11. Equazioni quasilineari del primo ordine

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1 11. Equazioni quasilineari el primo orine Una equazione quasilineare el primo orine in ue variabili è una espressione el tipo (1) a(x, y, u)u x + b(x, y, u)u y = c(x, y, u) ove x e y variano in un aperto A R 2 e i coefficienti a, b, c sono funzioni regolari el loro argomento. Se introuciamo il vettore (vettore caratteristico) v = (a, b, c) è chiaro che la relazione preceente si può scrivere come v (u x, u y, 1) = 0. Poichè il vettore (u x, u y, 1) rappresenta la irezione normale alla superficie S grafico ella funzione u = u(x, y), possiamo ire che u è soluzione ella (1), se e solo se il vettore caratteristico è contenuto nel piano tangente alla superficie grafico. Per questo motivo iciamo che S = graf(u) è una superficie integrale per la (1). Se riferiamo le linee caratteristiche (ossia le linee la cui tangente in ogni punto coincie con la irezione el vettore caratteristico) al parametro t, esse sono efinite al sistema i equazioni ifferenziali el primo orine in forma normale x = a(x, y, z) y (2) = b(x, y, z) z = c(x, y, z) Osserviamo che la soluzione i questo sistema ifferenziale ipene a tre costanti arbitrarie e in generale, unque, riempe lo spazio. Inoltre vale il seguente risultato, i cui omettiamo la semplice imostrazione. Proposizione 1. - Sia S una superficie integrale per la (1). Se una linea caratteristica λ ha in comune con S un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) la caratteristica meesima giace interamente su S. Questo ci ice che una superficie integrale S è costituita a una semplice infinità i linee caratteristiche, le quali, per il teorema i esistenza e unicità el sistema (2), goono chiaramente elle seguenti proprietà: a) ue linee caratteristiche non hanno punti in comune; b) per un punto arbitrario i S passa una e una sola caratteristica. Tutto questo ci permette i risolvere rapiamente, con semplici consierazioni i carattere geometrico, il problema i Cauchy per la (1), che consiste nell inicare una linea L i equazioni parametriche x = f(s) y = g(s) z = h(s) 11.1

2 che sia contenuta nella superficie S. In altri termini, cerchiamo una funzione z = u(x, y) tale che h(s) = u(f(s), g(s)). Frequentemente la variabile y assume il significato i variabile temporale; in tal caso si parla anche i problema ai valori iniziali e si assegna, allora, u(x, 0) = h(x), che equivale, nella notazione preceente, a porre x = s y = 0 z = h(s). Geometricamente questo significa che la linea L è assegnata nel piano xz. che Assumiamo, unque, che le funzioni f, g, h siano i classe C 1 nell intervallo [0, 1] e (3) f (s) 2 + g (s) 2 > 0 s [0, 1]. Geometricamente questo equivale a richieere che siano regolari sia la linea L sia la sua proiezione L 0 sul piano xy. Inoltre la (3) equivale a supporre che in nessun punto ella L la tangente sia parallela all asse elle z e questo riflette la conizione che in nessun punto i L il piano tangente è parallelo all asse elle z (in tal caso, infatti, u x e u y non potrebbero essere continue). Richieiamo, inoltre, che le funzioni a, b, c siano i classe C 1 in un aperto Ω R 3 che contiene la curva L. Noi cerchiamo, unque, una funzione z = u(x, y) che sia una soluzione locale el Problema i Cauchy per la (1), ossia che sia efinita in un intorno ella L. Per quanto etto sopra, la soluzione è ata alla soluzione el seguente Problema i Cauchy (4) x(t, s) = a(x(t, s), y(t, s), z(t, s)), y(t, s) = b(x(t, s), y(t, s), z(t, s)), z(t, s) = c(x(t, s), y(t, s), z(t, s)), x(0, s) = f(s) y(0, s) = g(s) z(0, s) = h(s). Osserviamo innanzi tutto che la (4) efinisce effettivamente una superficie regolare se il vettore P t P s non si annulla mai nell insieme i efinizione elle variabili s e t. Questa conizione equivale a affermare che in ogni punto il piano tangente è ben efinito. Analiticamente abbiamo i j k x t y t z t x s y s z s 0 y t y s z t z s i + z t z s x t x s 11.2 j + x t x s y t y s k 0.

3 Tuttavia, se vogliamo mettere la nostra superficie nella forma z = u(x, y), una conizione sufficiente fornita al Teorema i Dini garantisce che basta assumere (5) x t(0, s) y t (0, s) x s (0, s) y s (0, s) 0 s [0, 1]. Dal momento che le x e y sono i classe C 1, per il Teorema ella permanenza el segno la conizione (5) garantisce che ci si può porre nella forma z = u(x, y) in tutto un intorno ella linea L. Teneno conto ella (4), la (5) si riscrive come (6) a(f(s), g(s), h(s)) b(f(s), g(s), h(s)) f (s) g (s) 0 s [0, 1]. Geometricamente la (6) esprime il fatto che la proiezione L 0 ella linea L sul piano xy e la proiezione v 0 el vettore caratteristico sullo stesso piano non evono essere mutualmente tangenti. Ritroviamo, unque, anche in questo contesto la conizione già vista per le equazioni ifferenziali alle erivate parziali el secono orine, per cui le linee che portano i ati non evono essere tangenti in alcun punto alle linee caratteristiche. Osserviamo che la (6) è i importanza assolutamente fonamentale: nel caso non valga, infatti, non è possibile garantire l esistenza e/o l unicità ella soluzione per il Problema i Cauchy per la (1). Se abbiamo a che fare con una equazione lineare a(x, y)u x + b(x, y)u y = c(x, y)u + (x, y) si ripete pari pari tutto il iscorso preceente, teneno conto che le linee caratteristiche risolvono x(t, s) = a(x(t, s), y(t, s)), x(0, s) = f(s) (7) y(t, s) = b(x(t, s), y(t, s)), y(0, s) = g(s) z(t, s) = c(x(t, s), y(t, s))z(t, s) + (x(t, s), y(t, s)), z(0, s) = h(s). Quanto fatto finora, unque, prova l esistenza ella soluzione. La sua unicità segue al fatto che ogni altra superficie integrale passante per L ovrebbe contenere le caratteristiche che intersecano L e quini forzatamente coincie con quanto testè trovato. Sinteticamente, unque, abbiamo imostrato il seguente Teorema 1. - Supponiamo che f, g, h siano funzioni i classe C 1 nell intervallo [0, 1] e soisfino f (s) 2 + g (s) 2 > 0 per ogni s [0, 1]. Supponiamo, inoltre, che a, b, c siano funzioni i classe C 1 in un aperto Ω R 3 che contiene la linea L parametrizzata a f, g e h. Supponiamo, inoltre, che per ogni s [0, 1] risulti g (s)a(f(s), g(s), h(s)) f (s)b(f(s), g(s), h(s))

4 Allora esiste unica in un intorno ella linea L la soluzione el Problema i Cauchy per la (1) assegnato lungo la stessa L. Osservazione 1. - È chiaro che l intervallo [0, 1] richiesto per la s può equivalentemente essere sostituito a qualunque altro intervallo chiuso e limitato. Inoltre quanto fatto qui per il caso elle ue variabili può essere generalizzato a un numero arbitrario i variabili. Osservazione 2. - Il metoo consierato (ovuto originariamente a Cauchy) fornisce una soluzione locale el Problema i Cauchy per la (1), ossia la superficie integrale S è efinita solo in un intorno ella L. Ci si potrebbe chieere se questo sia solo un limite erivante al metoo utilizzato o se esprima, invece, una situazione più generale. Come mostreremo nel prossimo esempio, è facile renersi conto che si tratta i una conseguenza iretta e ineliminabile ella non linearità ell equazione. Esempio. - Consieriamo l equazione quasi lineare (8) uu x + u y = 0 nota come equazione i Burgers. Se interpretiamo la variabile y come tempo, si tratta i un esempio monoimensionale molto semplice i legge i conservazione: si può porre, infatti, nella forma ( ) u 2 u y + = 0 2 che è appunto tipica per le leggi i conservazione. Se, inoltre, leggiamo x come la variabile spaziale i un problema monoimensionale e u(x, y) come un campo i velocità lungo l asse x (ossia u = x y ), osserviamo che possiamo riscrivere y u(x(y), y) = u x x + u y = uu x + u y = 0 e quini ogni particella si muove con velocità costante, al momento che l accelerazione è nulla. Detto in altri termini, u è costante lungo le linee x = x(y) proiezioni elle caratteristiche nel piano xy. Se h(x) = u(x, 0) escrive la istribuzione iniziale i velocità, la soluzione el Problema i Cauchy per la (8) è ata a x(t, s) = z(t, s), x(0, s) = s y(t, s) = 1, y(0, s) = 0 z(t, s) = 0, z(0, s) = h(s) a cui traiamo x = s + zt x y = t z = h(s) 11.4

5 che fornisce la soluzione in forma implicita u = h(x uy). Come icevamo sopra, la funzione u ha il valore costante u = h(s) lungo la proiezione C s ella caratteristica nel piano xy che passa per il punto (0, s) e che ha equazione (9) x = s + h(s)y Fisicamente la (9) rappresenta la legge oraria i una particella che all istante y = 0 occupa la posizione x 0 = s. Due iverse caratteristiche C s1 e C s2 si intersecano nel punto (x, y) ato alla soluzione el sistema { x = s1 + h(s 1 )y a cui in particolare si ricava x = s 2 + h(s 2 )y (10) ȳ = s 2 s 1 h(s 2 ) h(s 1 ). Dal momento che siamo interessati alla soluzione per y > 0, qualora h sia una funzione crescente, il valore fornito alla (10) è negativo e non crea alcun problema. Nel caso, invece, h sia ecrescente, allora la (10) inica l esistenza i un valore i y per cui la u iviene singolare. Questo è eviente a un punto i vista analitico, perchè in ȳ si intersecano ue rette lungo le quali u assume ue valori istinti. Fisicamente questo corrispone al fatto che una particella più veloce collie con una più lenta che le sta avanti. Possiamo rappresentare questo fenomeno graficamente. Grafico i h(x) 1 x y y=1 A B C 1 x 11.5

6 Se consieriamo la regione 0 t 1, in A le proiezioni elle caratteristiche hanno tutte penenza 1 e lungo i esse la funzione u vale 1; in C le proiezioni hanno penenza infinita e la soluzione vale costantemente 0; in B osserviamo che gli intervalli in x nei quali u ecresce a 1 a 0 si fanno sempre più piccoli al crescere i t fino a che nel punto (1, 1) una soluzione continua non può più esistere. Possiamo rappresentare la u a istanti successivi, per cogliere ancor meglio la natura el fenomeno. t 1 t t 3 t =1 1 1 La natura ella singolarità è ancora più chiara se seguiamo i valori ella erivata u x (x, y) lungo la (9). Da u = h(x uy) otteniamo u x = h (x uy)(1 u x y) e teneno conto che ci muoviamo lungo la caratteristica ricaviamo u x = h (s) 1 + h (s). Se, unque, il ato iniziale è ecrescente (h (s) < 0), u x esploe per y = 1 h (s) il cui valore minimo corrispone al valore s = s 0 in cui h ha un minimo. Possiamo, perciò concluere che al tempo T = 1 h (s 0 la soluzione mostra il cosietto blow up e non possono più esistere ) soluzioni i classe C 1 oltre T. Questo conferma l esistenza puramente locale (in tempo) ella soluzione (problema che ha motivato l introuzione i questo esempio). D altro canto, poichè in natura esistono fenomeni iscontinui che presentano la permanenza i singolarità el tipo ora incontrato, l esempio mostra la necessità i introurre un nuovo concetto i soluzione, che permetta i affrontare aeguatamente il problema. Tutto ciò, peraltro, esce ai limiti el corso. Osserviamo infine che il comportamento ora osservato può essere generalizzato al caso i equazioni el tipo u y + a(u)u x = 0 pressochè con il meesimo tipo i conclusioni. 11.6