Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione ordinaria 2012, matematicamente.it

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1 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it PROBLEMA La funzione f è efinita e erivabile sull intervallo chiuso 7, e è f. Il grafico i y f ', la erivata i f, consiste i tre segmenti e una semicirconferenza i raggio e centro in O, come inicato nella figura sotto.. Si eterminimo f e f. Si eterminino le ascisse i ciascun punto i flesso el grafico i y f, illustrano il ragionamento seguito.. La funzione g è efinita a g f. Si eterminino le ascisse, con 7, ei punti critici i g, specificano se si tratta i massimo, i minimo o nè l uno nè l altro e esponeno il ragionamento seguito.

2 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it Punto Possiamo scrivere la funzione f f f ' t t f ' t RISOLUZIONE f come t ; i conseguenza f f ' t t ; l integrale efinito ' t f t rappresenta l area sottesa alla erivata prima nell intervallo, e risulta essere la somma ell area i un quarto i cerchio i raggio e ell area el triangolo i cateto maggiore pari a e cateto minore unitario; pertanto f f ' t t e f ' t t f f ' t t f ' t t e ' t. Analogamente f t rappresenta l area sottesa alla erivata prima nell intervallo, e risulta essere pari all area i un quarto i cerchio i raggio, f ' t t, pertanto f f ' t t. Punto I punti i flesso vanno ricercati nei punti in cui la erivata prima cambia monotonia; al grafico euciamo che le ascisse i suetti punti sono,,. In particolare è ascissa i flesso a tangente obliqua con penenza pari a in quanto f ', mentre per e

3 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it vanno fatte alcune consierazioni. Dal grafico ella erivata prima possiamo eurre anche la sua forma analitica: 7,, la erivata prima è una la i estremi 7, e, i equazione y ;,, la erivata prima è la semicirconferenza i centro l origine e raggio nel semipiano y i equazione y ;,, la erivata prima è la retta i estremi, e, equazione y ;,, la erivata prima è la retta i estremi, e, i i equazione y 9. La erivata secona sarà quini pari a: se 7 f '' se se se Dal prospetto soprastante notiamo subito che la erivata secona si annulla in, che pertanto è ascissa i flesso a tangente obliqua come preceentemente imostrato. Calcoliamo ora i limiti estro e sinistro per e : lim f '' lim lim f '' lim f '' lim f ''

4 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it Dai limiti soprastanti euciamo che in la erivata secona non è efinita in quanto il limite estro è finito e pari a mentre quello sinistro è ; anche in la erivata secona non è efinita in quanto è punto angoloso per la erivata prima poichè il limite estro è pari a mentre quello sinistro è pari a ; quini in conclusione e sono comunque ascisse i flessi ella funzione in quanto in essi la erivata prima cambia monotonia, anche se la erivata secona in essi non è efinita. Anche se non espressamente richiesto proviamo a fornire un grafico ella funzione f f ' t t. Dal grafico ella erivata prima euciamo che f ' è negativa in 9 7,, e positiva in 9 9,,, pertanto è ascissa i minimo relativo e ascissa i massimo relativo, come si evince al quaro ei segni ella erivata prima a lato. 7 - minimo massimo + Sappiamo inoltre che essa presenta tre flessi alle ascisse,, e che in particolare è a tangente orizzontale e che f e f. Calcoliamo ora il valore ella funzione in alcune ascisse:

5 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it 7 f f ' t t f ' t 7 7 t ; l integrale efinito t 7 f ' t è pari all area i un quarto i cerchio i raggio cui va sottratta l area el triangolo rettangolo i cateti e, pertanto 7 f ' t t a cui f ; 7 f ' t t 7 f f ' t t ove ' t f t è l area i un quarto i cerchio i raggio pertanto f f ' t t ; 9 9 f f ' t t f ' t t f f ' t t ove f ' t è l area el triangolo i altezza e base pertanto 9 f f 9 f ' t t ; 9 9 f f f ' t t ove ' t f t è l area cambiata i segno i un triangolo rettangolo i cateti e, pertanto f 9 7 f f ' t t 9. t

6 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it 9 f, 9 il punto M, è i massimo assoluto e, poiché f f m, è i minimo assoluto. Dai risultati soprastanti euciamo che, poiché f 7, il punto Il grafico i f f ' t t è i seguito presentato. Punto g f è, pertanto per trovare i punti critici i La erivata prima ella funzione g' f ' 6

7 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it g f bisogna trovare le ascisse per cui g' f '. Veiamo quali sono le intersezioni i e terzo quarante i equazione 7,, ' y : f ' con la bisettrice el primo f e l intersezione con y fornisce la soluzione non accettabile in quanto non appartenente a 7, ;,, f ' e l intersezione con y fornisce la soluzione accettabile in quanto appartenente a,;,, f ' e l intersezione con y fornisce la soluzione accettabile in quanto appartenente a, ;, f ' 9 e l intersezione con y fornisce la soluzione,., accettabile in quanto appartenente a ' ha ue soluzioni, e Pertanto l equazione f. Se mettiamo i grafici i f ' e ella bisettrice el primo e terzo quarante i equazione y in un unico sistema i riferimento cartesiano Oy, possiamo notare i risultati sopra ottenuti. 7

8 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it Dal grafico soprastante notiamo che in 7, risulta f ' g' mentre in,, risulta f ' g', pertanto è massimo relativo per g f, mentre non è né i minimo né i massimo. L orinata el massimo relativo è g f f f ' t t f ' t t 8 ove ; l integrale efinito è pari all area i un quarto i cerchio i raggio cui va sottratta l area el triangolo mistilineo i estremi,,,,, ; l area el triangolo mistilineo può essere vista come la ifferenza tra l area el settore circolare i raggio e apertura e l area i un triangolo rettangolo isoscele i cateto, i conseguenza f ' t t f 6 e g, pertanto. Per via alternativa l integrale efinito

9 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it 9 ' t t f può essere calcolato irettamente ricorano che R C C t t t t t, arcsin, pertanto arcsin t t t f come preceentemente calcolato. In conclusione il massimo relativo per f g è, M.

10 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it PROBLEMA Si consieri l arco AB, quarta parte i una circonferenza i centro O e raggio.. Sia C un punto i AB, M il punto meio ella cora AC e D il punto i incontro elle rette OM e BC. Si provi che il triangolo CMD è rettangolo isoscele qualunque sia la scelta i C sull arco AB, e, successivamente, si esprima in funzione i CD il rapporto controllano che risulta: AM OA f. Si stui la funzione f AC, si tracci il suo grafico inipenentemente ai limiti geometrici e, inicato con il ramo appartenente al primo quarante, si ica se esiste su un punto i orinata massima e, in caso affermativo, lo si etermini.. Si calcoli l area ella regione finita i piano limitata a e alla retta r, tangente al grafico i f nel suo punto T i ascissa. RISOLUZIONE

11 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it Punto Consieriamo la figura a lato. Il triangolo AOC è isoscele su base AC in quanto AO e OC sono ue raggi; se M è il punto meio i AC, il segmento OM non è altro che l altezza el triangolo AOC, pertanto l angolo in M è retto. Proviamo ora che CMD è anche isoscele. Poniamo A OC ˆ, i conseguenza B OC ˆ 9 ; poiché AOC e BOC sono isosceli si ha AOM ˆ MOˆ 8 9 C e O BC ˆ OCˆ B. L angolo O C ˆM 9 in quanto il triangolo OMC è rettangolo, pertanto O CB ˆ OCM ˆ 9 per cui M C ˆD 8, e esseno CMD rettangolo, anche M D ˆC, pertanto il triangolo CMD è isoscele. Se AC, con, AM pertanto traccia. CM e CD CM CD f come inicato alla AM OA

12 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it Punto Stuiamo la funzione Dominio: R; f. Intersezione asse ascisse: f ; Intersezione asse orinate: f ; Simmetrie: la funzione è pari in quanto f f Positività: f R ; Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il ominio è R; Asintoti orizzontali: poiché lim la retta y è asintoto orizzontale estro e sinistro; Asintoti obliqui: poichè f è razionale fratta, la presenza ell asintoto orizzontale esclue la presenza i quello obliquo; 6 Crescenza e ecrescenza: f ' per cui la erivata prima è positiva in, e negativa in,, pertanto f è strettamente crescente in, e strettamente ecrescente in, e presenta i conseguenza un minimo relativo e assoluto in,; 6 Concavità e convessità: '' concavità verso l alto in ; f pertanto, e verso il basso in f presenta

13 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it,, e i punti,,, sono ue flessi a tangente obliqua con penenza rispettivamente Il grafico è i seguito presentato. e 8. 8 Poiché la funzione è strettamente crescente in,, sul ramo el primo quarante non esiste un punto a orinata massima. Punto La tangente al grafico i f in T, è m y ove 6 m f ' pertanto la tangente ha equazione y. Le intersezioni ella retta tangente con f si ricavano risolveno l equazione a cui. L area richiesta è raffigurata in grigio i seguito.

14 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it Essa è pari a arctan arctan 8 S

15 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it QUESTIONARIO Quesito Quante sono tutte le funzioni iniettive a un insieme A i n elementi in un insieme B i m elementi? Una funzione f : A B si ice iniettiva se soisfa la proprietà i unicità per cui per ogni elemento m i B esiste al più un elemento n i A per il quale m f n. Pertanto una conizione a imporre sulla carinalità ei ue insiemi è n m, in quanto se n m non possono esistere funzioni iniettive a A a B. Siano allora A,,,n e B,,,m gli insiemi finiti stanar rispettivamente con n e m elementi e sia f : A B una funzione iniettiva. Il valore f può essere uno qualunque egli m elementi i B; il valore f può essere uno qualunque egli m elementi i B in quanto, per l iniettività i f, il valore f non può essere più assunto, pertanto le possibili scelte per i valori f e f sono m m. iterano il proceimento, il valore f n può essere uno qualunque egli m n elementi i B in quanto, per l iniettività i f, i valori f, f,, f n non possono essere più assunti, pertanto le possibili scelte per i valori f, f,, f n, f n sono m! m m m n e coinciono con il numero i m n! isposizioni semplici i m oggetti presi n alla volta, o i classe n e si inica con D,. Nel caso in cui n m, il numero elle isposizioni m n n! n! iventa D n, n n! che coincie con il numero i n n!! permtazioni egli n elementi.

16 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it Quesito Tra tutti i settori circolari che hanno un perimetro i metri, si etermini quello i area massima. Consieriamo il settore circolare AOB a lato i raggio AO OB r e apertura con,. Il suo perimetro è p r, r mentre la sua area è r r, S r Imponeno che il perimetro sia metri si ricava r pr, r r, pertanto, poiché,, r r imponeno la isuguaglianza ricaviamo r r. Sostitueno nella formula ell area r si ha, r r S r Sr r r r. La funzione area è una parabola con concavità verso il basso il cui massimo è raggiunto nell ascissa el vertice, r ma m, accettabile in quanto rispetta la conizione r, cui corrispone ma ra a cui 8 ra 6 ma '''. Il valore ell area massima è ra S, 6 m. pertanto 6

17 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it Quesito Sia R la regione el piano racchiusa tra il grafico i y, la retta e l asse. Si trovi il volume el solio generato a R nella rotazione attorno alla retta y. La funzione y non è altro che l arco i parabola i equazione y con asse coinciente con l asse elle ascisse e vertice in, efinito nel semipiano y. Il volume W el solio generato alla rotazione ella regione R, a lato raffigurata, attorno alla retta y può essere ottenuto applicano il Principio i Cavalieri, cioè immaginano il solio i rotazione come insieme elle sue sezioni con piani perpenicolari all'asse ; tali sezioni sono corone circolari i raggio interno costante pari a R int, e raggio esterno pari a R est. Pertanto il volume richiesto è pari a V W R R est int 8 6 7

18 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it Quesito Si etermini l equazione ella normale alla curva y e nel suo punto i ascissa ln. La retta normale è la retta perpenicolare alla tangente nel punto i tangenza. La retta tangente al grafico i y e in ln, è y f ' ln ln ove f ' ln e ln per cui l equazione è y ln. Di conseguenza la retta normale ha equazione y ln. Quesito Fra tutti i parallelepipei a base quarata con iagonale i misura, si etermini quello i volume massimo. Il volume el parallelepipeo è ato al prootto elle tre imensioni, cioè ell area i base per l altezza. Inichiamo con il lato i base e con y l altezza. Conosceno la misura ella iagonale, l altezza è y a cui euciamo l ulteriore limitazione lato i base, pertanto il volume è V sul y con. La massimizzazione el volume la effettuiamo meiante erivazione. La erivata prima è V ' che risulta 8

19 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it 9 essere positiva in, e negativa in,, pertanto la funzione volume è strettamente crescente in, e strettamente ecrescente in, e presenta pertanto un massimo all ascissa. Notiamo che in corrisponenza i l altezza el parallelepipeo è y, pertanto il parallelepipeo i volume massimo coincie con il cubo i spigolo l e il volume massimo è pari a 9 V. Quesito 6 Si calcoli: sin tan lim Ricorano i limiti fonamentali n m n m n m n m sin,lim tan lim, il limite richiesto iventa 6 sin tan lim sin tan lim.

20 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it Quesito 7 Sia AB un segmento i lunghezza m. Si etermini il luogo ei punti C ello spazio tali che AB ˆ C sia retto e BA ˆ C misuri 6. Consieriamo la figura seguente Il luogo appartiene sia al piano s passante per B e perpenicolare a AB che alla superficie conica inefinita formata a tutte le semirette i origine A che formano con AB un angolo i 6 : il luogo cercato è quini la circonferenza, giacente nel piano s, i centro B e raggio r pari al raggio i base i un cono i semiapertura 6 e altezza, cioè r BC AB tan BAˆ C tan 6 y B - ; l equazione i suetta circonferenza è pertanto a y b. C Quesito 8 Quanti sono i numeri i 6 cifre che contengono: volte esatte la cifra, volte esatte la cifra e non contengono la cifra? Aveno fissato ue cifre pari a e ue cifre pari a, le altre ue cifre vanno ricercate in,,,6,7,8,9 in quanto per ipotesi evono essere iverse a zero e non contenere o in quanto i numeri richiesti evono contenere solo ue e ue. I numeri aventi le altre ue cifre uguali tra loro sono pari a: 6! 7 6!!!.

21 Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Europa sessione orinaria, matematicamente.it I numeri aventi le altre ue cifre ifferenti tra loro sono pari a: 7 6! 8 78.!! In conclusione i numeri richiesti sono 6 78.