ESERCITAZIONE 19 : INTEGRALI

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1 ESERCITAZIONE 9 : INTEGRALI tommei@dm.unipi.it web: tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 4 23 Aprile 203

2 Esercizio Calcola i seguenti integrali indefiniti: a) ( e + ) d b) 3 + d c) ( ) 2 d d) f) sin 2 + cos 2 sin 2 t 2 t 4 dt e) d g) d 2 2 d

3 Esercizio - Soluzioni a) ( e + ) d = /2 d 3/4 d + 2 e d + d = 2 3 3/ /4 + 2 e + + c = e + + c 7 b) È possibile spezzare la funzione e scriverla come somma di potenze di : 3 ( + 3 d = + ) d = 5/2 d + /2 d = 2 7 7/2 + 2 /2 + c = c c) Dopo aver sviluppato il quadrato di binomio a numeratore è possibile operare come nel punto precedente: ( ) d = d = d 2 d + d = 2 = 2 + ln + c 2 d) In questo integrale la variabile è t, ma si opera esattamente come nei due punti precedenti: t 2 t 4 dt = t 2 dt t 4 dt = t 2 dt t 4 dt = ( ) t 3 t 3 + c = t + 3 t 3 + c

4 Esercizio - Soluzioni e) 2 d = 2 2 d = 2 arcsin + c 2 f) Ricordando che sin 2 + cos 2 = e che, di conseguenza, sin 2 = cos 2, possiamo riscrivere la funzione integranda: sin 2 + cos 2 sin 2 d = cos 2 d = tan + c g) Per calcolare questo integrale è possibile osservare che il numeratore può essere scritto come il denominatore +, per poi operare come nei punti b), c) e d): d = ( 2 + ) + ( ( 2 ) + d = d = + ) 2 d = + arctan + c +

5 Esercizio 2 Data la funzione f() = trova la primitiva il cui grafico passa per il punto A (, 2). Per cominciare calcoliamo 2 ( d = + 2 ) 3 d = ln 2 + c Imponiamo il passaggio della funzione (o famiglia di funzioni al variare del parametro reale c) per il punto A (, 2) e determiniamo il valore di c: ln 2 + c = c = 2 c = 3 La funzione cercata è allora F () = ln 2 + 3

6 Esercizio 2 Data la funzione f() = trova la primitiva il cui grafico passa per il punto A (, 2). Per cominciare calcoliamo 2 ( d = + 2 ) 3 d = ln 2 + c Imponiamo il passaggio della funzione (o famiglia di funzioni al variare del parametro reale c) per il punto A (, 2) e determiniamo il valore di c: ln 2 + c = c = 2 c = 3 La funzione cercata è allora F () = ln 2 + 3

7 Esercizio 3 Calcola ln 2 d Con il cambio di variabile t = ln si ha dt = d da cui ln 2 d = ( t 2 ) dt = t t3 3 + c = ln ln3 + c 3

8 Esercizio 3 Calcola ln 2 d Con il cambio di variabile t = ln si ha dt = d da cui ln 2 d = ( t 2 ) dt = t t3 3 + c = ln ln3 + c 3

9 Esercizio 4 Calcola i seguenti integrali indefiniti: a) d b) d c) 2 (ln 3 ) d d) e d e) + d

10 Esercizio 5 Calcola i seguenti integrali indefiniti: a) 3 ln d b) cos 2 d c) d) ln 2 d e) ( 2 + ) e d f) arctan d sin(ln ) d

11 Esercizio 5 - Soluzioni a) Conviene scegliere 3 come fattore da integrare e ln come fattore da derivare: 3 ln d = ln 4 d = 4 4 ln 4 3 d = 4 4 ln c b) In questo caso è utile scegliere come fattore da derivare e cos 2 come fattore da integrare: nota che, nell altro caso, l integrale ottenuto sarebbe più complesso di quello di partenza. cos 2 d = sin sin 2 d = 2 sin cos 2 + c c) Stavolta il fattore da integrare è l unità e arctan quello da derivare: arctan d = arctan + 2 d = arctan d = arctan 2 ln( + 2 ) + c

12 Teorema fondamentale del calcolo La prima parte del teorema afferma che se f è una funzione continua nell intervallo chiuso [a, b] e definiamo la funzione integrale allora F () = a f(t) dt [a, b] F () = f() [a, b] ovvero F () è una primitiva di f() (in particolare è la primitiva che vale 0 in = a). Nota che il teorema afferma che [ d ] f(t) dt = f() d a quindi, per la regola di derivazione delle funzioni composte si ha [ ] d g() f(t) dt = d d d [F (g())] = F (g()) g () = f(g()) g () a La seconda parte del teorema afferma che se F () è una qualsiasi primitiva di f(), allora b a f() d = F (b) F (a) ()

13 Esercizio 6 Calcolare i seguenti integrali definiti: e ln d d 0 2 arctan d arcsin + 2 d

14 Esercizio 7 Calcola l area della regione di piano delimitata dall asse delle ascisse, dalle rette = 2, = e dalla curva di equazione y = (3 2) /3. La funzione dell esercizio y = non è definita per = 2/3, ovvero quando si annulla il denominatore della frazione, e nell intervallo [, 2] è positiva, quindi per ottenere l area è sufficiente calcolare il seguente integrale definito: 2 (3 2) /3 d = 2 [(3 2)2/3 ] 2 = 2 (42/3 ) = 2 (24/3 ) = 2 /3 2

15 Esercizio 7 Calcola l area della regione di piano delimitata dall asse delle ascisse, dalle rette = 2, = e dalla curva di equazione y = (3 2) /3. La funzione dell esercizio y = non è definita per = 2/3, ovvero quando si annulla il denominatore della frazione, e nell intervallo [, 2] è positiva, quindi per ottenere l area è sufficiente calcolare il seguente integrale definito: 2 (3 2) /3 d = 2 [(3 2)2/3 ] 2 = 2 (42/3 ) = 2 (24/3 ) = 2 /3 2

16 Esercizio 8 Calcolare l area della regione compresa tra le due parabole di equazioni y 2 = 4, 2 = 4 y.

17 Esercizio 9 Trovare l area della regione di piano limitata dalle due parabole di equazioni: y = , y = 2 + 2

18 Esercizio 0 Trovare l area della regione di piano compresa tra la parabola y 2 = 4, la retta 2 + y 4 = 0 e l asse delle.

19 Esercizio Calcolare i seguenti integrali indefiniti: sin 5 cos d e sin cos d + ( ) d d 5 d sin 2 cos 2 d 2 + a d 2 sin 2 d cos 2 d sin d + ln 3 cos d d ln 2 d tan 4 + d d a 2 + d 2 sin d 2 e d e sin d arctan d cos 2 d