9.2 Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine

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1 9.2 Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine 349 y = f(y, x), (9.23) allora la sostituzione z = y conduce all equazione del primo ordine z = f(z, x) nell incognita z = z(x). Se tale equazione è risolubile e se z(x; C 1 ) ne indica l integrale generale, otterremo tutte le soluzioni della (9.23) risolvendo l equazione y = z, ossia calcolando tutte le primitive di z(x; C 1 ); ciò introdurrà una nuova costante di integrazione C 2. L integrale generale dell equazione (9.23) ha dunque la forma y(x; C 1, C 2 ) = z(x; C 1 ) dx = Z(x; C 1 ) + C 2, dove Z(x; C 1 ) indica una particolare primitiva di z(x; C 1 ). Esempio 9.9 Si voglia risolvere l equazione del secondo ordine y (y ) 2 = 1. Ponendo z = y otteniamo l equazione del primo ordine a variabili separabili z = z 2 + 1, il cui integrale generale è dato da arctan z = x + C 1, vale a dire z(x, C 1 ) = tan(x + C 1 ). Integrando ulteriormente, abbiamo sin(x + C1 ) y(x; C 1, C 2 ) = tan(x + C 1 ) dx = cos(x + C 1 ) dx = log(cos(x + C 1 )) + C 2, C 1, C 2 R. 9.2 Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine Nelle sezioni precedenti, abbiamo considerato alcune famiglie di equazioni differenziali del primo ordine, per le quali abbiamo fornito procedimenti che permettono di esprimere gli integrali generali delle equazioni mediante integrali indefiniti di funzioni note. Le famiglie prese in esame non esauriscono affatto l insieme delle equazioni differenziali delle quali è possibile determinare per via analitica le soluzioni; varie altre tecniche sono state sviluppate, per risolvere in modo esatto equazioni differenziali di interesse applicativo. Tuttavia, non per tutte le equazioni sono disponibili metodi analitici di risoluzione, oppure ove disponibili tali

2 350 9 Equazioni differenziali ordinarie metodi possono rivelarsi di limitata efficienza pratica. In questi casi, è necessario ricorrere a tecniche di approssimazione, sovente di tipo numerico; nelle situazioni più comuni, ci si limita ad approssimare un integrale particolare dell equazione, ad esempio quello definito da un problema ai valori iniziali di Cauchy. L uso di metodi di approssimazione deve però sempre seguire uno studio qualitativo del problema differenziale di interesse, che garantisca almeno l esistenza di una soluzione esatta da approssimare. Le proprietà qualitative delle soluzioni di un equazione differenziale hanno comunque interesse in sé, ad esempio per capire come la soluzione di un problema di Cauchy sia sensibile alla scelta del valore iniziale. Consideriamo quindi il problema di Cauchy (9.9) e diamo una semplice condizione su f la quale garantisce che il problema ammette una soluzione, definita in un intorno di x 0, che tale soluzione è unica e che essa dipende in modo continuo dal dato iniziale y 0. Quando ciò accade, diciamo che il problema (9.9) è ben posto (secondo Hadamard) Funzioni lipschitziane Premettiamo alcuni concetti relativi al modo con cui una funzione di una o più variabili dipende dai suoi argomenti. Una funzione reale di variabili reale f : J R, dove J è un intervallo, dicesi lipschitziana in J se esiste una costante L 0 tale che f(y 1 ) f(y 2 ) L y 1 y 2, y 1, y 2 J. (9.24) La condizione può essere anche scritta come f(y 1 ) f(y 2 ) L, y 1 y 2 y 1, y 2 J, y 1 y 2 (9.25) e quindi equivale al fatto che il rapporto incrementale di f è limitato, al variare degli argomenti y 1 y 2 in J. Si noti che se la (9.24) è soddisfatta per un certo valore di L, lo è anche per valori maggiori. La più piccola costante per cui la (9.24) è verificata prende il nome di costante di Lipschitz di f in J. Essa non è altro che l estremo superiore della quantità a primo membro della (9.25), al variare degli argomenti in J. Non sempre è facile determinare esattamente tale valore, ma in genere è sufficiente conoscere una sua approssimazione per eccesso. Una funzione lipschitziana in J è necessariamente continua in ogni punto di J (anzi, è uniformemente continua in J Funzioni continue ); la definizione di continuità è infatti soddisfatta con la scelta δ = ε/l. Tuttavia, non tutte le funzioni continue sono lipschitziane. Ad esempio, la funzione f(y) = y non lo è sull intervallo J = [0, + ); scegliendo infatti y 2 = 0 si ha f(y 1 ) f(y 2 ) = y 1 y 2 y1 y1 y 1 = 1 e facendo tendere y 1 a 0 si vede che il quoziente a primo membro non è superiormente limitato. Si noti che tale funzione ha derivata (destra) infinita in y = 0.

3 9.2 Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine 351 Se f è derivabile in J con derivata limitata su J, cioè se L = sup f (y) < +, allora f è lipschitziana su J con costante di Lipschitz L. Per verificare la condizione (9.24), è sufficiente applicare la seconda formula dell incremento finito (6.12) a f sull intervallo di estremi y 1, y 2, ottenendo f(y 1 ) f(y 2 ) = f (ȳ)(y 1 y 2 ) per un certo ȳ compreso tra y 1 e y 2 ; ne segue che f(y 1 ) f(y 2 ) = f (ȳ) y 1 y 2 L y 1 y 2. La condizione di derivata limitata è sovente la più immediata da verificare, tra quelle che assicurano la lipschitzianità di una funzione. Ad esempio, essa garantisce la lipschitzianità di f(y) = y su ogni intervallo di tipo [a, + ) con a > 0, essendo 0 < f (y) = 1 2y 1 2a in tale intervallo. Si noti però che una funzione può essere lipschitziana in un intervallo senza essere ivi derivabile; la funzione f(y) = y, non derivabile nell origine, è lipschitziana con costante di Lipschitz uguale a 1 su tutto R, essendo y 1 y 2 y 1 y 2, y 1, y 2 R. Passiamo alle funzioni di più variabili. Una funzione f : Ω R d R dicesi lipschitziana nella regione Ω se esiste una costante L 0 tale che f(y 1 ) f(y 2 ) L y 1 y 2, y 1, y 2 Ω. Una funzione f : I J R 2 R, con I e J intervalli reali, dicesi lipschitziana in Ω nella seconda variabile, uniformemente rispetto alla prima, se esiste una costante L 0 tale che f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2, y 1, y 2 J, x I. (9.26) Tale condizione è verificata se f ammette derivata parziale rispetto a y limitata in Ω, ossia se L = sup f (x, y) y < +. (x,y) Ω Una condizione di risolubilità del problema di Cauchy Siamo pronti ad enunciare il risultato generale sul problema di Cauchy (9.9). y J

4 352 9 Equazioni differenziali ordinarie Teorema 9.10 Siano I e J intervalli non vuoti della retta reale, con J aperto. Sia f : Ω = I J R 2 R una funzione continua in Ω, e lipschitziana in Ω nella seconda variabile, uniformemente rispetto alla prima. Per ogni (x 0, y 0 ) Ω, il problema di Cauchy (9.9) ammette una e una sola soluzione y = y(x), definita e derivabile con continuità in un intervallo I I, contenente x 0 e non ridotto a un punto, e tale che ( x, y(x) ) Ω per ogni x I. Se (x 0, ỹ 0 ) Ω e se ỹ = ỹ(x) è la soluzione del corrispondente problema di Cauchy, definita in un intervallo I I, allora si ha y(x) ỹ(x) e L x x0 y 0 ỹ 0, x I I, (9.27) dove L è la costante che compare nella (9.26). Il teorema assicura l esistenza e l unicità di una soluzione locale, ossia definita in un intorno di x 0, del problema di Cauchy. La soluzione potrebbe non essere definita su tutto I, in quanto la curva integrale ( x, y(x) ), detta anche traiettoria, potrebbe uscire da Ω prima che x abbia percorso tutto I. Ad esempio, la funzione f(y) = y 2 è lipschitziana su ogni intervallo limitato J a = ( a, a) con a > 0, essendo f(y 1 ) f(y 2 ) = (y 1 + y 2 )(y 1 y 2 ) 2a y 1 y 2, y 1, y 2 J a ma non è lipschitziana su tutto R. La soluzione del problema di Cauchy { y = y 2 (9.28) y(0) = 1/2 non esiste su tutto l intervallo I = [0, + ): risolvendo l equazione per separazione di variabili otteniamo y(x) = 1 2 x, il che mostra che la traiettoria ( x, y(x) ) esce da ogni regione Ω a = I J a, a > 1, prima che x raggiunga il valore 2 (si veda la Figura 9.3). Se invece le ipotesi del teorema valgono con J = R, allora è possibile dimostrare che la soluzione è definita in tutto I. L unicità della soluzione del problema (9.9) segue facilmente dalla disuguaglianza (9.27): se y(x) e ỹ(x) sono due soluzioni corrispondenti allo stesso dato iniziale y 0 = ỹ 0 in x 0, necessariamente si ha y(x) = ỹ(x) per ogni x. È utile osservare che se f non è lipschitziana nella seconda variabile in un intorno di (x 0, y 0 ), allora il problema di Cauchy può ammettere più di una soluzione. Ad esempio, il problema { y = y y(0) = 0,

5 PSfrag replacements 9.3 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti 353 a J a 1/2 0 2 a Figura 9.3. La soluzione del problema di Cauchy (9.28) non è definita su I = [0, + ) risolubile per separazioni di variabili, ammette tanto la soluzione costante y(x) = 0 (l integrale singolare), quanto la soluzione y(x) = 1 4 x2 ; (addirittura ammette infinite soluzioni, date da { 0 0 x c, y(x) = 1 4 (x c 0, c)2 x > c, ottenuta incollando in modo opportuno le soluzioni indicate prima). Infine, la (9.27) esprime la dipendenza continua della soluzione del problema (9.9) dal dato iniziale y 0 : una perturbazione di ampiezza ε nel dato iniziale si traduce in una perturbazione di ampiezza al più e L x x0 ε nella soluzione in x x 0. In altri termini, la distanza tra due traiettorie può crescere al più di un fattore e L x x0 nel passaggio da x 0 a x. Si noti tuttavia il carattere esponenziale di tale fattore, la cui grandezza dipende non solo dalla distanza x x 0 ma anche dalla grandezza della costante di Lipschitz della funzione f. 9.3 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti Un equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma y + ay + by = g, (9.29) dove a e b sono costanti reali e g = g(x) è una funzione continua. L integrale generale di una tale equazione può essere facilmente calcolato nel caso in cui g = 0, I Ω a

6 354 9 Equazioni differenziali ordinarie ossia nel caso in cui l equazione sia omogenea. È inoltre possibile calcolare esplicitamente le soluzioni dell equazione quando il secondo membro g è un prodotto di esponenziali, polinomi algebrici, funzioni trigonometriche di tipo seno e coseno e, più in generale, una somma di espressioni di questo genere. Al fine di studiare l equazione (9.29), indichiamone con Ly = y + ay + by il primo membro e osserviamo che, per la proprietà di linearità della derivazione, si ha L(αy + βz) = αly + βlz (9.30) per ogni α, β R e per ogni funzione reale di variabile reale y = y(x) e z = z(x) derivabile due volte. Inoltre non è difficile verificare che il risultato continua a valere quando α, β C e y = y(x) e z = z(x) assumono valori complessi. Tale proprietà di linearità dell equazione differenziale sarà fondamentale nello studio successivo. Un altra proprietà che utilizzeremo è la seguente. Sia λ = λ r + iλ i C un qualunque numero complesso; consideriamo la funzione di variabile reale a valori complessi x e λx = e λrx e iλix = e λrx (cos λ i x + i sin λ i x). Allora si ha d dx eλx = λe λx (9.31) esattamente come nel caso in cui λ è un numero reale. Si ha infatti d dx eλx = d dx (eλrx cos λ i x) + i d dx (eλrx sin λ i x) = λ r e λrx cos λ i x λ i e λrx sin λ i x + i(λ r e λrx sin λ i x + λ i e λrx cos λ i x) = λ r e λrx (cos λ i x + i sin λ i x) + iλ i e λrx (cos λ i x + iλ i sin λ i x) = (λ r + iλ i )e λx = λe λx. Siamo pronti a studiare l equazione (9.29). Consideriamo dapprima l equazione omogenea Ly = y + ay + by = 0 (9.32) e indichiamo con χ(λ) = λ 2 + aλ + b il polinomio caratteristico dell equazione differenziale, ottenuto sostituendo ad ogni derivata la potenza di ordine corrispondente di una variabile complessa λ. La (9.31) suggerisce di cercare una soluzione nella forma y(x) = e λx per un opportuno valore di λ. Con tale scelta, L(e λx ) = λ 2 e λx + aλe λx + be λx = χ(λ)e λx e dunque l equazione è soddisfatta se e solo se λ è una radice dell equazione caratteristica λ 2 + aλ + b = 0. Se il discriminante = a 2 4b di tale equazione è diverso da 0, abbiamo due radici λ 1, λ 2 distinte a cui corrispondono due soluzioni distinte y 1 (x) = e λ1x e

7 9.3 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti 355 y 2 (x) = e λ2x ; le due radici e le corrispondenti soluzioni sono reali quando > 0, sono complesse coniugate quando < 0. Se = 0, si ha una radice doppia λ, a cui corrisponde la soluzione y 1 (x) = e λx. La condizione di radice doppia implica che χ (λ) = 0; posto y 2 (x) = xe λx, si ha allora L(y 2 ) = χ(λ)xe λx + χ (λ)e λx = 0 e dunque la funzione y 2 è una soluzione dell equazione, distinta dalla soluzione y 1. In tutti i casi, dunque, abbiamo determinato due soluzioni distinte y 1 e y 2 dell equazione omogenea (9.32). Osserviamo ora che, per la proprietà di linearità (9.30), se y 1 e y 2 sono due soluzioni della (9.32) e C 1, C 2 due costanti, allora L(C 1 y 1 + C 2 y 2 ) = C 1 Ly 1 + C 2 Ly 2 = C C 2 0 = 0, cioè anche C 1 y 1 +C 2 y 2 è una soluzione dell equazione omogenea. Inoltre, è possibile dimostrare che se y è una soluzione di tale equazione, allora esistono due costanti C 1 e C 2 tali che y = C 1 y 1 + C 2 y 2, essendo y 1 e y 2 le soluzioni distinte trovate sopra. In conclusione, l integrale generale dell equazione omogenea (9.32) si scrive nella forma y(x; C 1, C 2 ) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), dove C 1 e C 2 sono costanti (complesse) e y 1 (x), y 2 (x) sono definite nel modo seguente: se 0, si pone y 1 (x) = e λ1x e y 2 (x) = e λ2x dove λ 1 e λ 2 sono le radici distinte dell equazione caratteristica χ(λ) = 0; se = 0, si pone y 1 (x) = e λx e y 2 (x) = xe λx dove λ è la radice doppia dell equazione caratteristica χ(λ) = 0. Nel caso < 0, è possibile esprimere le soluzioni mediante funzioni reali, anziché complesse coniugate come sopra. È sufficiente sostituire a y 1 (x) la sua parte reale e λrx cos λ i x e a y 2 (x) la sua parte immaginaria e λrx sin λ i x, avendo posto λ 1 = λ 2 = λ r + iλ i. Infatti, se y è una soluzione dell equazione omogenea, si ha L(Re y) = Re (Ly) = Re 0 = 0, L(Im y) = Im (Ly) = Im 0 = 0, in quanto i coefficienti dell equazione sono reali; dunque anche Re y e Im y sono soluzioni dell equazione. Riassumendo, l integrale generale dell equazione omogenea (9.32) si esprime mediante funzioni reali nel modo seguente. Caso > 0. L equazione caratteristica ha due radici reali distinte

8 356 9 Equazioni differenziali ordinarie e l integrale generale è dato da λ 1,2 = a ± 2 y(x; C 1, C 2 ) = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x, con C 1, C 2 costanti arbitrarie. Caso = 0. L equazione caratteristica ha due radici reali coincidenti, il cui valore comune è λ = a 2, e l integrale generale ha la forma y(x; C 1, C 2 ) = (C 1 + C 2 x)e λx, C 1, C 2 R. Caso < 0. L equazione caratteristica non ha radici reali. Ponendo λ = a 2, ω =, 2 l integrale generale ha la forma y(x; C 1, C 2 ) = e λx (C 1 cos ωx + C 2 sin ωx), C 1, C 2 R. Ritorniamo ora all equazione non omogenea (9.29). L integrale generale si scrive come y(x; C 1, C 2 ) = y 0 (x; C 1, C 2 ) + y p (x), (9.33) dove y 0 (x; C 1, C 2 ) indica l integrale generale dell equazione omogenea associata (9.32), mentre y p (x) indica un qualunque soluzione particolare dell equazione (9.29). Infatti, grazie alla linearità dell equazione, è immediato verificare che il secondo membro della (9.33) è soluzione della (9.29); viceversa, se y(x) indica una generica soluzione, allora la funzione y(x) y p (x) risolverà l equazione omogenea associata, e dunque sarà della forma y 0 (x; C 1, C 2 ) per opportuni valori di C 1 e C 2. Qualora il termine noto g sia una combinazione di prodotti di polinomi algebrici, funzioni trigonometriche ed esponenziali, è possibile trovare un integrale particolare avente la stessa struttura. Per comprendere ciò, partiamo da un termine noto del tipo g(x) = e αx p n (x) con α C e p n (x) polinomio algebrico di grado n 0. Cerchiamo una soluzione particolare nella forma y p (x) = e αx q N (x) con q N polinomio di grado N n da determinarsi. Sostituendo tale espressione nell equazione, otteniamo

9 da cui 9.3 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti 357 L(e αx q N (x)) = e αx (χ(α)q N (x) + χ (α)q N (x) + q N (x)) = e αx p n (x) χ(α)q N (x) + χ (α)q N (x) + q N (x) = p n (x). Se α non è una radice del polinomio caratteristico, allora è sufficiente porre N = n e determinare i coefficienti incogniti di q n uguagliando tra loro i coefficienti delle potenze di pari grado dei due polinomi a primo e secondo membro; è conveniente partire dal coefficiente di grado massimo n e procedere all indietro. Se α è una radice semplice del polinomio caratteristico, allora χ(α) = 0 ma χ (α) 0, nel qual caso si pone N = n + 1 e si cercherà una soluzione polinomiale dell equazione χ (α)q N (x) + q N (x) = p n(x); poiché il coefficiente di grado 0 di q n+1 non interviene in tale espressione, è sufficiente cercare q n+1 nella forma q n+1 (x) = xq n (x) con q n arbitrario polinomio di grado n. Se infine α è una radice doppia del polinomo caratteristico, allora si pone N = n+2 e si risolve l equazione q n+2(x) = p n (x), cercando q n+2 nella forma q n+2 (x) = x 2 q n (x) con q n arbitrario polinomio di grado n. Le ultime due situazioni si dicono di risonanza. Si noti che quando α è complesso, le espressioni χ(α) e χ (α) sono in genere complesse, dunque è necessario cercare q N (x) come polinomio a coefficienti complessi. Come nel caso dell equazione omogenea, è possibile evitare l uso della variabile complessa considerando separatamente la parte reale e la parte immaginaria di g. Più precisamente, consideriamo termini noti g della forma g(x) = p n (x)e µx sin ϑx oppure g(x) = p n (x)e µx cos ϑx (9.34) che sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di e αx p n (x) per α = µ + iϑ. L analisi sopra svolta conduce allora a cercare y p nella forma y p (x) = x m e µx (q 1,n (x) sin ϑx + q 2,n (x) cos ϑx), (9.35) dove q i,n (x) sono polinomi algebrici di grado n, mentre m vale 0 tranne che nelle seguenti situazioni di risonanza: i) nel caso > 0, si pone m = 1 se ϑ = 0 e µ coincide con una delle radici λ 1 o λ 2 del polinomio caratteristico; ii) nel caso = 0, si pone m = 2 se ϑ = 0 e µ coincide con la radice (doppia) λ del polinomio caratteristico; iii) nel caso < 0, si pone m = 1 se µ = λ e ϑ = ω. Sostituendo l espressione (9.35) di y p nell equazione differenziale (9.29), dopo aver derivato e raccolto addendi comuni si uguaglieranno i coefficienti dei termini x k e µx sin ϑx e x k e µx cos ϑx, per k = 0,..., n, a primo e a secondo membro. In tal modo si giunge a determinare y p. Se infine g è una somma algebrica di termini del tipo (9.34), la soluzione particolare y p sarà la somma delle soluzioni particolari relative ai singoli termini. Illustriamo il procedimento ora descritto con alcuni esempi.