CHE COSA DIFFERENZIA I DIVERSI COMPORTAMENTI?

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1 CHE COSA DIFFERENZIA I DIVERSI COMPORTAMENTI? * n+ -* 8 6 n+ n -* 4 2 n

2 Se n n * * I termini si avvicinano sempre più al punto di equilibrio * * punto di equilibrio attrattivo

3 Se n n * * I termini si allontanano sempre più dal punto di equilibrio * * punto di equilibrio repulsivo

4 n n * * Rapporto dei cateti Pendenza della retta f ( ) b

5 Teorema: Si consideri il sistema dinamico lineare n n b Si ha n n b per n ( ) b * b se il punto * è attrattivo nel senso che * per ogni valore iniziale n se il punto * è repulsivo nel senso che * per ogni valore iniziale non tende a n

6 popolazione Dinamica di una popolazione di cinciallegre con immigrazione 3 n+ = n * * b La popolazione nel lungo periodo si assesta al valore *=25, indipendentemente dal dato iniziale. Il punto *=25 è il punto stazionario di questo modello. anni

7 popolazione Dinamica di una popolazione di cavallette con prelievo 25 n+ = n * * b anni Anche partendo da valori vicini al valore stazionario *=72 la popolazione non si stabilizza vicino ad esso. Il punto stazionario non è stabile.

8 SE IL MODELLO NON E LINEARE I punti di equilibrio possono essere più di uno Il carattere del punto * è determinata dalla pendenza della curva f in * ( cioè f (*) ) Per sistemi dinamici non lineari se la pendenza della retta tangente alla curva f nel punto di equilibrio è in valore assoluto minore di allora il punto * è attrattivo nel senso che per ogni condizione iniziale vicina all equilibrio, la successione tende Lucia Della a Croce * - Matematica

9 IL MODELLO DI MALTHUS NEL CASO CONTINUO Il modello discreto si basa sull ipotesi cha la riproduzione sia concentrata in una stagione dell anno. Il passaggio da una generazione all altra è descritto dalla variabile tempo che assume valori interi: t t In molte popolazione questa approssimazione non è corretta, gli individui si riproducono con continuità. Occorre formulare un modello in cui il tempo è una variabile che assume valori reali Invece di studiare il passaggio dalla generazione t alla generazione t si considera un breve intervallo di tempo ( t ) ( t) nascite( t, t ) morti( t, t )

10 IPOTESI (Analoghe al caso discreto) Il numero di nati è proporzionale a: Numero di individui presenti al tempo t : (t) Tasso medio di natalità nell unita di tempo Durata dell intervallo di tempo considerata nascite ( t ) ( t)

11 Il numero di morti è proporzionale a: Numero di individui presenti al tempo t : (t) Tasso medio di mortalità nell unita di tempo Durata dell intervallo di tempo considerata morti ( t, t ) ( t)

12 L equazione di bilancio diventa: ( t ) ( t) ( t) ( t) ( t ) ( t) ( ) ( t) Per intervalli di tempo molto piccoli si ottiene: ( ) d ( ) r Equazione differenziale

13 ' ( x) f ( x, ) (x) (x) (x) (x) (x)

14 ' ( x) f ( x) ( x, ) Problema di Cauch ( x ) * (x)

15 d r r ( ) ' d t t ' r ln( ln( ) ) rt ln( ) rt rt rt exp( rt rt ) exp( rt ) ( t )

16 exp( rt) rt e Il caso continuo risulta equivalente al caso discreto r e ( ) t exp(r) t

17 Numero di individui Andamento qualitativo dell abbondanza della popolazione malthusiana continua al variare del parametro r Accrescimento Malthusiano continuo e rt r> crescita esponenziale 8 r =.2 > r = -.6 < r< declina all estinzione tempo

18 ALTRE APPLICAZIONI DELLA CRESCITA ESPONENZIALE Gli stessi modelli possono descrivere fenomeni che appaiono in ambiti molto diversi Datazione di materiale biologico (decadimento radioattivo) Livello di glucosio nel sangue Modello di diffusione dell AIDS (Modello di Ho)

19 DATAZIONE AL CARBONIO C4 E noto che gli elementi radioattivi sono instabili, nel senso che decadono in isotopi di altri elementi mediante l emissione di particelle alpha (nuclei di elio), particelle beta (elettroni) o fotoni. Si può descrivere il processo di decadimento di un numero elevato di nuclei radioattivi basandosi sulla seguente legge sperimentale: La diminuizione del numero di nuclei radioattivi durante un intervallo di tempo è direttamente proporzionale alla lunghezza dell intervallo e al numero di nuclei presenti all inizio dell intervallo.

20 N(t) t Numero di nuclei radioattivi al tempo t Intervallo di tempo N ( t t) N( t) kn( t) t K costante di proporzionalità N(t) t è un numero intero (numero di nuclei) varia con continuità. È necessario idealizzare il fenomeno interpretando anziché discreta (per es. misura di massa). N(t) come misura continua

21 N( t t) N( t) lim t kn( t) t Si ottiene cioè l equazione differenziale lineare: dn kn(t) che risolta (separando le variabili ed integrando, vedi Malthus continuo) fornisce la soluzione: N ( t) N exp( k( t t )) N valore iniziale Legge di decadimento radioattivo