I a settimana di novembre

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1 L. Seta I a settimana di novembre Metodi Matematici per l Economia 2016

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3 Settimana 1 Successioni e dinamica di popolazione 1.1 I concetti chiave di questa settimana Scoprire uno schema in una successione di numeri. Data la successione {a 1, a 2, a 3,..., a n,...} trovare la funzione F ( ) tale che a n+1 = F (a n ) (forma ricorsiva), oppure la funzione f( ) tale che a n = f(n) (forma chiusa). Esempio 1: {1, 3, 5, 7, 9,...}. Possibile forma ricorsiva a n+1 = a n + 2, con a 1 = 1. Possibile forma chiusa a n = 1 + 2n, con n = 0, 1, 2,... Progressione aritmetica di ragione 2. Esempio 2: {3, 5, 9, 17, 33,...}. Possibile forma chiusa a n = n, con n = 1, 2, 3,.... Possibile forma ricorsiva a n+1 = 2a n 1, con a 1 = 2. Progressione geometrica di ragione 2. Esempio 3: {9, 1, 7, 15,...}. Possibile forma chiusa f(n) = 9 8 (n 1), con n 1. Possibile forma ricorsiva f(n + 1) = f(n) 8, con f(1) = 9. Legge dell interesse semplice e legge dell interesse composto Disegnare il grafico delle successioni Il grafico della successione a n = f(n) è l insieme di tutte le coppie di punti di coordinate (n, f(n)) nel piano cartesiano. 3

4 Capire la seguente definizione di grafico della funzione f: G f = {(x, y) R 2 : x = n, y = f(n), con n N} Metodo della ragnatela per studiare una successione definita per ricorrenza Studiare i sistemi dinamici Definizione di un sistema dinamico discreto, d ora in poi abbreviato in s.d.d. I punti fissi di un s.d.d. (anche detti punti stazionari, o equilibri), come si trovano trovare. Un orbita (o traiettoria) di un s.d.d dato il punto iniziale X 0. Fare l analisi grafica e utilizzarla per determinare se un punto stazionario è stabile/instabile e se è attrattivo/repulsivo. Le orbite periodiche di periodo p > Analizzare la dinamica di una popolazione Sistemi dinamici lineari e non lineari. Il s.d.d. X k+1 = X k + a. La forma chiusa; le orbite per diversi valori di X 0 ; il metodo della ragnatela; i punti fissi e il comportamento asintotico. Il s.d.d. lineare X k+1 = τx k per 0 < τ < 1 e τ > 1. Forma chiusa; orbite per diversi valori di X 0 con il metodo della ragnatela; punti fissi e comportamento asintotico. Come si determina il tempo di raddoppio o di dimezzamento. Distinguere il tasso di crescita intrinseco e il tasso di crescita assoluto. Il s.d.d. lineare affine X k+1 = bx k + a per alcuni valori di b e di a. Forma chiusa; orbite per diversi valori di X 0 con il metodo della ragnatela; punti fissi e comportamento asintotico. Il s.d.d. logistico X k+1 = τx k ωx 2 k per τ, ω > 0. La variazione assoluta, la variazione relativa e la variazione percentuale. 4

5 1.2 Cosa ci aspetta la II a Limiti e continuità Limite di una successione: cosa vuol dire lim n a n. Limite di una funzione: cosa vuol dire lim x x0 f(x). La notazione ɛ δ Imparare a calcolare il limite Alcune successioni notevoli e confronto tra limiti. Algebra dei limiti. Limiti al finito e limiti all infinito. Limiti notevoli Successioni e funzioni monotone Successioni crescenti, decrescenti, oscillanti, o altri comportamenti strani. Oltre le successioni... verso le funzioni continue. 1.3 Suggerimenti e consigli Lavora con il gruppo sui dati della popolazione italiana e mondiale. Cerca di trovare i tassi di crescita e di verificare la crescita logistica. Verifica con l aiuto di Excel se i modelli di crescita lineari e non lineari che hai studiato si possono applicare alla popolazione italiana e mondiale. Guarda sul web. Ad esempio, di seguito i link ad alcuni documenti (ogni riga è cliccabile): link 1. Una introduzione interessante; link 2. Un testo molto semplice; link 3. Un documento un po più complicato. Verifica gli appunti presi a lezioni. Esercizi, esercizi, esercizi... 5

6 1.4 Esercitiamoci Esercizio 1. Data la funzione a n = n+1 2, determinare {a 0, a 1, a 2, a 3, a 4,..., a 10,...}. Trovare la forma ricorsiva a k+1 = F (a k ) con a 0 = 1 2. Esercizio 2. Si deposita in banca un capitale iniziale C 0 = α, ad un tasso d interesse intrinseco r, con 0 < r 1. Ad ogni cadenza annuale la banca oltre a dare gli interessi maturati sottrae una somma costante σ > 0, come tassa sul deposito. Il s.d.d. che descrive il capitale depositato in banca è: C n+1 = C n + rc n σ, C 0 = α. Trova i punti fissi; scrivi la soluzione in forma chiusa, determina il comportamento asintotico delle orbite al variare di α R. Esercizio 3. Studia il seguente s.d.d. X n+1 = 1 X n, X 0 = α. Quali sono i punti fissi? Ha orbite periodiche? Esercizio 4. Studiare il s.d.d. X n+1 = 2X n (1 X n ), X 0 = α. Considera 0 < α < 1 e trova gli eventuali punti fissi e l andamento delle orbite. Esercizio 5. Considera il sistema dinamico x + 1 per x < 1, x n = f(n), con f(x) = 2(2 x) per x 1. Disegna il grafico a ragnatela e trova gli eventuali punti fissi. Verifica che l orbita di punto iniziale x 0 = 0 è periodica con periodo p = 3. Esercizio 6. Quali dei seguenti fenomeni possono essere descritti dal s.d.d. N t+1 = τn t e per quali valori di τ? 6

7 1. Una popolazione ha saldo nullo tra nati e morti e più immigrati che emigrati. 2. Una massa di radio di 228 si dimezza per decadimento radioattivo in 6,7 anni. 3. Una popolazione ha saldo nullo tra immigrati ed emigrati, e più morti che nati. 4. Una popolazione ha saldo nullo tra immigrati ed emigrati, e tra morti e nati. 5. Per la forza di gravità una massa nel vuoto accelera di 9,8 metri al secondo quadro. 6. Per attrito, una massa in moto su di un piano rallenta del 10% ogni secondo. 7. La discussa legge di Moore afferma che la tecnologia in 18 mesi raddoppia il numero di transistor che si possono inserire su un centimetro quadro. Esercizio 7. Dato il s.d.d. N k+1 = τn k, con N 0 = 4, determinare il comportamento delle orbite per i diversi valori di τ scegliendo uno o più termini della tabella: costante periodica oscillante crescente decrescente limitata illimitata divergente convergente τ>1 τ=1 0<τ<1 1<τ<0 τ= 1 τ< 1 7