Storia della Matematica

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1 Lezione Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 13 Maggio 2014

2 Newton: serie della potenza di un binomio Da una lettera a Leibniz sappiamo che Newton era a conoscenza della serie binomiale prima del 1668 ( ) (1 + x) α α(α 1) α = 1 + αx + x x k k dove ( ) α = k α(α 1)... (α k + 1). k! e quindi, dalla serie per (1 x 2 ) 1/2 ricava la serie per l arcotangente di x.

3 Esempio Per calcolare lo sviluppo in serie di 1 + x, si procede ponendo 1 + x = 1 + ax + bx 2 + cx da cui, quadrando, otteniamo 1 + x = 1 + 2ax + (a 2 + 2b)x 2 + (2c + 2ab)x e, uguagliando le varie potenze, a = 1 2 b = 1 8 c = 1 16 = 5 128,...

4 Contributi di Newton alla teoria delle serie Pur non dispondendo di critero generali di convergenza, Newton indaga caso per caso se il resto della serie vada diminuendo abbastanza velocemente. Attraverso il metodo delle approssimazioni successive riesce ad invertire una serie, ottenendo in questo modo la serie per l esponenziale, per il seno e il coseno, ecc..

5 Il metodo delle flussioni Newton chima metodo diretto e inverso delle flussioni la derivazione e l integrazione rispettivamente. Sviluppò tali metodi a partire dagli anni , a partire dalle idee embrionali di Barrow. Newton chiama fluenti le quantità variabili, che immagina variabili allo scorrere del tempo. [[cfr. Lettura, p. 1-3]. Considera quindi un punto variabile come un insieme di due o più variabili funzioni del tempo (x(t), y(t), z(t), anche se avverte che si tratta di un tempo convenzionale per cui, quando conviene, può assumere una delle variabili, per esempio la x, come variabile indipndente. Ad ogni istante t considera la velocità istantanea di variazione di ognuna delle fluenti x, y, z. Queste velocità sono le flussioni (derivate prime), che denota ẋ, ẏ, ż. Le flussioni possono a loro volta considerarsi come fluenti, le cui flussioni, (cioè le derivate seconde), indica ẍ, ÿ, z.

6 Calcolo delle flussioni Per determinare le flussioni, Newton considera sia un approccio geometrico [[cfr. Lettura, pp.4-6]] sia un approccio analitico (metodo delle ultime ragioni di grandezze evanescenti, ovvero il limite del rapporto incrementale) [[Lettura, pp. 6-7]]. Il metodo delle grandezze evanescenti funziona in generale nel modo seguente. Si abbiano ad esempio due variabili legate da un equazione algebrica, f (x, y) = 0. Al posto di x e y si pongono i binomi x + hẋ, y + hẏ, dove ẋ e ẏ sono le flussioni incognite, di cui resterà determinato il rapporto. Si sviluppi f (x + hẋ, y + hẏ), tenendo conto che f (x, y) = 0, si divida per h e si ponga h = 0.

7 Il metodo delle quadrature Il metodo delle quadrature consiste nell inverso del metodo delle flussioni. Se si considera come fluente l area compresa tra una curva, l asse delle ascisse e due ordinate di cui una variabile, la flussione dell area rispetto all ascissa è l ordinata variabile. Quindi la ricerca dell area equivale alla ricerca di una funzione (funzione primitiva) la cui derivata ha come grafico la curva assegnata. Questo è il teorema fondamentale del calcolo che riconosce come integrale e derivata sono operazioni inverse, e che era già stato osservato, anche se in forma meno chiara e senza comprenderne la portata da Torricelli e Barrow. Newton, potendo utilizzare le proprietà della derivata che ha stabilito precedentemente, può utilizzare il teorema fondamentale del calcolo per far compiere al calcolo integrale un passo avanti gigantesco.

8 Le equazioni differenziali Newto presta molta attenzione al problema di integrazione delle equazioni differenziali, anche di ordine superiore al primo. Quando non riesce a determinare le soluzioni attraverso cambi di variabili o altri artifici, cerca di sviluppare l integrale incognito in serie di potenze di x (anche a esponente negativo), determinando uno per volta i successivi termini della serie, senza riuscire però, il più delle volte, a scoprire la legge generale di formazione della serie e quindi senza poter controllare la sua convergenza. Applicazioni del metodo delle flussioni Determinazione di massimi e minimi, calcolo delle tangenti, quadrature e rettificazioni di curve, determinazione dei raggi di curvatura. Soluzione delle equazioni del moto di un pianeta soggetto alla forza di attrazione del sole (anche se esposto nei principia in modo puramente geometrico).

9 Esempio di applicazioni delle serie allo studio delle equazioni differenziali I Consideriamo, per esempio, l equazione differenziale ẏ = 1 3x + y + x 2 + xy (1) e cerchiamone una soluzione con y(0) = 0. Supponiamo di espandere la soluzione in serie di potenze y(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4... (2) La condizione y(0) = 0 implica a 0 = 0. Calcolando (1) per x = 0 otteniamo ẏ(0) = 1. Derivando (2) abbiamo ẏ = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + 4a 4 x 3... (3) da cui, sostituendo la condizione ẏ(0) = 1, segue a 1 = 1. Deriviamo ora (1), ottenendo ÿ = 3 + ẏ + 2x + y + xẏ. (4)

10 Esempio di applicazioni delle serie allo studio delle equazioni differenziali II Calcolando (4) per x = 0, e utilizzano ẏ(0) = 1 e y(0) = 0 otteniamo ÿ(0) = = 2. Derivando (5) abbiamo ÿ = 2a 2 + 6a 3 x + 12a 4 x (5) da cui, sostituendo la condizione ÿ(0) = 2, segue a 2 = 1. Possiamo iterare il procedimento, ottenendo a 3 = 1 3 e calcolando similmente, in linea di principio, i successivi coefficienti a i,