1 + 2 x) x. e x + e x e x e x. lim

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1 Esame per il corso di Matematica per CTF Prof G Gaeta) Febbraio 24 Tempo a disposizione: due ore e mezza; non sono ammessi ausili libri, appunti, etc) I diversi esercizi hanno lo stesso peso in termini di voto finale, pur non essendo della stessa difficoltà Si raccomanda la chiarezza di esposizione ed uno sforzo di scrivere in modo leggibile); compiti in cui non si capisce lo svolgimento verranno valutati come scarsi anche se è stato ottenuto il risultato finale corretto Esercizio Determinare quali delle seguenti funzioni y f) definite per R) sono invertibili: f ) + 5 ; f 2 ) ; f ) + 2 ; f 4 ) ln + 2 ) Esercizio 2 Calcolare + 2 ) Esercizio Calcolare la derivata della funzione y) Esercizio 4 Calcolare il ite e + e e e Esercizio 5 Identificare quali delle seguenti funzioni y f) ammettono asintoti obliqui per + ; ed in uesto caso determinare gli asintoti obliqui stessi f ) ; f 2) ; f ) e sin Esercizio 6 Calcolare l integrale indefinito 2 + /) 2 d Esercizio 7 Calcolare l integrale definito π/2 sin) cos 2 ) d

2 Esercizio 8 Determinare, in forma implicita, la soluzione generale dell equazione differenziale d t) dt t + ) Esercizio 9 Una singola biglietteria automatica risulta guasta nel per cento dei giorni; essa viene riparata a fine giornata e può guastarsi nei giorni successivi in modo indipendente dal tempo trascorso dall ultima riparazione Se in una stazione sono presenti tre biglietterie automatiche, qual è la probabilità nelle ipotesi sopra descritte) che in un dato giorno ve ne sia una funzionante e due guaste? Esercizio Una condizione medica rara, con incidenza p 5 nella popolazione, è identificata da un test che ha un margine di errore pari a e 2 su soggetti che presentano questa condizione nel seguito indicati come malati ), e e 2 su soggetti sani Viene effettuato un test su un campione estratto da tutta la popolazione cioè indipendentemente da fattori che facciano ritenere probabile la condizione medica che viene testata) Nel caso di un soggetto per cui il test risulti positivo, qual è la probabilità che sia effettivamente malato? 2

3 SOLUZIONE Esercizio :: Una funzione y f) è invertibile se si ha una corrispondenza uno a uno tra valori di e valori di y In particolare, se la funzione è continua e definita su tutto R, una condizione necessaria e sufficiente è che la sua derivata non sia mai nulla Per le funzioni proposte abbiamo f ) ; f 2) 2 ; f ) + 2; f 4) Quindi solo la funzione y f ), tra quelle proposte, è invertibile Esercizio 2:: Si tratta di un ite che si riconduce immediatamente al ite notevole che definisce il numero e: passando alla variabile y /2 abbiamo + 2 ) y + y ) 2y e 2 Esercizio :: Riscrivendo come ep[ln)], abbiamo y) e ln ) e ln La derivata dell esponenziale si calcola immediatamente, ed abbiamo y ) + ln ) e ln + ln ) Esercizio 4:: Raccogliendo e sia al denominatore che al numeratore, e usando il fatto che e 2 per, abbiamo e + e e e e + e 2 ) e e 2 ) + e 2 e 2 Esercizio 5:: Perché la funzione y f) abbia un asintoto obliquo per + ) la funzione y F ) : f)/ deve ammettere un ite finito per + ) E subito evidente che F ), F 2 ), F ) ; quindi sicuramente la funzione f 2 che del resto va a zero per + ) non ammette un asintoto obliquo, mentre f ed f lo ammettono Per determinare gli asintoti obliqui, ricordiamo ora che se f) ammette la retta y k + b come asintoto obliquo, le costanti k e b sono determinate da k f) ; b [f) k]

4 Abbiamo già visto che in ambedue i casi k Per f abbiamo [ ] 2 + b ; l asintoto obliquo è quindi y) + 2 Per f abbiamo invece [ e sin b ] e sin 2 2 ; anche in questo caso l asintoto obliquo è y) + 2 Esercizio 6:: Sviluppando il quadrato e ricordando che l integrale di una somma è la somma degli integrali), abbiamo I 2 + /) 2 d 4 d + 2/ d + 2 5/ d / + 8/ 4 + C Esercizio 7:: Passiamo alla variabile y cos), e quindi dy sin)d; quindi per abbiamo y, e per π/2 abbiamo y Allora I π/2 sin) cos 2 ) d y 2 dy y 2 dy [ y ] Esercizio 8:: Si tratta di un equazione separabile, che possiamo riscrivere nella forma + t) d dt ; t 4

5 avremo quindi, integrando ambo i membri, + t) d dt ; t ) ) + d t dt ; d + d t dt + dt ; ln + ln t + t + C La soluzione va lasciata in forma implicita; possiamo scriverla in modo leggermente più compatto come ln t + t C Esercizio 9:: La probabilità di guasto di una macchina, è p, quindi la probabilità che la macchina funzioni correttamente è q p 9 L evento in cui una macchina è funzionante e due guaste si può realizzare in tre modi distinti identificati ad esempio da quale tra le tre macchine è funzionante) Ognuna di queste situazioni si presenta con probabilità P p 2 q ) 2 9) 9, quindi la probabilità totale è P P 27 Esercizio :: Indichiamo con S ed M lo stato reale del soggetto sano o malato), e con + o il risultato del test Il risultato positivo del test può essere dovuto ad un soggetto sano in cui il test da il risultato errato, o ad un soggetto malato in cui il test da il risultato corretto: P +) P S) P + S) + P M) P + M) Qui, come segue dal testo del problema, P S) q p, P M) p, e le probabilità condizionate per il risultato del test sono P + S) e 2, P + M) e Quindi risulta P +) p) e 2 + p e ) 5 ) ) 989 Per calcolare la probabilità condizionata inversa PM +) e PS +) dobbiamo usare la formula di Bayes: PS +) Quindi in particolare PM +) P + S) P S) P +) P + M) P M) P +), PM +) 2 ) P + M) P M) P +)