 0 = 0. Per > 0 si a v(0 + ) v(0) = = 1 1 per 0+. Dunque v a erivata estra in 0 e v +(0) = 1. Per < 0 si a v(0 + ) v(0) = = 1 1 per 0+. Dunque v a erivata sinistra in 0 e v (0) = 1. Le ue erivate estra e sinistra i v in 0 sono iverse, unque si a ce v non e erivabile in 0. Questi risultati potevano essere previsti usano l interpretazione geometrica ella erivata. La funzione consierata nel primo esempio e iscontinua in 0 e non e erivabile in 0; le funzioni consierate negli altri ue esempi sono continue in 0 e non sono erivabili in 0. Proposizione 2 Sia f : I R, con I intorno i x 0. Se f e erivabile in x 0 allora f e continua in x 0. Dimostrazione f (x) = f (x 0 ) + = f (x 0 ) + f (x) f (x 0) ( ) f (x 0 ) + f (x 0 )0 = f (x 0 ) per x x 0.

6 8. Di solito, consiereremo funzioni f : A R, ove A e un intervallo, o un unione i intervalli (non riotti a un punto). Se f e erivabile in ogni punto x i A, allora si a una funzione A R x f (x) ce viene etta funzione erivata i f, e inicata con f. Ci sono vari moi i inicare la erivata i f in un punto x 0 : f f (x 0 ), x, (D f )(x 0 ), x=x0 cui corrisponono vari moi i inicare la funzione erivata: f, f x, D f. Spesso una funzione viene consierata come un espressione f (x) in una variabile reale x, e la erivazione come un operatore, inicato con x o D, ce trasforma l espressione f (x) in una nuova espressione x ( f (x)), D( f (x)). 9. Alcuni esempi i funzioni erivate i funzioni potenza. 1- Abbiamo visto ce la funzione potenza R R, x x 2 e erivabile sul suo ominio R, e la sua funzione erivata e ata a ( x 2 ) = 2x. x 2- Consieriamo ora R R, x x 3. Fissato un qualsiasi x 0 R, per x R si a = x3 x0 3 = ()(x 2 + xx 0 + x0 2) = x 2 + xx 0 + x0 2 3x2 0 per x x 0. Dunque la funzione x x 3 e erivabile sul suo ominio R, e la sua funzione erivata e ata a ( x 3 ) = 3x 2. x 3- Consieriamo ora R R, x x n,

7 ove n e un intero positivo. Fissato un qualsiasi x 0 R, per x R si a = xn x n 0 = ()(x n 1 + x n 2 x x n 1 0 ) = x n 1 + x n 2 x x n 1 0 nx n 1 0 per x x 0. Dunque la funzione x x 3 e erivabile sul suo ominio R, e la sua funzione erivata e ata a x (xn ) = nx n Funzioni potenza. Ciascuna funzione potenza ]0, + [ R, x x α (α R) e erivabile sul suo ominio ]0, + [, e la sua funzione erivata e ata a x (xα ) = αx α 1. Per α 0 la funzione potenza x α e efinita ance per x = 0; se α 1, allora la funzione e erivabile ance in 0, e si a x α /x x=0 = 0; se 0 < α < 1, la funzione non e erivabile in x = 0. Per α Z la funzione potenza x α e efinita e erivabile su R \ 0, e se α = 0 e efinita e erivabile su tutto R; vale sempre la regola i erivazione soprascritta. 11. Funzione esponenziale. La funzione esponenziale R R, x e x e erivabile su R e coincie con la sua funzione erivata: x (ex ) = e x. Questo fatto eriva a un ite notevole sull esponenziale. Dato x 0 R, si a e x0+ e x 0 = e x 0 e 1, passano al ite per 0 si a e x0+ e x 0 0 unque ex x = e x 0, x 0 R. x=x0 = e x 0 0 e 1 = e x0 1 = e x 0 ;

8 12. Funzione Logaritmo. La funzione logaritmo ]0, + [ R, x log x; e erivabile sul suo ominio ]0, + [ e la sua funzione erivata e : x (log x) = 1 x. Questo fatto eriva a un ite notevole sul logaritmo. Dato x 0 R, si a log (x 0 + ) log x 0 ( ) = log x0 + x 0 passano al ite per 0 si a unque log x x log (x 0 + ) log x 0 0 = 1 x=x0 x 0, x 0 R. 13. Funzioni trigonometrice La funzione seno R R, x sin x e erivabile su R e la sua funzione erivata e : La funzione coseno R R, x cos x ) (1 = log + x0 ) (1 = log + x0 1, x x 0 0 ) = 1 log (1 + x0 = 1 1 = 1 ; x 0 0 x x 0 x 0 0 (sin x) = cos x. x e erivabile su R e la sua funzione erivata e : (cos x) = sin x. x