ESERCITAZIONE 23 : PREPARAZIONE AL COMPITINO

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1 ESERCITAZIONE 23 : PREPARAZIONE AL COMPITINO tommei@dm.unipi.it web: tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio Maggio 2013

2 Esercizio 1 Disegna la regione di piano limitata dall asse delle ascisse e dalle curve y = x e y = x 2. Calcolane poi l area.

3 Esercizio 1 - Soluzione Indicando con A tr l area del triangolo di vertici (2, 0), (4, 0) e (4, 2) si ha 4 A = x dx Atr = 0 [ 2 3 ] 4 x 3 2 = = 10 3

4 Esercizio 2 Calcola il seguente integrale definito 3 ( x 3 e3 x2 + x 3) dx 2

5 Esercizio 2 - Soluzione 3 ( ) x 2 3 e3 x x + x dx = 2 3 e3 x 2 3 dx + x 3 dx = 2 3 [ ] x2 e3 x 4 3 = + = e ( ) e = 2 2 = 1 18 (e27 e 12 )

6 Esercizio 3 Calcola la derivata della funzione f(x) = ln(3 e x + e x + 2) e determina eventuali punti di massimo o minimo della funzione.

7 Esercizio 3 - Soluzione La f(x) è una funzione composta e la sua derivata si ottiene applicando la formula per la derivazione di una funzione composta: Df(x) = 1 3 e x + e x + 2 D(3 ex + e x ) = 3 e x e x 2 e x + e x Per determinare eventuali punti di massimo o minimo della funzione dobbiamo trovare le soluzioni dell equazione Df(x) = 0, ovvero 3 e x e x = 0 ln(3 e x ) = ln(e x ) ln 3 + ln e x = ln(e x ) 2 x = ln 3 x = ln 3 Studiando il segno della derivata di f(x) si vede che il punto trovato è un minimo relativo. 2

8 Esercizio 4 Ricordi tutte le cifre del PIN del tuo bancomat tranne l ultima. Decidi di provare lo stesso scegliendo a caso l ultima cifra, disponi di un massimo di 3 tentativi. Quanti tentativi farai in media?

9 Esercizio 4 - Soluzione Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di tentativi; tale variabile aleatoria può assumere i valori 1, 2 e 3. Avremo X = 1 quando indovineremo la cifra al primo tentativo, X = 2 quando sbaglieremo il primo tentativo ed indovineremo al secondo, mentre X = 3 lo otterremo quando indovineremo al terzo tentativo oppure sbaglieremo tutti e tre i tentativi. Quindi si ha P (X = 1) = 1 10 P (X = 2) = = 1 10 quindi il valor medio è P (X = 3) = = 8 10 E(X) = = 27 10

10 Esercizio 5 Sia X una variabile aleatoria continua con legge esponenziale di parametro a > 0. Indichiamo con V (X) la varianza di X e con E(X) il valor medio di X. Può accadere che V (X) > E(X)?

11 Esercizio 5 - Soluzione Si ha E(X) = 1/a e V (X) = 1/a 2, quindi V (X) > E(X) 1 a 2 > 1 a 1 a a 2 > 0 0 < a < 1

12 Esercizio 6 Ai fini di evitare la trasmissione dell epatite virale nelle trasfusioni di sangue, viene controllato il livello ematico di SGPT (transaminasi glutammico piruvica serica) dei donatori. È noto che la variabile X = log 10 SGPT è distribuita secondo una gaussiana. Vieni a sapere che il 95% della popolazione sana ha valori di X minori o uguali a 1.448, mentre solo il 2% della popolazione sana ha valori di X al di sotto di Calcola il valor medio di X e la deviazione standard. A quali valori effettivi di SGPT corrispondono?

13 Esercizio 6 Utilizzando la tabella della funzione di ripartizione della gaussiana standard si trova che P (X 1.65) = 95% e che P (X 2.06) = 2%, quindi µ = 1.65 σ µ = 2.06 σ Abbiamo un sistema di due equazioni nelle due incognite valor medio e deviazione standard che ha come soluzione µ 1.25 σ = log 10 SGPT SGPT = = log 10 SGPT SGPT =

14 Esercizio 7 Fai parte di una spedizione scientifica in Nepal che ha per scopo l avvistamento dello Yeti. Dai dati in tuo possesso sugli avvistamenti precedenti, decidi che il tempo di avvistamento T (misurato in anni) è una variabile aleatoria che ha una funzione di densità di probabilità così definita { f(t) = 0 per t < 0 f(t) = c/(1 + t 2 ) per t 0 dove c è una costante opportuna da determinare. a) Determina la costante c in modo che f(t) sia effettivamente una funzione di densità di probabilità. b) Determina la funzione di ripartizione di T e calcola la probabilità che tu debba aspettare almeno 2 anni per avvistare lo Yeti. c) Determina la mediana e il valore atteso per l avvistamento.

15 Esercizio 7 - Soluzione a) Affinché f(t) sia effettivamente una funzione di densità di probabilità deve essere f(t) 0 per ogni t reale ed inoltre + f(t) dt = 1 Sviluppando la precedente uguaglianza si ha + f(t) dt = c 1 + t 2 dt = 1 c [arctan t] + 0 = 1 c π 2 = 1 c = 2 π b) La funzione di ripartizione F (t) è data da { 0 per t < 0 F (t) = (2/π) arctan t per t 0 La probabilità che tu debba aspettare almeno 2 anni per avvistare lo Yeti è P (X 2) = 1 P (X < 2) = 1 F (2) = 1 2 π arctan 2

16 Esercizio 7 - Soluzione c) La mediana m soddisfa la condizione F (m) = 1/2 da cui Il valore atteso è dato da 2 π arctan m = 1 2 arctan m = π 4 m = 1 + E(X) = t f(t) dt = 1 + π 0 1 π [ln(1 + t2 )] + 0 = + 2 t 1 + t 2 =