MATEMATICA CORSO A IV APPELLO PROVA SCRITTA DEL 18/01/2012 SCIENZE BIOLOGICHE

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1 MATEMATICA CORSO A IV APPELLO PROVA SCRITTA DEL 18/01/2012 SCIENZE BIOLOGICHE 1-(Vale 4 punti) Per procedere all acquisto on line di un biglietto aereo è necessaria una password composta da 4 simboli che possono essere cifre (da 1 a 9, lo 0 è escluso) o lettere (di un alfabeto di 21 lettere). a) Qual è la probabilità che tutti i simboli di un codice preso a caso siano lettere? E che tutti i simboli siano cifre? b) Qual è la probabilità che un codice preso a caso contenga esattamente due cifre e due lettere?

2 2- (Vale 4 punti) A partire dalla funzione f(x) = 3 x 2 trova quali traslazioni verso destra o verso sinistra, verso l alto o verso il basso si devono applicare al suo grafico per ottenere il grafico della funzione g(x) = 3 x 2-24 x + 11 Determina inoltre l insieme immagine di g(x). Per quali valori di x si ha g(x) 11? La funzione g(x) è una funzione quadratica (così come f(x)) ed il suo grafico è una parabola con vertice nel punto V (4, -37) Le due funzioni hanno lo stesso coefficiente del termine quadratico, quindi per trasformare l una nell altra è sufficiente vedere come si deve traslare un vertice per portarlo nell altro. La parabola grafico di f(x) ha vertice nell origine quindi per portarlo nel vertice V è sufficiente traslare di 4 unità verso destra e 37 unità verso il basso. L insieme immagine di g(x) è [-37, + ). Si ha g(x) 11 se e solo se 3 x 2-24 x e quindi se e solo se 3 x 2-24 x 0 che equivale a 3x(x-8) 0 dunque per x 0 oppure x 8 3-(Vale 4 punti) I voti del corso di matematica (espressi in trentesimi) sono distribuiti secondo una gaussiana di media 25 e deviazione 2. a) determinare il voto minimo del miglior 25% degli studenti b) scegliendo a caso uno studente del corso calcola la probabilità che il suo voto medio sia compreso tra 22 e 24. a) Indicando con X la variabile aleatoria voto, si tratta di determinare il voto k tale che P(X k)=0,25. Standardizzando si ha P((X-25)/2 (k-25)/2), ora la variabile aleatoria Y=(X-25)/2 è gaussiana standard, per cui dalle tavole della gaussiana standard si ottiene che la coda di destra della distribuzione corrispondente a 0.25 si ha per il valore soglia 0.68, per cui si pone (k-25)/2=0.68, da cui si ottiene k= b) è richiesto il calcolo di P(22 X 24)=P( -1.5 (X-25)/2-0.5) = Φ(1.5) - Φ(0.5)= =0.2417

3 4- (Vale 8 punti) Il colore del manto di una specie di bufali africani è determinata geneticamente da un gene con due possibili alleli: l allele N dominante del manto nero, e l allele m recessivo del manto marrone. La popolazione che stai studiando soddisfa le ipotesi della legge di Hardy-Weinberg, e sai che il 36% dei bufali ha manto marrone. a) Calcola le frequenze alleliche, le probabilità di tutti i genotipi e di tutti i fenotipi. b) Qual è la probabilità che un bufalo preso a caso nella popolazione abbia il manto marrone sapendo che il padre ha il manto marrone e la madre nero? c) Qual è la probabilità che un bufalo preso a caso nella popolazione abbia il manto nero sapendo che suo figlio ha il manto marrone? d) Qual è la probabilità che un bufalo preso a caso nella popolazione abbia il manto nero sapendo che entrambi i genitori hanno il manto nero? Indichiamo con p la frequenza dell alele dominante e con q la frequenza dell allele recessivo, naturalmente si ha p+q=1

4 5- (Vale 8 punti) ) Sia f(x)= (3lnx + 1)/(lnx + 4) Determina: a) insieme di definizione b) segno di f(x) c) limiti ai bordi dell insieme di definizione d) monotonia della funzione e) immagine Disegna infine il grafico di f(x) a) Deve essere x>0 affinchè sia definito lnx, inoltre si deve avere lnx+4 0, da cui x e -4 ; b) il numeratore è positivo se 3lnx+1 0 e quindi per x e -1/3, il denominatore è positivo per x e -4, dunque numeratore e denominatore hanno segno concorde ( e questo corrisponde a f(x) 0) quando 0<x<e -4 x e -1/3 ; c) per x che tende a +, f(x) si comporta approssimativamente come 3lnx/lnx per cui il limite è 3, si ha quindi un asintoto orizzontale; per x che tende a 0 + analogamente si ottiene limite uguale a 3; mentre il limite sinistro ed il limite destro per x= e -4, sono rispettivamente + e - ; d) la derivata è f (x)=(3/x(lnx+4) 1/x(3lnx+1))/(lnx+4) 2 = 11/x/(lnx+4) 2 0 per ogni x del dominio, dunque la funzione è a tratti crescente; e) Immagine R/{3}

5 6-(Vale 6 punti) - Assegnata la funzione f(x)=c(4 - x) per 0 x 4, dove c R, f(x)=0 altrove a) determina c in modo tale che f(x) possa essere considerata una funzione di densità di probabilità b) determina la funzione di ripartizione F(x) c) calcola la P(-1 X 2), dove X è una variabile aleatoria che ha f(x) come funzione di densità di probabilità a) Si deve avere c 0 4 (4-x)dx=1, da cui c=1/8; b) F(X)=0 per x<0, F(x)=1/8(4x-x 2 /2) per 0 x 4, infine F(x)=1 per x>4; c) Ricordando che P(-1 X 2)= F(2)-F(-1)= 6/8 0 =3/4