ANALISI MATEMATICA A CORSO DI LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA

Transcript

1 ANALISI MATEMATICA A CORSO DI LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA 6-7 Settimana : Equazioni Differenziali Esempio. L esempio più familiare di equazione differenziale proviene dalla legge di Newton. Se t y(t) rappresenta la posizione di una particella, di massa m e soggetta ad una forza F, in funzione del tempo t, allora accelerazione e velocità della particella sono legate dalla relazione () m d dt y(t) = F ( t,y(t), dy dt (t) La relazione precedente viene spesso scritta in modo più sintetico come my = F ( t,y,y ). Nel caso particolare che l unica forza sia la gravità, che ulteriormente supponiamo costante, si ottiene il seguente caso particolare () m d dty(t) = mg. Quindi, integrando l equazione, si ottiene dy dt (t) = gt+c, y(t) = gt +C t+c. In questa espressione C e C sono costanti arbitrarie, quindi ci sono infinite soluzioni distinte dell equazione differenziale (). In questo caso tutte le soluzioni sono date dall espressione (3) t y(t) := gt +C t+c che viene quindi detta integrale generale dell equazione differenziale (). I seguenti sono tre esempi semplici di modelli differenziali in dinamica delle popolazioni che danno origine ad equazioni differenziali. Esempio. [Modello di Malthus] Indichiamo con N(t) il numero di individui di una popolazione presenti al tempo t. Supponiamo inoltre che gli unici fattori che influenzino l evoluzione della popolazione siano il tasso di fertilità λ ed il tasso di mortalità µ per unità di popolazione e unità di tempo. La variazione della popolazione in un periodo di h unità temporali sarà ). N(t+h) N(t) = λhn(t) µhn(t). Dividendo per h N(t+h) N(t) = (λ µ)n(t) h e facendo il limite per h, (supponendo che questo limite esista, cioè che la funzione N(t) sia derivabile) N(t+h) N(t) lim N (t) = (λ µ)n(t). h h

2 L equazione (4) N (t) = (λ µ)n(t) esprime una relazione fra la funzione (incognita) N(t) e la sua derivata prima N (t). È un esempio di equazione differenziale. Una funzione N(t) si dice soluzione dell equazione differenziale se sostituita nell equazione dà un identità. Per esempio t N(t) := e (λ µ)t t R è una soluzione, infatti N (t) (λ µ)e (λ µ)t = (λ µ)n(t), per ogni t R. Le soluzioni di una singola equazione differenziale sono di solito infinite. In questo caso, tutte le infinite funzioni del tipo t Ce (λ µ)t t R al variare di C in R sono soluzioni Figure. Esempi di curve soluzioni di y = y. Sono mostrate le funzioni t Ce t per C =,C =.5,C =.5,C =.3 Se conosciamo il valore della funzione incognita N(t) in preciso istante allora possiamo individuare un unica soluzione. Se per esempio N() = allora l unica soluzione di N (t) = (λ µ)n(t), con la condizione N() = è t N(t) = e (λ µ)t t R. In generale un problema formato dall accoppiamento di una equazione differenziale e da un valore assegnato in un punto (condizione iniziale) { N (t) = (λ µ)n(t) (5) N(t ) = N, viene chiamato Problema di Cauchy. La soluzione del problema di Cauchy (5) è t N(t) := N e (λ µ)t t R.

3 Esempio 3. Studiamo una semplice variante del modello precedente: l evoluzione di una popolazione, con un tasso di fertilità λ e un tasso di mortalità µ, in presenza di un flusso migratorio costante b per unità di tempo, dove b può essere positivo o negativo. Se indichiamo con σ la differenza λ µ con considerazioni analoghe alle precedenti otteniamo l equazione differenziale (6) N (t) = σn(t)+b Tutte le infinite soluzioni di (6), al variare delle costanti C e C, sono della forma { C e t N(t) := σt b σ se σ per t R. bt+c se σ = Se σ > tutte le soluzioni sono illimitate per t + (tranne nel caso C = per cui abbiamo la soluzione costante t b σ ). Invece se σ < per qualsiasi C. lim t + N(t) = b σ Figure. Grafici di alcune soluzioni rappresentate solo per t >. Nella prima figura σ = /; N() = e nei tre casi b =, b = 9, b =. Nella seconda figura σ = /; b = 9 e nei tre casi N() =, N() =, N() = 5. Nel caso in cui il flusso migratorio sia una funzione dipendente dal tempo, non possiamo ragionevolmente aspettarci un comportamento costante per t +. Per esempio tutte le soluzioni di (7), (l integrale generale di (7)) (7) N (t) = σn(t)+b(t) sono del tipo per C R. t Ce σt +e σt b(t)e σt dt per t R Esempio 4. [Modello logistico] Il modello di Malthus, che implica una crescita esponenziale della popolazione, è non realistico in tutti quei casi in cui lo sviluppo della popolazione non avvenga in presenza di risorse infinite. Certamente sia il tasso di natalità λ che il tasso di mortalità µ dipendono da molti fattori fra cui le risorse a disposizione: è ragionevole aspettarsi che all avvicinarsi della popolazione ad una soglia ci sia una riduzione di λ ed un aumento di µ. 3

4 Nel 845 Verhulst propone il seguente modello di evoluzione ( N(n+) N(n) = (λ µ) N(n) ) N(n). M In questa formula M > è un numero che rappresenta uno stato di equilibrio della popolazione. Infatti si vede che se per un certo istante n la popolazione N( n) = M allora in ( tutti gli ) istanti successivi la popolazione rimane costante (in equilibrio). Se N( n) > M allora N(n) M < e ( ) la popolazione all istante successivo cala. Se N( n) < M allora > e la popolazione N(n) M all istante successivo cresce. Con considerazioni analoghe a quelle proposte nell Esempio, ponendo σ := λ µ, si perviene all equazione differenziale (8) N (t) = σn(t) Tutte le soluzioni di (8) sono della forma ( N(t) ). M CMe σt t N(t) := M C +Ce σt per t R e per C R. Osserviamo che la costante C non è necessariamente una costante moltiplicativa come negli esempi precedenti e inoltre che, in questo caso, C = N(); C ha quindi il significato di dato iniziale dell evoluzione e N Me σt t N(t) := M N +N e σt per t R è l unica soluzione del problema di Cauchy N (t) = σn(t) (9) N(t ) = N, ( N(t) ) M Figure 3. Alcune soluzioni di (iii) per M = 5 e dato iniziale C =,C = 4,C = 9 4

5 Esempio 5. Si verifica direttamente che la funzione costante Altri esempi e alcune definizioni y (t) = ty(t) t y(t) := è una soluzione. Inoltre se supponiamo che una soluzione y(t) sia di classe C e diversa da allora l equazione y (t) = ty(t) è equivalente all equazione y (t) y(t) = t cioè d (log y(t) ) = t. dt Dall uguaglianza delle funzioni segue l uguaglianza delle primitive log y(t) = t +C, C R y(t) = e t +C = Ke t, K R + y(t) = Ce t, C. In conclusione, tutte le funzioni y : R R definite da t y(t) := Ce t /, per qualsiasi C R sono soluzioni. Infatti y (t) d / dt Cet = tce t / ty(t), per ogni t R Figure 4. Esempi di curve soluzioni di y = ty. Sono mostrate le funzioni t Ce t / per C =,C =.5,C =.5,C =.3 5

6 Esempio 6. y (x) = xy(x) Anche qui si verifica direttamente che, per qualsiasi C R, le funzioni del tipo sono soluzioni. Infatti t y(x) = Ce x /, definite per x R y (x) d dx Ce x / = tce x / xy(x), per ogni x R. Figure 5. Esempi di curve soluzioni di y = ty. Sono mostrate le funzioni t Ce t / per C =.5,C =,C =,C =.7,C =,C =.5 Il prossimo esempio mostra che il dominio di definizione delle soluzioni non è necessariamente tutto R, anzi può variare da soluzione a soluzione. Esempio 7. y (t) = y (t) oppure più in breve y = y. Si verifica direttamente che, per qualsiasi c R, le funzioni y = y(t) del tipo y : (,c) R definita da: t y(t) = c t, oppure y : (c,+ ) R definita da: t y(t) = c t, sono soluzioni. Infatti y (t) d ( ) = dt c t (c t) y (t), per t < c oppure per t > c. Inoltre anche la funzione t y(t) =, per qualsiasi t R, 6

7 è una soluzione. I grafici delle soluzioni sono rami di iperboli; nessuna soluzione, tranne quella costante t, è definita su tutto R, ma sono definite su semirette; il dominio di definizione varia da soluzione a soluzione. 4 4 Figure 6. Esempi di curve soluzioni di y = y. Ciascuna soluzione è definita al più su una semiretta. Studio qualitativo di un equazione differenziale Dal punto di vista geometrico un equazione differenziale esprime una relazione fra la derivata (oppure le derivate) della funzione incognita nei punti di un intervallo e il valore della funzione e della variabile indipendente nel medesimo punto. In particolare un equazione del tipo y = f(x,y) può essere interpretata come l assegnazione di un campo di direzioni nel piano (x, y) e la ricerca delle sue soluzioni consiste nella ricerca delle funzioni o, meglio, delle curve nel piano che sono in ciascun punto tangenti al campo di direzioni assegnato. Risolvere il problema di Cauchy (iii) può essere interpretato come cercare la (unica in molti casi) curva tangente al campo di direzioni assegnato dall equazione e passante per il punto (t,α). Le seguenti figure illustrano gli esempi precedenti da questo punto di vista. 7

8 Figure 7. Campo di direzioni e curve integrali y = y Figure 8. Campo di direzioni e curve integrali y = ty Figure 9. Campo di direzioni e curve integrali y = ty 8

9 Figure. Campo di direzioni e curve integrali y = y Questo metodo consente di intuire l andamento delle linee integrali anche in situazioni in cui il calcolo analitico delle soluzioni dell equazione differenziale possa essere troppo difficile. Negli esempi seguenti tentate di individuare le zone di crescita/ decrescita delle soluzioni, le linee dove si trovano massimi e minimi delle soluzioni Figure. Curve integrali di y = t +y e di y = ty(y ). Osservate nel secondo disegno l esistenza di due soluzioni costanti: t e t. 9

10 Figure. Curve integrali di y = y +x e di y = x y Figure 3. Curve integrali di y = sin(πx)sin(πy) e di y = sin(πx+πy) Possiamo raccogliere quanto detto in alcune definizioni più formali. Definizione. In generale un equazione differenziale del primo ordine è un espressione del tipo (i) oppure più in generale del tipo y = f(t,y) (ii) F(t,y,y ) =. Una funzione y = y(t), definita e derivabile in un intervallo I R, si dice soluzione dell equazione (i) in I, oppure di (ii) in I, se oppure rispettivamente se y (t) = f(t,y(t)), per ogni t I, F(t,y(t),y (t)) =, per ogni t I. Un problema di Cauchy per una equazione differenziale del primo ordine è l accoppiamento fra una equazione differenziale solitamente nella forma (i) e una cosiddetta condizione iniziale cioè

11 l assegnazione del valore della soluzione in un punto assegnato. { y = f(t,y) (iii) y(t ) = α. La soluzione del problema (iii) è una funzione derivabile, definita in un intervallo I contenente il punto t, e tale che { y (t) = f(t,y(t)), per ogni t I, y(t ) = α. Definizione: Equazioni differenziali a variabili separabili. Sono equazioni del tipo () y = f(t)g(y) dove f e g sono funzioni continue rispettivamente definite in un intorno di un punto t e in un intorno di un punto y. Il relativo problema di Cauchy è della forma { y () = f(t)g(y) y(t ) = y. Sono equazioni di questo tipo le equazioni descritte negli Esempi, 4, 5, 7. Definizione: Equazioni lineari del primo ordine. Sono equazioni del tipo () y +a(x)y = b(x) dove a e b sono funzioni (a valori reali) continue e definite su uno stesso intervallo I. L integrale generale di () è della forma x y(x) := ce a(x)dx +e a(x)dx a(x)dx b(x)e dx e tutte le soluzioni sono definite sullo stesso intervallo I. Il relativo problema di Cauchy è della forma { y (3) +a(x)y = b(x) y(x ) = y dove x I. L unica soluzione di (3) è x y(x) := y e x x x a(t)dt t + b(t)e x a(s)ds dt. x Sono equazioni di questo tipo le equazioni descritte negli Esempi, 3, 5.