MATEMATICA APPLICATA ALLA BIOLOGIA (II MODULO)
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- Gerardina Russo
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1 Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata MATEMATICA APPLICATA ALLA BIOLOGIA (II MODULO) Lucia Della Croce Dipartimento di Matematica - Università di Pavia A. A. 29/21 Matematica applicata alla Biologia Lucia Della Croce
2 NUOVO utilizzo dello strumento matematico attraverso la costruzione di MODELLI MATEMATICA = Strumento investigativo - indagine multidisciplinare L incubo della matematica MODELLIZZAZIONE = interazione dinamica tra mondo reale MATEMATICA e mondo matematico Matematica applicata alla Biologia Lucia Della Croce
3 MODELLIZZAZIONE MATEMATICA Processo interdisciplinare con cui si intende interpretare, simulare, predire i fenomeni reali PROBLEMA REALE PROBLEMA MATEMATICO SOLUZIONE MATEMATICA INTERPRETAZIONE In realtà spesso è necessario idealizzare e/o semplificare Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
4 MONDO REALE Confronto e validazione Idealizzazione e Approssimazione basate sull esperienza e sulla comprensione del fenomeno MODELLO del mondo reale Rappresentazione simbolica: operatori, equazioni,variabili parametri etc CONCLUSIONI Soluzioni basate sull esperienza matematica MODELLO MATEMATICO Passare dal fenomeno reale al suo modello matematico comporta un processo di astrazione che consente di analizzare e descrivere il problema in modo oggettivo utilizzando un linguaggio simbolico universale. Matematica applicata alla Biologia Lucia Della Croce
5 DATI SPERIMENTALI OPPORTUNE EQUAZIONI FORMULAZIONE DEL PROBLEMA ESISTENZA RISOLUBILITA Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce ANALISI MATEMATICA DEL MODELLO UNICITA
6 SVILUPPO DI UN ALGORITMO * SIMULAZIONE NUMERICA IMPLEMENTAZIONE Matematica applicata alla Biologia Lucia Della Croce VALIDAZIONE DEL MODELLO TEST SU CASI NOTI
7 Modelli matematici in medicina comprendere la natura di certe malattie studiare delle strategie per il loro trattamento Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
8 MODELLO DELLE CELLULE DEL SANGUE Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
9 FORMAZIONE E DISTRUZIONE DELLE CELLULE DEL SANGUE CELLULE PRIMITIVE (pluripotenziali) CONTROLLO FEEDBACK CELLULE FORMATIVE SPECIALIZZATE (proliferanti) MATURAZIONE (non proliferanti) CIRCOLAZIONE SANGUIGNA Matematica applicata alla Biologia Lucia Della Croce MORTE
10 MODELLO MATEMATICO La popolazione di cellule del sangue varia nel tempo ti t i 1 i t i unità di tempo T t 1 xi x i 1 x i n di cellule al tempo ti d ( x i p( x i ) ) x i x d( x ) p( x 1 i i i n di cellule distrutte n di cellule prodotte Matematica applicata alla Biologia Lucia Della Croce ) nell intervallo di tempo [ti, ti+1]
11 La funzione d(x) deve essere identificata sulla base di dati sperimentali Ad ogni intervallo di tempo viene distrutta una frazione costante di popolazione d ( x ) c x i i c coefficiente di distruzione Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
12 La funzione p(x) deve essere identificata sulla base di considerazioni fisiologiche La velocità di produzione aumenta quando il numero di cellule è basso p(x) cresce inizialmente e raggiunge un massimo Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
13 La funzione p(x) deve essere identificata sulla base di considerazioni fisiologiche Esiste un livello critico al di sotto del quale l organismo non recupera p() = Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
14 La funzione p(x) deve essere identificata sulla base di considerazioni fisiologiche La produzione diminuisce se il numero di cellule è elevato. Non è necessaria a livelli super elevati di cellule p(x) decresce per x grande p(x) Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
15 p x) b m x ( Mackey-Glass m x m Modello di Mackey-Glass b=2 theta=1 m= Matematica applicata alla Biologia Lucia Della Croce
16 sx p ( x) b x s e Lasota r Modello di Lasota 4 b= r=5 s= Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
17 b, r, s, m sono parametri da identificare 15 1 b=2 theta=1 m=3 6 4 b=2 theta=5 m= b=1 theta=5 m= b=3 theta=15 m= MODELLO DI MACKEY Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
18 b, r, s, m sono parametri da identificare b=2 r=1 s= b=2 r=15 s= x b=1 r=5 s= x b=3 r=1 s=1 MODELLO DI LASOTA Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
19 IL MODELLO DIVENTA x i x c x p( x 1 i i i ) che è della forma x i f ( x 1 i ) Dove la funzione d iterazione f è: f ( x) x(1 c) p( x) Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
20 LIVELLO STAZIONARIO In condizioni normali, le cellule raggiungono un livello stazionario al quale produzione e distruzione avvengono alla stessa velocità x : d( x) p( x) x f (x) Matematica applicata alla Biologia Lucia Della Croce
21 numero di cellule LIVELLI STAZIONARI DI MACKEY Livelli stazionari di Mackey - Glass p(x) d(x) o p(x) = d(x) 4 2 o o tempo Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
22 numero di cellule LIVELLI STAZIONARI DI LASOTA 12 Livelli stazionari di Lasota 1 p(x) d(x) o o p(x) = d(x) 2 o o o tempo Matematica applicata alla Biologia Lucia Della Croce o
23 Una malattia corrisponde, dal punto di vista matematico, al fatto che alcuni dei parametri del modello hanno valori che si discostano da quelli che definiscono un livello stazionario Analisi della stabilità del modello Biomatematica.mht Matematica applicata alla Biologia - Lucia Della Croce
24 Interpretazione intuitiva della stabilità di un sistema Posizioni stazionarie di una pallina su un percorso collinare Livelli stazionari possono essere stabili o instabili Stabile ( Attrattori) esiste una zona tale che se la pallina viene spostata Instabile in uno qualunque dei punti ritorna al punto iniziale Matematica applicata alla Biologia Lucia Della Croce Regione di attrazione
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