PDE lineari primo ordine

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1 PDE lineari primo ordine. Introduzione Un equazione lineare alle derivate parziali di primo ordine in R n é, indicato con x = x,..., x n }, un equazione della forma seguente: () n i= a i (x) u x i + b(x) u = f(x) dove a (x),..., a n (x), b(x), f(x) sono funzioni continue R n R, che, per semplicitá, pensiamo definite in tutto R n. L incognita é la funzione u C (R n ) che verifica con le sue derivate prime l equazione (). Come per le equazioni differenziali lineari ordinarie valgono per quelle alle derivate parziali le seguenti proprietá: si dicono equazioni omogenee quando il secondo membro, o termine noto, f(x) é zero, le soluzioni dell equazione omogenea costituiscono uno spazio vettoriale, dette u le soluzioni dell equazione omogenea e u una soluzione particolare dell equazione completa, tutte le soluzioni u dell equazione completa sono della forma u = u + u Le equazioni lineari di primo ordine piú semplici sono, naturalmente quelle a coefficienti a,..., a n, b costanti... Il caso n = 2. In R 2 l equazione () ha la forma α(x, y)u x + β(x, y) u y + γ(x, y) u = f(x, y) La funzione incognita é una funzione u(x, y) di due variabili.

2 2 PDE LINEARI PRIMO ORDINE 2. Il problema di Cauchy La condizione iniziale, o problema di Cauchy, consiste, pensando al caso n = 2, nella determinazione di una soluzione u(x, y) che assuma valori assegnati sui punti (x, y) di una curva C assegnata. Ad esempio, pensando che la curva C sia l asse x, il problema di Cauchy diventa α(x, y)ux + β(x, y) u y + γ(x, y) u = f(x, y) (x, y) u(x, ) = g(x) x 3. L osservazione fondamentale La regola di derivazione di una funzione u(x, y) secondo la direzione del versore t = α, β} assegnato du d t = α u x + β u y consente di ricondurre le equazioni a derivate parziali di primo ordine a equazioni differenziali ordinarie, su una famiglia di curve (spesso un fascio improprio di rette), che prendono il nome di curve caratteristiche Primo esempio Leggiamo quanto sopra su un esempio a coefficienti costanti (2) 4u x + 3u y = esempio che equivale, naturalmente a 4 5 u x u y = ovvero ancora, indicato con 4 t = 5, 3 } 5 4u x + 3u y = du d t = L ultima condizione corrisponde a dire che la soluzione u é costante lungo le rette parallele al versore t. Le rette parallele a t sono x = A s y = B + 3 4y 3x = C 5 s

3 3. L OSSERVAZIONE FONDAMENTALE 3 quindi una funzione che sia costante su di esse non puó che essere u(x, y) = g(4y 3x) che rappresentano quindi, al variare di g, tutte e sole le soluzioni della (2). Figura. La determinazione della soluzione del problema di Cauchy Consideriamo ora il problema di Cauchy 4ux + 3u y = u(x, ) = x 2 La condizione al contorno aggiunta implica ovvero u(x, ) = g( 3x) = x 2 g(t) = da cui ( 4y 3x u(x, y) = 3 Una verifica diretta conduce a u(x, ) = x 2 u x (x, y) = 2x 24 9 y u y (x, y) = 24 9 x y ( ) 2 t 3 ) 2 = x xy y2 4ux + 3u y = u(x, ) = x 2

4 4 PDE LINEARI PRIMO ORDINE La determinazione della soluzione si riconosce in Figura : si determina il vettore t, scelto un punto qualsiasi si traccia per esso la retta parallela a t, tale retta interseca (prima o poi) l asse x su cui é assegnata la condizione iniziale u(x, ) = x 2, tenuto conto che u é costante sulla retta, il suo valore nel punto scelto é lo stesso che prende nell intersezione tra tale retta e l asse x, ecc. ecc. Figura 2. La soluzione del problema di Cauchy: notare le linee di livello, rette. Osservazione: I valori iniziali potevano essere assegnati invece che sull asse x, sull asse y o su altre rette: su un solo tipo di rette non era possibile quelle della famiglia 4y 3x = C sulle quali le soluzioni della (2) sono necessariamente costanti. Secondo esempio (3) 4ux (x, y) + 3u y (x, y) + u(x, y) = f(x, y) u(x, ) = g(x)

5 3. L OSSERVAZIONE FONDAMENTALE 5 Cerchiamo l espressione delle soluzioni u nel punto (x, y ). Detto come sopra 4 t = 5, 3 } 5 consideriamo la (3) sui punti (x, y) della caratteristica passante per (x, y ) x = x + 4 s y = y + 3 s 4u x (x + 4 s, y + 3 s)+3u y (x + 4 s, y + 3 s)+u (x + 4 s, y + 3 s) = f (x + 4 s, y + 3 s) Indicate con da cui U(s) = u (x + 4 s, y + 3 s), F (s) = f (x + 4 s, y + 3 s) l equazione si legge come e quindi ovvero u(x, y ) = U() U (s) + U(s) = F (s) U(s) = e s U() + s U() = e s u (x + 4 s, y + 3 s) Scegliamo ora s in modo che Ne segue u(x, y ) = e 3 y u (x + 4 s, ) ovvero ancora } e σ F (σ) dσ s y + 3s = s = 3 y 3 y ( u(x, y ) = e 3 y g x 4 ) 3 y 3 y Verifica: e σ F (σ) dσ e σ f (x + 4 σ, y + 3 σ) dσ e σ f (x + 4 σ, y + 3 σ) dσ La condizione iniziale u(x, ) = g(x ) é ovviamente soddisfatta.

6 6 PDE LINEARI PRIMO ORDINE Per quanto concerne le derivate si ha u x = e 3 y g 3 y (..) e σ f x (...) dσ u y = 3 e 3 y g(..) 4 3 e 3 y g (..) + e 3 y f(..) Il conto torna tenendo conto che 3 y e σ f y (...) dσ 4f x (x + 4 s, y + 3 s)+3f y (x + 4 s, y + 3 s) = f σ (x + 4 s, y + 3 s) e quindi servendosi di un integrazione per parti... Riassumendo Le equazioni a coefficienti costanti α u x + β u y + γ u = f(x, y) si traducono in equazioni differenziali lineari ordinarie di primo ordine a coefficienti costanti (4) U (s) + δ U(s) = F (s) su ognuna delle rette caratteristiche La condizione iniziale posta sulla u fornisce una condizione iniziale U(s ) = l per la (4). 4. Il caso dei coefficienti variabili La differenza fondamentale tra coefficienti costanti e coefficienti variabili consiste nella forma delle caratteristiche: un fascio improprio di rette parallele nel caso dei coefficienti costanti, una famiglia di curve (non certamente sempre esplicite) nel caso dei coefficienti variabili. La tecnica con cui interpretare l espressione a(x, y)u x (x, y) + b(x, y)u y (x, y) é la stessa incontrata nel caso dei coefficienti costanti: detto t il versore } a(x, y) t = a2 + b, b(x, y) 2 a2 + b 2 riesce Primo esempio a(x, y)u x (x, y) + b(x, y)u y (x, y) = a 2 + b u 2 t Consideriamo l equazione (5) e x u x + u y u =

7 4. IL CASO DEI COEFFICIENTI VARIABILI 7 Costruzione della caratteristica passante per il punto (x, y ) x (s) = e x x() = x x(s) = log(e x s) y (s) = y() = y y(s) = y + s Osserviamo che u[x(s), y(s)] = u x x (s) + u y y (s) = e x(s) u x [x(s), y(s)] + u y [x(s), y(s)] s da cui, posto l equazione (5) diventa da cui U(s) = u[x(s), y(s)], U() = u(x, y ) U (s) U(s) = (6) U(s) = U()e s U(s) = u(x, y )e s Nel caso che la condizione iniziale sia scelto s tale che y(s ) =, cioé u(x, ) = g(x) si ha s = y U(s ) = u(x, y )e s u(x, y ) = e y u( log(e x +y ), ) u(x, y ) = e y g( log(e x + y )) da cui, togliendo i zeretti... Secondo esempio u(x, y) = e y g( log(e x + y)) (7) yu x + xu y + 2xy = Consideriamo la caratteristica uscente dal punto (x, y ) x x(s) = Ae (s) = y x() = x s + Be s y (s) = x y() = y y(s) = Ae s Be s con A = 2 (x + y ), B = 2 (x + y )

8 8 PDE LINEARI PRIMO ORDINE Posto U(s) = u(x(s), y(s)) l equazione (7) diventa U (s)+2x(s)y(s) = U(s) = U() s da cui U(s) = U() + A 2 (e 2s ) + B 2 (e 2s ) = La curva caratteristica interseca la retta y = 2x quando 2 ( A 2 e 2σ B 2 e 2σ) dσ = Ae s Be s = 2 ( Ae s + Be s) e 2s = 3B A In tale valore s pertanto la precedente relazione diventa ( U(s) = U() + A 2 3B ) ( A + B 2 A ) 3B = Tenuto conto inoltre che, per tale s riesce U(s) = u(x(s), y(s)) = 2x(s) 2 si ha 2 ( Ae s + Be s) ( = U() + A 2 3B ) ( A + B 2 A ) 3B = sviluppato il primo quadrato, e tenuto conto della espressione di e 2s si ottiene, U() = A 2 B 2 6AB ( ) 2 ( ) 2 u(x, y ) = 2 (x + y ) 2 (x y ) 6 4 (x2 y) 2 che, semplificando conduce a u(x, u) = y 2 2x 2

9 Indice PDE lineari primo ordine. Introduzione 2. Il problema di Cauchy 2 3. L osservazione fondamentale 2 4. Il caso dei coefficienti variabili 6 9