Derivate delle funzioni reali

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1 Capitolo I0: Derivate elle funzioni reali Contenuti elle sezioni a Derivata p b Derivabilità e continuità, erivate i erivate p5 c Derivate i combinazioni lineari, prootti e quozienti i funzioni p7 Derivate i funzioni composte e i funzioni inverse p0 I0:00 In questo capitolo introuciamo la nozione i erivata e i alcune sue varianti per le funzioni reali aventi un ominio costituito a un intervallo limitato o illimitato o a un numero finito i questi intervalli Dopo le efinizioni fonamentali sulla erivazione, viene esposta la tecnica per il calcolo i erivate elle funzioni ate a espressioni contenenti operazioni algebrice e funzioni trascenenti basilari Con le consierazioni i questo capitolo vengono introotte le prime nozioni el cosietto calcolo ifferenziale I0:a Derivata I0:a0 Il calcolo ifferenziale trae la sua motivazione al fatto ce una grane varietà i problemi ella matematica e elle sue applicazioni ricieono i conoscere il comportamento i fenomeni quantitativi ipenenti a uno o più parametri continui e quini i conoscere il comportamento i funzioni i una variabile reale o i variabili più elaborate come quelle ce assumono valori complessi (B50:, B53:, I37:, I38:) o valori facenti parte i uno spazio metrico (B46:) In genere tra i primi aspetti i un fenomeno quantitativo si occorre esaminare vi sono i suoi comportamenti in prossimità i alcune situazioni particolari; sul piano matematico si tratta i iniziare a esaminare il comportamento i una funzione consierano regioni ristrette el suo ominio i variabilità Molti ei fenomeni ce si stuiano nell ambito i moelli quantitativi riguarano l evoluzione nel tempo i processi o i sistemi: ne sono esempi il movimento i un corpo, i cambiamenti i granezze come temperatura e pressione i un fluio sottoposto a un qualce trattamento inustriale e il valore i un creito nel corso i un arco temporale I più semplici ei problemi accennati possono essere escritti facilmente in termini puramente geometrici; nei casi meno elaborati l evoluzione viene rappresentata all anamento i una curva nel piano euclieo: a esempio sono i grane interesse traiettorie rappresentate a porzioni i parabola o a ellissi Altri casi un po più elaborati vengono trattati meiante superfici nello spazio triimensionale; altri ancor più complessi si possono trattare, i solito con qualce semplificazione, meiante moelli ce ricieono più i una elle rappresentazioni relativamente semplici sopra accennate I0:a0 È unque frequente la necessità i confrontare ue valori assunti a una funzione reale f() in ue punti tenenzialmente vicini 0 e el suo ominio In genere a grane rilievo la ifferenza i I0: Derivate elle funzioni reali

2 Alberto Marini tali valori f( ) f( 0 ), numero reale ce viene etto incremento ella funzione attinente alla variazione a 0 a ella variabile inipenente Ai ue punti 0 e, sia per motivi imposti al problema, sia per la mera opportunità i semplificare l esposizione, risulta opportuno assegnare un orine e istinguere un punto 0 ce si assume come centro elle consierazioni e un punto moificato ; anzi questo secono spesso conviene esprimerlo nella forma + o + servenosi i quello ce si ciama incremento ella variabile inipenente enotato più ciaramente come o, più concisamente con lettera alla quale si attribuisce convenzionalmente tale ruolo, la Spesso interessa un incremento positivo, > 0 o > 0; questo accae quano si stuia un processo evolutivo (in tal caso la variabile inipenente rappresenta lo scorrere el tempo e spesso si preferisce enotarla con la lettera t), lo si conosce fino all istante t 0 e si cerca i preveere cosa si avrà nell istante 0 + Potrebbe invece interessare un incremento negativo, cioè una quantità per la quale si può preferire il termine ecremento: questo a esempio quano si conosce la situazione per un valore 0 ella variabile inipenente e si vuole sapere quella relativa a un valore minore 0 + con < 0 per potersi orientare sulle origini ella situazione attuale La generalità ce è opportuno are agli strumenti matematici ce stiamo introuceno impone ce in partenza si consieri la possibilità i incrementi sia positivi ce negativi e ce talora non si trascuri neppure l incremento nullo In consierazioni più specifice può essere necessario istinguere gli incrementi negativi ai positivi: per coerenza con altri termini geometrici introotti e a introurre ciameremo incremento sinistro un < 0 e incremento estro un > 0 I0:a03 Consieriamo la funzione f {R R}, un intervallo aperto I D : om(f) e un 0 I Per ogni I \ { 0 } si efinisce rapporto incrementale ella funzione f relativo alle ascisse 0 e il rapporto () IncRp(f,, 0 ) : f() f( 0) Questo rapporto, fissato il punto 0 I, efinisce una funzione ella variabile () I \ { 0 } f() f( 0 ) ce misura la variazione ella funzione tra il suo valore nel punto i riferimento 0 e il suo valore nel punto rapportata all incremento, ella variabile inipenente Un rapporto incrementale relativo ai punti 0 e > 0, se positivo ice ce la funzione al crescere ella variabile inipenente, all ascissa 0 alla, cresce; viceversa un rapporto incrementale negativo caratterizza una funzione ce al crescere ella variabile inipenente ecresce Se esiste finito il limite per tenente a 0 el preceente rapporto incrementale, si ice ce la f è una funzione erivabile in 0 ; questo valore limite si ciama erivata ella funzione f nel punto 0 e si enota con una elle seguenti scritture (3) (D f()) 0 (Df)( 0 ) f ( 0 ) f() f() f( 0 ) : lim 0 0 La erivata i una funzione f in 0 inica quanto varia la f in un intorno tenenzialmente piccolo i 0 ; essa quini fornisce una informazione i grane importanza sull anamento puntuale ella f I0: Derivate elle funzioni reali

3 Se invece f() f( 0 ) lim + si ice ce la funzione in 0 a come erivata + ; se infine 0 f() f( 0 ) lim si ice ce la funzione in 0 a come erivata 0 I0:a04 Se la funzione f è erivabile in tutti i punti 0 i un intervallo I appartenente al suo ominio, si iniviua una nuova funzione il cui argomento può assumere ogni valore appartenente al suetto I, la quale viene etta funzione erivata ella f Spesso è utile raffigurare una funzione e la sua funzione erivata nello stesso iagramma cartesiano; in al caso è usuale esprimere sia la funzione i partenza ce la la funzione erivata come funzioni ella stessa variabile inipenente usata come segno ce caratterizza l asse elle ascisse Per queste situazioni conviene riferirsi al rapporto incrementale relativo ai punti e +, ove viene etto incremento ella variabile inipenente e f( + ) f() incremento ella variabile ipenente; con tali elementi si scrive: I (D f)() f () f f( + ) f() () : lim 0 Spesso quano si trattano solo funzioni i una variabile ce si enota con la lettera, invece ella scrittura D si usa la più semplice D Talora tuttavia può risultare più opportuno servirsi ella scrittura f per l incremento ella f e ella per l incremento ella variabile inipenente al posto i ; in tal caso si a la efinizione I f f( + ) f() f () : lim lim 0 0 Va segnalato ce nelle notazioni preceenti abbiamo introotto le scritture e f per entità sulle quali sembra si possano effettuare operazioni numerice; per queste sono ovuti ei ciarimenti I0:a05 La efinizione i erivata estene quella ata in B36:c per le sole funzioni sul campo ei razionali Proceiamo ora a stabilire alcune i formule i erivazione ce associano alle espressioni i alcune funzioni le espressioni elle rispettive funzioni erivate Nel caso ella funzione lineare f() m + q, per ogni reale il rapporto incrementale è ato a e quini f( + ) f() m( + ) + q m q m () (m + q) m Questo consente i affermare ce su tutto R la erivata i una funzione lineare è una funzione costante Consieriamo per un generico n N la funzione f() : n efinita sull intero R Teneno presente la espressione ella potenza el binomio si trova ( + ) n n [ ( ) ( ) ( ] n n n n + n + n + + ) n + n n n [( ) ( ) ] n n n n + n + n 3 n(n ) + + n 4 + n n 3 + n 3 Quini passano al limite per 0 si ottiene: () n N (n ) n n m I0: Derivate elle funzioni reali 3

4 Alberto Marini Si ice quini ce la erivata ella potenza n-esima ella variabile inipenente è la potenza n -esima moltiplicata per n Ciaramente la () è una generalizzazione ella () I0:a06 () b R + \ {} In particolare () (e ) e (b ) b ln b Si può quini ire ce la e è la funzione esponenziale il cui valore per ogni ascissa coincie con la propria penenza Si trova ance ce (3) (e ) e e α R (ea ) a e a I0:a07 Consieriamo la funzione logaritmo naturale, cioè logaritmo in base e, i argomento > 0 e il corrisponente rapporto incrementale funzione i e : ln( + ) ln [ ( ( ln + )) ] ln ( ln + ) ( ln + ) ln ( + Passano al limite per 0, cioè per t : 0, ricorano I6:c, si trova () R + ln D (log e ) ) I0:a08 In conseguenza ella formula i aizione sin( + ) sin cos + cos sin, e ai ue limiti notevoli si trova [ ] sin( + ) sin sin cos () (sin ) lim lim cos + sin cos 0 0 Similmente, per la formula i aizione cos( + ) cos cos sin sin, si trova [ cos( + ) cos cos () (cos ) lim lim cos sin ] 0 0 sin sin I0:a09 Per le funzioni seno e coseno iperbolico si ricavano irettamente alle efinizioni e a :a06 le seguenti formule i erivazione () D sin() ( D e D e ) e + e () D cos() ( D e + D e ) e e cos(), sin() 4 I0: Derivate elle funzioni reali

5 I0:b Derivabilità e continuità, erivate i erivate I0:b0 Teorema Se la funzione f() è erivabile nel punto 0, in tale punto essa è ance continua Dim: Consieriamo l incremento ella f relativo ai punti 0 e 0 Passano al limite per 0 si ottiene f() f( 0 ) f() f( 0) ( ) f() f( 0 ) lim [f() f( 0 )] lim lim ( ) f ( 0 ) Dunque la erivabilità i una funzione in un punto el suo ominio implica la sua continuità in tale punto: in altre parole, l operazione i erivazione in un punto si può applicare solo a funzioni ce in quel punto sono continue Viceversa la continuità in un punto non implica la sua erivabilità Veiamo infatti ue esempi i funzioni continue e non erivabili in un particolare punto el loro ominio La funzione f() è continua per ogni reale, ma è erivabile solo per 0: infatti per > 0 si a D ( ), per < 0 si a D ( ), mentre il rapporto incrementale IncRp(, 0, ) per 0 è 0 sign(), funzione ella quale non esiste il limite per 0 0 Consieriamo la funzione F () 0 0 R nz sin ( ) Per essa si trova lim F () 0 e si imostra ce è continua in 0 0 Si imostra tuttavia ce essa, sostanzialmente a causa elle sue oscillazioni sempre più fitte all avvicinarsi ella allo 0 a estra in vicinanza i 0, non è erivabile per tale valore ella variabile inipenente Infatti non esiste finito lim 0 ) sin ( lim 0 sin ( ) I0:b0 Il primo ei ue esempi preceenti suggerisce i introurre per le funzioni reali ue costruzioni locali meno esigenti ella erivazione, la erivata a sinistra e la erivata a estra Queste costruzioni infatti si rivelano utili per talune coppie funzione, punto el suo ominio per le quali non è possibile costruire la erivata efinita in :a03 Consieriamo la funzione f() efinita in un intervallo ciuso [, ] Si ice erivata a sinistra ella funzione f() nel punto 0 (, ] il seguente limite, se esiste: () (D f()) 0 : f ( ) : f ( f() f( 0 ) 0 ) : lim 0 Si ice erivata a estra ella funzione f() nel punto 0 [, ) il seguente limite, se esiste: () (D + f()) 0 : f (+) : f +( f() f( 0 ) 0 ) : lim 0 + Ciaramente una funzione è erivabile in un punto 0 i un intervallo aperto ce fa parte el suo ominio sse essa possiee erivata sinistra e erivata estra in tale punto e questi ue numeri reali coinciono I0: Derivate elle funzioni reali 5

6 Alberto Marini I0:b03 Esempio La funzione per 0 non possiee erivata, ma possiee erivata sinistra uguale a e erivata a estra uguale a La funzione, ce è continua sull intero R, in 0 possiee erivata sinistra uguale a, possiee erivata estra uguale a + e è continua se < 0 Consieriamo la funzione sign() 0 se 0 Essa per ogni 0 a erivata nulla, mentre se > 0 sign() per l ascissa 0 abbiamo lim lim + Si tratta quini i una funzione ce per non è continua e possiee erivata sinistra e estra coincienti ma non finite Consierazioni analoge per la funzione e I0:b04 Denotiamo con FDrvbl I l insieme elle funzioni reali il cui ominio contiene l intervallo aperto I e ce in tale insieme sono erivabili (con erivata finita) Denotiamo invece con FDrvbl 0 l insieme elle funzioni reali ce in 0 sono erivabili (e quini sono continue in 0 e sono efinite in un intervallo aperto J contenente 0 ) I0:b05 Consieriamo una funzione reale erivabile in un intervallo reale I, f() FDrvbl I e la sua erivata D f() f() f () Spesso è utile sapere se questa funzione è a sua volta erivabile in I o in una sua parte; in caso affermativo per la sua erivata si usano scritture come le seguenti: D f() f() f () f () () : D (D f()) ( ) f() Questa nuova funzione si ice erivata secona ella f() (per la sua importanza v in particolare I3:) L operazione i erivazione sopra una funzione e sulle sue erivate può essere tentata e se possibile effettuata quante volte si vuole Sia unque n P e f() sia una funzione erivabile n volte in 0 Si ice erivata n-esima o erivata i orine n ella funzione f(), se esiste, la erivata ella funzione erivata (n )-esima D n f() n n f() f (n) () : ( n n ) f() D (D n f()) Veiamo alcuni esempi In queste consierazioni è comoo trattare la funzione i partenza come la sua erivata i orine 0: D 0 f() : f() Consieriamo il polinomio P () a 4 + b 3 + c + + e; si trova D P () 4a 3 + 3b + c +, D P () a + 6b + c, D 3 P () 4a + 6b, D 4 P () 4a, D 5 P () 0 Si imostrano le seguenti formule: D sin sin, D 3 sin cos, D 4 sin sin D cos cos, D 3 cos sin, D 4 cos cos I0:b06 Le successioni elle erivate successive i talune funzioni sono controllabili con formule abbastanza semplici ce si rivelano i grane utilità computazionale Evientemente si trova () P, a R ad e e, D e ( ) e, D e a a e a 6 I0: Derivate elle funzioni reali

7 Le preceenti espressioni per le erivate successive i sin mostrano una perioicità i perioo 4 esprimibile come () k N D 4k sin sin, D 4k+ sin cos, D 4k+ sin sin, D 4k+3 sin cos Le corrisponenti espressioni per le erivate successive i cos si ricavano alla seguente inicazione i sfasamento fra erivate (3) N D cos D (n+) sin Si possono controllare ance le successive erivate elle potenze ella variabile: (4) n N, 0,,, n D n n(n ) (n + ) n n n ; qui si è utilizzato il fattoriale ecrescente (v B3e07) n : n(n ) (n + ) I0:c Derivate i combinazioni lineari, prootti e quozienti i funzioni I0:c0 () Prop: Se f FDrvbl I e c R, allora c f FDrvbl I e [c f()] c [f()] Dim: Dimostriamo ce per ogni 0 I f FDrvbl 0, c R implica c f FDrvbl 0 e D [c f()] 0 c D [f()] 0 Per questo basta consierare il rapporto incrementale ella c f relativo a 0 e e passare al limite per 0 (cf)() (cf)( 0 ) c f() cf( 0) () Prop: Se f, g FDrvbl I, allora f + g FDrvbl I e [f() + g()] [f()] + [g()] Dim: Dimostriamo per ogni 0 I ce f, g FDrvbl 0 f() + g() FDrvbl 0 e D [f() + g()] 0 D [f()] 0 + D [g()] 0 Per questo basta consierare il rapporto incrementale ella (f + g)() relativo a 0 e e passare al limite per 0 I0:c0 Prop i f() + g() f( 0 ) g( 0 ) f() f( 0) + g() g( 0) Sia N Se per i,,, si a f i () FDrvbl I e c, c,, c R, allora [ ] c i f i () FDrvbl I e c i f i () c i [f i()] i 0 Dim: Basta combinare e reiterare le ue preceenti proposizioni A questo punto si può affermare ce per ogni intervallo reale I l insieme FDrvbl I costituisce uno spazio vettoriale sui reali (v B45:); inoltre la erivazione si può consierare un operatore lineare sul suetto spazio I0:c03 Consieriamo il generico polinomio i grao n () P () : a n n + a n n + + a + a 0 i I0: Derivate elle funzioni reali 7

8 Alberto Marini Le proprietà preceenti implicano la sua erivabilità in tutto il suo ominio R e consentono i eterminare la sua erivata per ogni reale; si tratta el polinomio i grao n : () P () na n n + (n )a n n + + a Espressioni simili forniscono le erivate successive el polinomio; evientemente per k,,, n la erivata k-esima i P () è un polinomio i grao n k e la n-esima erivata è n!a n Tutte le erivate successive sono ate al polinomio nullo I0:c04 L insieme elle funzioni reali efinite in un intervallo reale aperto I, {I R}, munito elle operazioni i somma e moltiplicazione per un numero reale costituisce uno spazio vettoriale lineare: infatti tutte le combinazioni lineari i tali funzioni sono funzioni ello stesso tipo Per la stessa ragione il sottoinsieme proprio elle funzioni continue in I, ce enotiamo con FunCnt I, costituisce un sottospazio el preceente; inoltre l insieme FDrvbl I elle funzioni erivabili in I è sottoinsieme proprio i FunCnt I e costituisce un sottospazio proprio i quello sostenuto a FCont I La erivazione costituisce un operatore lineare in questo spazio Va osservato ce la erivata i una funzione erivabile può non essere erivabile; possiamo solo ire ce la erivazione è una trasformazione lineare a FDrvbl I in {I R} Per ogni n P enotiamo con FDrvbl (n) I l insieme elle funzioni erivabili n volte nell intervallo I Ciaramente ciascuno i questi insiemi costituisce uno spazio vettoriale; inoltre se e k sono interi positivi con < k lo spazio costituito FDrvbl (k I è sottospazio ello spazio costituito a FDrvbl ( I Con la nozione i integrale è facile imostrare ce queste inclusioni sono forti, cioè ce si trovano funzioni erivabili n volte ma non n + I0:c05 Prop Se f, g FDrvbl I, allora f g FDrvbl I e [f() g()] [f()] g() + f() [g()] Dim: Dimostriamo per ogni 0 I ce f, g FDrvbl 0 f g FDrvbl 0 e D [f() g()] 0 D [f()] 0 g( 0 ) + f( 0 ) D [g()] 0 Per questo basta consierare il rapporto incrementale ella f g relativo a 0 e f() g() f( 0 ) g( 0 ) f()g() f( 0)g() + f( 0 )g() f( 0 )g( 0 ) e passare al limite per 0 g() f() f( 0) + f( 0 ) g() g( 0) I0:c06 Prop Se g FDrvbl I e g() non si annulla in I, allora [ ] g () g() g () g() FDrvbl I e Dim: Dimostriamo per ogni 0 I ce g FDrvbl 0, g( 0 ) 0 g FDrvbl 0 e [ ] D D [f()] 0 g() 0 g ( 0 ) 8 I0: Derivate elle funzioni reali

9 Per questo basta consierare il rapporto incrementale ella /g() /g( 0 ) e passare al limite per 0 I0:c07 Alcuni esempi g( 0 ) g() g()g( 0 )( ) g() relativo a 0 e g() g( 0 ) g()g( 0 ) (), m P m mm m m m m Quini se 0 in generale per ogni n Z si a () Per ue funzioni trigonometrice si trova () sec [ ] sin cos cos tan cos n n n e e D (e ) (e ) e Per ue funzioni fratte con n e m interi positivi qualsiasi si a (3) ( + a) n n ( + a) n+,, csc [ ] cos sin sin cot sin (n + m) + nb + ma ( + a) n ( + b) m ( + a) n+ ( + b) m+ I0:c08 () Prop: Se f, g FDrvbl I e g() non si annulla in I, allora f() g() FDrvbl I e [ ] f() f ()g() f()g () g() g () Dim: Dimostriamo per ogni 0 I ce f, g FDrvbl 0 f g FDrvbl 0 e ( [ ]) f() D [f()] 0 g( 0 ) + f( 0 ) D [g()] 0 g() 0 La prima affermazione iscene alle corrisponenti affermazioni in :c06 e :c05 Per la secona formula si ottiene ( [ ]) ( [ ]) f() : c05 f ( 0 ) g() 0 g( 0 ) + f( 0) g() 0 I0:c09 Alcuni esempi: () tan : c06 f ( 0 ) g( 0 ) f( 0) g ( 0 ) g () [ ] sin cos + sin cos cos + tan cos ; () (3) cot tan [ cos ] sin cos sin sin [ ] sin sin cos cos sin cos cos cot sin cos + tan I0: Derivate elle funzioni reali 9

10 Alberto Marini (4) [ ] + a a + b + b ( + b), [ ] + b + c (B b) + (C c) + b B + B + C ( + B + C) (5) [ ] + a ( + a)(b a) + b ( + b) 3, [ ] n + a n( + a)n (b a) + b ( + b) n+ Si osserva ce la erivazione porta a una funzione razionale fratta a un altra funzione ella stessa classe ce in genere è efinita nello stesso ominio o in un suo sovrainsieme, ma ce viene ata a un espressione più complessa i quella i partenza Questo è il contrario i quello ce accae per la erivazione elle funzioni razionali intere: la erivata i un polinomio è infatti un polinomio i grao inferiore I0: Derivate i funzioni composte e i funzioni inverse I0:0 Prop Consieriamo la funzione continua f {I R}, l intervallo J co(f), la funzione continua g {J R} e la funzione composta : f g {I g(co(f))} avente come ominio om(f) e come coominio un sottoinsieme i co(g) [ ] f FDrvbl I, g FDrvbl J FDrvbl I e [g(f())] y g(y) yf() f() Dim: I0:0 Consieriamo tre numeri reali A > 0, ω 0 e δ e la funzione () A cos(ω + δ); essa si può consierare ottenuta per composizione ella y f() : ω + δ {R R} con la w g(y) : A cos y {R [ A, A]}: () g(f()) (g f)(); quini [A cos(ω + δ)] Per la erivata secona [ (A cos y) y ] yω+δ (ω + δ) A sin(ω + δ) ω Aω sin(ω + δ) [A cos(ω + δ)] A ω cos(ω + δ) I0:03 Prop Consieriamo la funzione f {I R} strettamente monotona, cioè crescente o ecrescente (in senso stretto) e scriviamo C : co(f) f(i); questo è il ominio ella funzione inversa f Conveniamo ce sia variabile in I e y in C, in moo ce si possa scrivere y f() per I e f (y) per y C f FDrvbl I f FDrvbl C e y f (y) [ f()] f (y) Dim: Sia 0 un generico punto i I, scriviamo y 0 : f( 0 ) e osserviamo ce f (y 0 ) 0 la f() è continua in I, la f (y) è continua in C e i conseguenza 0 y y 0 0 I0: Derivate elle funzioni reali

11 Dimostriamo ce f FDrvbl 0 f FDrvbl y0 e Consieriamo il rapporto incrementale ella f relativo a y 0 e y [ ] y f (y) yf( 0) f (y) f (y 0 ) y y 0 f() f( 0 ) ; f() f( 0) 0 ( f()) 0 l enunciato ella proposizione riguarante 0 e y 0 si ottiene passano al limite per y y 0, e equivalentemente per 0 I0:04 Consieriamo n, 3, 4, e la funzione f() : n el genere {R0+ R 0+ }; la sua funzione inversa è f (y) y n e quini () n D y y n n y n Sia b R + \ {}; ricorano I7:a05 si a () y n y n n n n n b [ e ln b ] e ln b ( ln b) e ln b ln b Sia r R e consieriamo per R + la funzione () : r (3) I0:05 Consieriamo [ π, π ] () r [ e r ln ] e r ln r rr arcsin D y sin y cos y sin y Per la penultima uguaglianza si tiene conto ce arcsin per efinizione è crescente Consieriamo [0, π] e ricoriamo ce in tale intervallo arccos è funzione ecrescente: () Consieriamo [ π, π ] arccos D y cos y sin y cos (3) arctan D y tan y + tan y + Le varie componenti i questo testo sono accessibili in ttp://wwwmiimaticnrit/ alberto I0: Derivate elle funzioni reali