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Valerio Cara
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1 MATEMATICA LIQUIDA DISEQUAZIONI / Disequazioni Goniometriche / Disequazioni Goniometriche Fratte ESERCIZIO N MATH.III/"CORSOBASEBLU.MATEMATICA" - B.T.B.Q ( DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE FRATTE NON ELEMENTARI / SVOLGIMENTO IN FUNCTION MODE ) Risolvere la seguente Disequazione Goniometrica Fratta : tan x 0 x cos Svolgimento (Metodo Tortorelli) Risolvere la seguente Disequazione Numerica Fratta utilizzando la Teoria delle Funzioni. tan x 0 x cos Ovvero: a) Identificare e Classificare la Funzione f x Associata alla Disequazione in oggetto. b) Determinare se la Funzione è Periodica ed in caso affermativo, stabilire il Valore del suo Periodo T (giustificando adeguatamente la risposta). c) Ricercare eventuali Simmetrie Notevoli della Funzione. d) Determinare il Dom f x e scrivere la Definizione Formale della Funzione. (giustificando adeguatamente la risposta). e) Determinare le Intersezioni di f x con gli Assi Cartesiani. f) Studiare il Segno di f x. g) Fornire la Soluzione della Disequazione Iniziale in base ad i risultati ottenuti. h) Graficare per quanto possibile la Funzione a) Identificare e Classificare la Funzione f x Associata alla Disequazione in oggetto. tan x 0 x cos Alla Disequazione in oggetto è associata la Funzione : tan x f() x : cos x Funzione Numerica Matematica Trascendente Goniometrica Razionale Fratta

2 b) Determinare se la Funzione è Periodica ed in caso affermativo, stabilire il Valore del suo Periodo T (giustificando adeguatamente la risposta). Si dimostra, in base alle Proposizioni sulla Periodicità che, la Funzione f(x) ha Periodo T. Infatti: Ttan x TN( x) T tanx Th.IV Ttanx Tcos x TD( x) Tcos x Th.IV Tcos x Th.VI Tcosx N x D( x) Th.XI T N Tf( x) T x Tuttavia, un analisi del grafico e dei risultati che seguono, smentisce tale risultato in quanto, è evidente da essi che risulta: T f( x). Questa Funzione rappresenta dunque un eccezione alla validità del Teorema XI!!! Al fine di alleggerire il calcolo, si prosegue con lo studio della Funzione non su tutto il Dominio ma, solo in un suo Sotto-Insieme che però ricopra, esattamente un intero Periodo. Come Sotto-Dominio Campione si considera l Intervallo Chiuso e Limitato : D /; / Si proseguirà dunque con lo studio della Funzione φ(x) definita come la Funzione f(x) Ristretta al Dom f /; / al posto di f(x). Sotto-Insieme : c) Ricercare eventuali Simmetrie Notevoli della Funzione. Archi Associati Opposti ( ) ( ) ( ) tan tan x x f x tan( tan x ) tan cos ( x) cos( x) cos x cos( ) s co tan x tan x f ( x) : cos x cos x f Non Simmetrica Rispetto Asse y f Funzione Pari tan x tan x tan x f ( x) : f ( x) f Funzione Dispari cos x cos x cos x f Non Simmetrica Rispetto Origine O d) Determinare il Dom f x e scrivere la Definizione Formale della Funzione. f Per le osservazioni esposte al Punto (b), è sufficiente calcolare il l Funzione Goniometrica in tan x Fratta Funzione Goniometrica in tan x Fratta tan x IR x x Dom Dom f ; : cos x 0 cos x

x x x x cos x cos x cos x cos x x x x x cos x x x ; :cosx 0 cos x cos x cos x Dom f x x x x x ; x x 4 4 x x 4 4 ; ; ; ; ; ; ; ; 4 4 4 4 4 4.

3 x x x x cos x cos x cos x cos x x x x x cos x x x ; :cosx 0 cos x cos x cos x Dom f x x x x x ; x x 4 4 x x 4 4 ; ; ; ; ; ; ; ; Dunque, la Definizione Formale di f è: f : f IR Dom e) Determinare le Intersezioni di f x con gli Assi Cartesiani. x y tan x x cos Graph ( Assex) : tan x y y 0 x ; cos x tan x 0 cos x y 0 x N( x) 0 N( x) 0 Dx ( )

4 tan x 0 tan x y 0 y 0 x x x cfr. Graph. Laterale y 0 tan x y Graph ( Asse y) : cos x x 0 Graph ( Asse x) f) Studiare il Segno di f x. Graph ( Asse y) ;0 tan 0 y cos 0 x 0 0; A tal fine, si comincia con il ricercare a quali Valori della Variabile Indipendente x è associata un Immagine y f( x) 0 (ovvero l Immagine di x è Positiva e quindi nel Piano Cartesiano il Punto Associato P(x ; f(x)) si trova nel Semipiano delle Ordinate Positive), una volta stabilito ciò, escludendo a priori i Valori di x per cui : y f( x) 0, si individuano (per esclusione) quali sono i Valori della Variabile Indipendente x a cui è associata un Immagine y=f(x) < 0 (ovvero l Immagine è Negativa e quindi nel Piano Cartesiano il Punto Associato P(x ; f(x)) si trova nel Semipiano delle Ordinate Negative). tan x Dunque, in base a quanto appena detto si risolve: f( x) 0 0 cos x Per le osservazioni esposte al Punto (b), è sufficiente calcolare il Segno della Funzione φ(x) definita come la Funzione f(x) Ristretta al Sotto-Insieme Dom f /; / Trattandosi di una Disequazione Fratta, si consiglia lo studio separato del Segno del Numeratore e del Denominatore : N x x ; 0 tan x 0 tan x x Graph Punto (c) 0 cos x 0 cos x cos x cos x cos x cos x D x x ; cos x cos x Graph in Basso 4

5 cos x perché nell'intervallo Considerato, il coseno è + cos x x 4 4 Dunque, in conclusione: x sgn ( ) : ( x) 0 x ( x) 0 x ( x) 0 Dunque, generalizzando alla Funzione f ed al suo Dominio : x ; ; 4 4 ; ; 4 4 5

6 sgn f ( x) : f ( x) 0 f( x) 0 f ( x) 0 x x x k ; k k ; k 4 4 k ; k Z k ; k k ; k 4 4 g) Fornire la Soluzione della Disequazione Iniziale in base ad i risultati ottenuti. Si richiede di risolvere la Disequazione: tan x x cos 0 f ( x ) 0 [Punto (d)] k x k k x k ; k Z 4 4 S k ; k k ; k ; k 4 4 Z ( Insieme delle Soluzioni della Disequazione Non Standardizzato k ; k k ; k ; k. 4 4 Z ( Insieme delle Soluzioni della Disequazione Standardizzato h) Graficare per quanto possibile la Funzione. Non essendo la Funzione oggetto di studio una Funzione Notevole, non è possibile a questo livello di conoscenze rappresentarla al meglio. Tuttavia, è possibile riportare sul Piano Cartesiano tutte le informazioni raccolte nel corso dello Studio Parziale della Funzione. In particolare, riporteremo: I) Eventuali Simmetrie Notevoli del Grafico della Funzione. II) Il Dominio della Funzione. III) Le Intersezioni del Grafico della Funzione con gli Assi Cartesiani. IV) Le aree ammesse al Grafico della Funzione sulla base dello Studio del Segno, tutte quelle Porzioni di Piano Interdette al Grafico della Funzione. V) Se la Funzione è Periodica si procederà con la Realizzazione del Grafico nel Periodo Studiato e la sua clonazione su tutto l Asse Reale. 6

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