SCALA QUADRATICA. Grafico di y(x) Grafico di y(x 2 ) y. X=x 2

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Marcellina Rosso
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1 SCALA QUADRATICA Grafico di y(x) y Grafico di y(x 2 ) y x X=x 2 1

2 SCALE NON LINEARI L utilizzo di scale non lineari permette di: Riconoscere le curve di tipo esponenziale o potenza Semplificare le curve Economizzare lo spazio richiesto Rappresentare funzioni con grande codominio: Grafico esponenziale Ere paleontologiche Frequenza onde elettromagnetiche: ν= 10 Hz Hz Lunghezza d onda onde elettromagnetiche: λ= m m CONDIZIONE: Corrispondenza biunivoca tra dominio e codominio della funzione da rettificare. 2

3 CRESCITA POPOLAZIONE X (anni) P=Popolazione (miliardi) Y = ln p ,2 0, ,5 0, ,8 0, ,3 0, ,7 0, ,4 1, ,2 1, ,8 1,57 Grafico P(x) 4,8 4,2 3,4 2,7 2,3 1,8 1,5 1, Provare a fare i grafici: (x 2 ), P(x 3 ),.. P 3 x

4 SCALA SEMILOGARITMICA Grafico Y(x): Y=ln P Y=ln P x Dal grafico si ottiene che, per ogni coppia di valori, il rapporto: Y/x 0,02 Y=0,02x lnp=0,02x P(x)=e 0,02x Il tasso di incremento annuo è r=0,02 = 2% Previsione popolazione nel 2000: Δt = 100 anni P=e 0,02*100 =e 2 = 7,4miliardi P 0 =1 4

5 Rettificazione Curva Esponenziale Riconoscimento di curva esponenziale: L esponenziale si rettifica su scala semilogaritmica : A = situazione iniziale α = fattore di crescita α = fattore di crescita = coefficiente angolare della retta LogA = ordinata all origine 5

6 1 - ASSORBIMENTO di un FARMACO Dall esperimento alla legge In un animale sono stati iniettati 0,5g di tiosolfato. La sostanza viene espulsa continuamente dal rene e il tiosolfato si mescola con il plasma dopo circa 10 minuti. Quindi si effettuano prelievi dopo 10 minuti e a intervalli successivi di 10 minuti: si ottengono le seguenti concentrazioni di plasma di tiosolfato: C = mg/100ml a) determinare la quantità di plasma in ml iniettata nel corpo dell animale b) determinare la legge di assorbimento del tiosolfato. a) Rappresentare i dati in un sistema di coordinate semilogaritmiche: Y t, Y=Log C in funzione di t(min) Si nota che i punti giacciono quasi esattamente su una linea retta Estrapoliamo i dati al tempo t = 0 dell iniezione: dal grafico si legge che la concentrazione iniziale risulta di 50mg/100ml. La quantità Q di plasma è: 0,5g : Q = 50mg : 100ml Q=1000 ml = 1 l Esercizio: riportare i dati in carta semilogaritmica. 6

7 2 - ASSORBIMENTO di un FARMACO Dall esperimento alla legge b) Dal grafico si calcola Y=LogC L equazione della retta risulta: Log50 Log44 Log38 Log33 Log28 Log25 Legge di assorbimento del tiosolfato t(min) 7

8 ASSORBIMENTO di un FARMACO Dalla legge al tempo di dimezzamento a) dopo quanto tempo la concentrazione plasmatica si dimezza? b) dopo quanto tempo la concentrazione plasmatica è inferiore a 20? a) b) 8

9 Tempo di dimezzamento Calcolo del tempo di dimezzamento: N.B.: t 1/2 dipende da k e non da N 0 9

10 Esercizio1 ASSORBIMENTO di un FARMACO Tabella Tempo(h) C(mg) Y=Lg 10 C Lg Lg1, Lg Lg Lg1, Lg5 In un esame, sono risultate le seguenti concentrazioni di un farmaco nel tempo riportate in tabella: Rappresentare i dati in un sistema di coordinate semilogaritmiche determinare la legge di assorbimento del farmaco. Calcolare t 1/2, t 1/4 t 1/8 t 1/2 =3,76h, t 1/4 =7,8h, t 1/8 =11,7h 10

11 Esercizio2 Decadimento radioattivo Bequerel (inizi 1900) scopre che la radioattività è un fenomeno naturale a) Il decadimento del Carbonio 14 ha un tempo di dimezzamento τ = 6000 anni. Determinare la legge di decadimento b) Previsione: Un organismo contiene oggi 1mg di C 14 e muore. Quanto C 14 conterrà tra anni? Conoscendo il tempo di dimezzamento τ, la massa varia con la legge: c) Datazione: Si trova un fossile di un organismo che, da vivo, contiene 1mg di C 14. In questo fossile si trova una massa M=0,0625mg di C 14. Da quanto tempo l organismo è morto? a) La legge di decadimento è: b) c) 11 11

12 Esercizi su scale semilogaritmiche Disegnare i grafici delle funzioni: α costante, A variabile con α=3, A=0.5, 1, 2 α variabile, A costante con α=0.5, 1, 2 A=3 Scrivere le equazioni delle curve rettificate e farne i grafici. 12

13 Esercizi 1. Un capitale di si incrementa in 9 anni raggiungendo la cifra di Qual è il tasso di interesse composto corrisposto dalla banca? 2. Sperimentalmente si ottengono i seguenti valori i assorbimento di un farmaco: y(mg/10ml) T (h) Rappresentare i dati in scala semilogaritmica. Calcolare il coefficiente angolare della retta e scriverne l equazione. Ricavare la legge di assorbimento e il tempo di dimezzamento. Il decadimento radioattivo del polonio presenta i seguenti valori: M (mg) T (giorni) Riportare i dati in scala semilogaritmica. Scrivere la legge di decadimento M(t) e calcolare il tempo di dimezzamento. 4. Un organismo contiene alla morte 3g di C 14. Quanto C 14 conterrà tra anni? Rettificare la curva di decadimento, fare il grafico della curva e della curva rettificata, calcolare il tempo di dimezzamento. 13

14 Rettificazione Potenza La potenza si rettifica su scala logaritmica : Y ( X ), con Y=Log y X=Logx Esempio Rettificare la curva: Esercizio: stabilire con quale cambiamento di scala si possono rettificare le funzioni 14

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