Esercitazioni del 18 marzo Calcolo della curvatura di un arco di curva regolare γ in R 3

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1 Esercitazioni el 18 marzo 2013 Calcolo ella curvatura i un arco i curva regolare γ in R 3 Consieriamo un arco i curva regolare γ, escritta analiticamente a una parametrizzazione α : I R 3, con I intervallo in R: t α(t) = (x(t), y(t), z(t)) Abbiamo visto che per ogni t I il vettore α (t) è tangente alla curva γ nel punto α(t). La conoscenza i α ( t) permette quini i scrivere l equazione ella retta tangente a γ in α( t). In forma parametrica questa è infatti ata a Esempio r(t) = α( t) + tα ( t), t R. Descrivere la retta tangente alla spirale i Archimee, parametrizzata a α(t) = (t cost, t sin t), t [0, 2π] nel punto α(π/2). soluzione: Il punto corrisponente al valore el parametro t = π/2 ha coorinate α(π/2) = (0, π/2). Il vettore tangente alla curva è ato a α (t) = (cost t sin t, sin t + t cost). In t = π/2 abbiamo α (π/2) = ( π/2, 1). La retta passante per il punto (0, π/2) e iretta lungo il vettore ( π/2, 1) ha equazione parametrica ( r(t) = 0, π ) + t ( π ) 2 2, 1 = ( π 2 t, π ) 2 + t, t (, + ) Versore tangente, versore normale e curvatura Introuciamo ora un parametro reale positivo che esprime la rapiità con cui varia la irezione ella retta tangente. Il primo passo è la efinizione el versore tangente alla curva γ nel punto α(t). Viene inicato con T(t) e si calcola ivieno il vettore tangente α (t) per la sua norma: T(t) := α (t) α (t) Per costruzione T(t) è un vettore i norma 1 tangente punto per punto alla curva γ. Notiamo che, per l ipotesi i regolarità ella curva, α (t) 0 per ogni t, e quini

2 T(t) è sempre ben efinito. Il passo successivo è lo stuio ella variazione i T(t) lungo la curva, ovvero el vettore T(t). Tale vettore ha le seguenti caratteristiche: t 1. La irezione i T(t) è sempre ortogonale a quella i T(t), infatti, ato che t T(t) = 1 per ogni t abbiamo: 0 = t (T(t) T(t)) = 2T(t) t T(t). Definiamo versore normale alla curva γ nel punto α(t) il vettore i norma 1 con la irezione e il verso i T(t). Tale versore, ortogonale a T(t), viene t inicato con N(t) e è ato a N(t) := tt(t) t T(t) 2. Per quanto riguara la norma i T(t), intuitivamente questa esprimerà la t velocità i variazione ella irezione ella retta tangente. In particolare, se T(t) = 0 per ogni t, allora la costanza el versore tangente ci irà che t la curva γ è una retta 1. Viceversa, quanto maggiore sarà T(t), tanto t maggiore sarà la rapiità con cui γ si allontana alla sua retta tangente in α(t). Sulla base i queste consierazioni efiniamo la curvatura i γ nel punto α(t) come il numero reale positivo ato a t k(t) := T(t) (1) α (t) Inipenenza alla parametrizzazione Il parametro k(t) efinito all equazione (1) è una caratteristica geometrica ella curva γ, nel punto α(t). In altre parole, se parametrizziamo γ con un nuova parametrizzazione β : I R 3, il valore ella curvatura non cambia. In particolare, se la curva γ viene parametrizzata in funzione el parametro arco s: s α(s) = (x(s), y(s), z(s)), s [0, L], allora le formule assumono una forma particolarmente semplice che mette in evienza il significato geometrico el parametro k: T(s) = α (s), k(s) = s T(s) 1 Provate per esercizio a imostrare questa affermazione

3 Raggio i curvatura e cerchio osculatore Definiamo raggio i curvatura il valore ρ(t) = 1. Tale numero reale positivo rappresenta il raggio el cerchio osculatore ella curva γ nel punto α(t). Il cerchio k(t) passante per α(t) che meglio approssima la curva γ in un intorno i α(t). Tale cerchio giace sul piano iniviuato ai versori T(t) e N(t), etto piano osculatore. Il centro è il punto C ottenuto parteno al punto α(t) e muovenosi i una istanza pari a ρ(t) nella irezione el versore N(t): Esempio: elica cilinrica C = α(t) + ρ(t)n(t) Calcolare punto per punto il versore tangente, il versore normale e la curvatura ell arco i elica cilinrica parametrizzato a: α(t) = (R cost, R sin t, ht), t R Desfrivere il cerchio osculatore nel punto α(π/2). Soluzione: il versore tangente è ato a: α (t) = ( R sin t, Rcost, h), α (t) = R 2 + h 2, T(t) = α (t) α (t) = 1 sin t, R cost, h) R2 + h2( R t T(t) = 1 cost, R sin t, 0), R2 + h2( R Il versore normale è quini ato a: N(t) = tt(t) t T(t) t T(t) = = ( cos t, sin t, 0), R R2 + h 2. e la curvatura 2 a: K(t) = t T(t) α (t) = R R 2 + h 2. 2 Riflettete sulla ipenenza i k ai parametri R e h, teneno conto el loro significato geometrico

4 Il raggio i curvatura è ato a ρ(t) = 1 K(t) = R2 + h 2 R, e, analogamente alla curvatura, non ipene al parametro t, quini non varia lungo la curva. Esercizio per casa: Provate a calcolare il versore tangente, il versore normale e la curvatura ell arco i elica cilinrica utilizzano la parametrizzazione ella curva in funzione el parametro arco s, ricavata nelle esercitazioni el 11/3/2013. Il cerchio osculatore nel punto α(π/2)) = (0, R, hπ/2) 1. giace sul piano iniviuato a N(π/2) = (0, 1, 0) e T(π/2) = 2. ha raggio pari a ρ = R2 +h 2 R, 3. il centro è il punto C = α(π/2)) + ρn(π/2) = (0, 1, 0) + R2 + h 2 1 R 2 +h 2 ( R, 0, h), R (0, 1, 0) = (0, h2 /R, 0). Esercizio per casa: Mostrate che la rappresentazione parametrica per il cerchio osculatore in funzione el parametro arco s è la seguente β(s) = C ρ cos(s/ρ)n(π/2) + ρ sin(s/ρ)t(π/2) ( ) = (0, h 2 /R, 0) R2 + h 2 sr R2 + h cos (0, 1, 0) + 2 R R 2 + h 2 R s [0, 2πρ]. Provate a isegnare tale curva. Analogia cinematica Se riguariamo la parametrizzazione α : I R 3 ella curva γ come la legge oraria el moto i un punto materiale, allora il parametro t viene interpretato come la variabile tempo, mentre il vettore α(t) viene interpretato come il vettore posizione el punto materiale all istante t. Analogamente α (t) va interpretato come il vettore velocitaà istantanea v(t) e α (t) come il vettore accellerazione a(t). Proviamo a scrivere tali vettori metteno in evienza T, N e k. Scriviamo il vettore velocità v(t) metteno in evienza la sua norma: α (t) v(t) = v(t) T(t) ( ) sr sin ( R, 0, h) R 2 + h 2

5 Il vettore accelerazione quini è ato a a(t) = t v(t) = t ( v(t) T(t)) = t ( v(t) )T(t) + v(t) t T(t) = t ( v(t) )T(t) + v(t) 2 k(t)n(t) Nell ultima riga si vee come il vettore accellerazione istantanea viene scomposto in 2 componenti: una tangente al moto (iretta lungo il versore T), la componente tangenziale, e una ortogonale al moto (iretta lungo il versore N), la componenete centripeta. Quest ultima aumenta all aumentare ella curvatura e el moulo ella velocità istantanea. In altre parole, affinché la traiettoria el punto escriva curva γ, è necessaria una forza in grao i prourre, oltre alla componente tangenziale ell accelerazione, anche quella centripeta. Quest ultima sarà tanto più grane quanto maggiore sarà la curvatura i γ e la velocità el punto materiale. Una formula alternativa per il calcolo i k A volte, per semplificare i calcoli, è utile calcolare la curvatura k utilizzano la seguente formula 3 : K(t) = α (t) α (t) α (t) 3 Esempio: Calcolare la curvatura ella curva γ nel piano xy grafico ella funzione y = x 2. Soluzione: Parametrizzaimo γ nel moo seguente Abbiamo allora: α(t) = (t, t 2, 0), t R. α (t) = (1, 2t, 0) α (t) = (0, 2, 0) α (t) α (t) = (0, 0, 2) K(t) = α (t) α (t) α (t) 3 = 2 (1 + 4t 2 ) 3/2 Notiamo che k(t) assume il valore massimo per t = 0, ovvero nel vertice (0, 0) ella parabola y = x 2. Esercizio per casa: Ricavate il versore tangente e il versore normale in tutti i punti ella curva γ. 3 Provate a imostrarla per esercizio