Note sul teorema fondamentale e sulla formula fondamentale del calcolo integrale

Transcript

1 Note sul teorema fondamentale e sulla formula fondamentale del calcolo integrale Definizione. Sia f:[a, b] R una funzione reale continua definita sull intervallo [a, b] R. Una funzione primitiva (o semplicemente una primitiva) di f è una qualsiasi funzione G:[a, b] R tale che G (x) = f(x) per ogni x [a,b], ossia la cui derivata prima coincida con la funzione f su tutto l intervallo [a,b]. Osservazione. Non è difficile mostrare che se G è una primitiva di f, allora lo è anche G(x) + C, per ogni valore costante C R. Inoltre è possibile mostrare che vale anche il viceversa: se G e G* sono due qualsiasi primitive di f, allora esiste una costante C R tale che G*(x)=G(x)+C. Quindi per conoscere tutte le primitive di f, è sufficiente conoscere una particolare primitiva G: tutte le altre si ottengono allora da aggiungendo ad essa tutte le varie costanti reali, ossia se G è una qualsiasi primitiva di f, l insieme di tutte le primitive di f è dato dall insieme {G(x) + C / C R}. Si noti infine che una tabella di derivate, letta al contrario, fornisce una tabella di primitive. Il caso delle funzioni polinomiali. Se g(x) = a mx m + a m-x m- + + a x + a x + a, dove a, a,, a m R e a m è una funzione polinomiale, allora la sua derivata è: g (x) = ma mx m- + (m-)a m-x m- + + a x + a. Ad esempio se g(x) = x - x + 5, allora g (x) = x -. Così una primitiva della funzione costante f(x) = è g(x) = x. Infatti g (x) =. Anche la funzione g*(x) = x - lo è ed infatti l insieme di tutte le primitive di f(x) = è dato dall insieme { x+c / C R }. Analogamente una primitiva di f(x) = x è g(x) = x, perché g (x)=x, ma le è anche la funzione g(x)* = x +, infatti l insieme di tutte le primitive di f(x) = x è { x +C / C R }. Esercizio. Mostrare che per ogni intero positivo n una primitiva di f(x) = x n è g(x) = x n+ e che l insieme di tutte le primitive è { x n+ +C / C R }. Svolgere prima i casi n=,4 e poi cercare di generalizzare. Esercizio. Verificare che una primitiva di f(x) = x + x + è g(x) = x + x + x. Esercizio. Trovare una primitiva del generico polinomio di secondo grado: f(x) = ax + bx + c. Esercizio. Trovare una primitiva dei seguenti polinomi:

2 x 5 + x 4 - x + x - x +; x 5 + x 4 + x + x + ; - x 6 - x + x - x +. Siamo in grado ora di trovare una primitiva della generica funzione polinomiale f(x) = a nx n + a n-x n- + + a x + a x + a, dove a, a,, a n R e a n : essa è allora G(X) = x n+ + x n + + x + a x, mentre l insieme di tutte le primitive è { x n+ + x n + + x + a x +C / C R }. Abbiamo così dimostrato l esistenza e descritto tutte le primitive delle funzioni polinomiali. In generale ogni funzione continua su un intervallo [a,b] ammette primitiva: questo è un importante risultato detto teorema fondamentale del calcolo integrale, che enunciamo senza dimostrazione. Teorema. Sia f:[a, b] R una funzione reale continua. Per ogni x [a,b] la funzione F(x) = (detta funzione integrale di f in [a,b]) è derivabile e si ha F (x)=f(x) per ogni x R (ossia F è una primitiva di f su tutto [a,b]). Le primitive si rivelano particolarmente utili nel calcolo degli integrali. Infatti vale il seguente risultato detto formula fondamentale del calcolo integrale, che enunciamo nuovamente senza dimostrazione. Teorema. Sia f:[a, b] R una funzione reale continua e sia G una qualunque sua primitiva. Allora = G(b) G(a) La differenza a secondo membro viene spesso denotata con i simboli G(x) oppure con [G(x) Osservazione. Ricordiamo infine che se f(x) è una funzione definita e continua su un intervallo [a,b] e f(x) su tutto [a, b], allora è l area della regione sottografico della funzione come indicato in figura.

3 Esempio. Calcolare l integrale. Si tratta dell area del sottografico della funzione in figura: È l area di un triangolo rettangolo di cateti che misurano : ovvero ha area. Calcolando la stessa area mediante la formula fondamentale del calcolo integrale, dato che un primitiva di f(x) = x è g(x) = x, si ha = con [ = - =.

4 Esempio. Calcolare l integrale. Si tratta dell area del sottografico della funzione in figura: 4,5 4 Una primitiva di f(x) = x è g(x) = quindi = [ = - = Esercizio. Calcolare e confrontare fra di loro gli integrali con n numero naturale. Svolgere prima i casi n=,,, 4 poi il caso generale. Cercare di dedurre che cosa succede quando n tende all infinito. Esempio. Calcolare l integrale. 4,

5 Come nell esempio precedente = [ = = =. Altrimenti basta osservare che la funzione f(x) = x è pari e che l intervallo [-, ] è simmetrico rispetto a, quindi il sottografico in questione è simmetrico rispetto all asse y e pertanto la sua area è doppia di quella precedente. Esercizi. Calcolare i seguenti integrali a) ; b) ; c) ; d). Esercizio. Tracciare il grafico della funzione f(x) = x + nell intervallo [-, ] e calcolare l integrale. Guardiamo alla funzione f(x) = x +: essa è ottenuta dalla funzione x sommando sempre ad ogni valore. Quindi il grafico di x + si ottiene da quello di x traslandolo di parallelamente all asse y nel verso positivo. Quindi dato che il grafico della funzione x nell intervallo [-,] è: Quello di x + nello stesso intervallo risulta:

6 - - - Svolgendo i calcoli come in precedenza si ricava che tale integrale vale 4, esattamente come l area del quadrato di lato due. Come mai? Si suggerisce di provare a confrontare tale grafico con il quadrato ponendo un lato sull asse delle ascisse sovrapposto all intervallo [-,]. Osservazione. In generale il grafico di una funzione f(x) + K con K costante reale si ricava da quello di f(x) traslandolo parallelamente all asse y e precisamente di K nel verso positivo se K > e di K nel verso negativo se K <. Esercizi. Tracciare i grafici delle seguenti funzioni: a) x +; x +; x +; x -; x -; x -; b) x +; x +; x +; x -; x -; x -; c) +; +; - ; -. Esempio. Calcolare l area della regione piana delimitata come in figura dalla parabola y = x e dalla retta y =.

7 ,,8,6,4, Si tratta del sottografico della retta f (x) = nell intervallo - x a cui è stato tolto il sottografico della parabola f (x) = x nello stesso intervallo. Il sottografico della retta è un rettangolo di base ed altezza e quindi ha area. Si noti che allo stesso risultato si arriva calcolando direttamente = =. Poiché una primitiva della funzione f (x) = è g (x) = x, allora = (-) =. Come prima una primitiva di f (x) = x è g (x) =. Quindi = = - =. Pertanto l area cercata è - = - =. Osservazione. Per calcolare la differenza - abbiamo calcolato separatamente i due integrali e poi sottratto; tuttavia si può dimostrare che vale sempre la proprietà: - =. Anzi più in generale vale + =, dove, sono arbitrarie costanti reali. Occorre però rimarcare il fatto che tale proprietà (detta di linearità) vale sotto la condizione che gli estremi di integrazione a e b siano gli stessi per tutti gli integrali e che se tale ipotesi viene a cadere l uguaglianza è generalmente falsa. Nel caso precedente =. Una primitiva di -x è x - e così = ( - ) ( - ) = - = ; lo stesso risultato di prima, ottenuto calcolando -.

8 Osservazione. In generale date due funzioni continue f, f : [a,b] R tali che f (x) f (x) tutto [a,b], allora l area della regione del piano compresa fra i grafici di f e f come in figura su è: - =. Esempio. Calcolare l area della regione compresa fra la bisettrice del primo e terzo quadrante e la parabola y = x nell intervallo x.,,8,6,4,,,4,6,8, È l area della regione il cui bordo è il grafico delle funzioni f (x) = x e f (x) = x nell intervallo x. Quindi è data da, che è uguale a. Una primitiva della funzione x x è x - e quindi = - - ( - ) = - =.

9 Esercizi. Tracciare i grafici delle seguenti funzioni: d) x +; x +; x +; x -; x -; x -; e) x +; x +; x +; x -; x -; x -; f) +; +; - ; -. Esercizi. Calcolare l area delle regioni comprese a) fra la bisettrice del primo e terzo quadrante e la curva y = x nell intervallo x ; b) fra la bisettrice del primo e terzo quadrante e il grafico della curva y = x 4 nell intervallo x ; c) fra la bisettrice del primo e terzo quadrante e il grafico della curva y = x n n nell intervallo x ; d) fra la retta y = e il grafico della curva y = x n n nell intervallo x ; e) fra la parabola y = x e la curva y = x nell intervallo x ; f) fra la parabola y = x e la curva y = x 4 nell intervallo x ; g) fra la parabola y = x e la curva y = x 4 nell intervallo - x ; h) fra la parabola y = x e la curva y = x 4 nell intervallo x ; i) fra la curva y = x e la curva y = x 4 nell intervallo x ; j) fra la curva y = x + e la curva y = x 4 + nell intervallo x ; k) fra la curva y = x e la curva y = x 5 nell intervallo x ; l) fra la curva y = x 4 e la curva y = x 5 nell intervallo x ; m) fra la curva y = x 4 e la curva y = x 5 nell intervallo x ; n) fra la curva y = x 4 + e la curva y = x 5 + nell intervallo x ; o) fra la curva y = x 4 e la curva y = x 6 nell intervallo x ; p) fra la curva y = x 4 e la curva y = x 6 nell intervallo - x. Esercizio. Tracciare il grafico della funzione f(x) definita a tratti nel modo seguente f(x) = e calcolarne l integrale sull intervallo []. Sul primo tratto si tratta della parabola x traslata in alto di, sul secondo tratto della retta per i punti (,4) e (5,). Il grafico risulta allora complessivamente:

10 4, L integrale in questione coincide con il sottografico del grafico precedente e può essere spezzato in due addendi: ciascuno dei quali è l integrale della funzione sull intervallo sul quale la funzione si scrive in modo analiticamente semplice: = + = + Terminare l esercizio calcolando separatamente e per poi sommarli. Osservazione. Nell esercizio precedente abbiamo fatto uso della proprietà, detta di additività dell integrale, che afferma che per ogni numero reale c con a < c < b, allora = + ossia ogni integrale si può spezzare nella somma di integrali suddividendo l intervallo di definizione in sottointervalli. Esercizio. Tracciare i grafici delle funzioni f (x) = f (x) =, x 5 e calcolare l area della regione piana compresa nello stesso intervallo fra i grafici delle due funzioni. Svolgere l esercizio nei dettagli. Ci limitiamo a indicare i grafici:

11 4, Ed a suggerire di calcolare l area calcolando la differenza - separatamente sui tre intervalli [,], [,],[] e di sommarli. Esercizio. Tracciare i grafici delle funzioni f (x) = f (x) = e calcolare l area della regione piana compresa nello stesso intervallo fra i grafici delle due funzioni. Ci limitiamo a riportare solo i grafici: 4,