MATEMATICA E STATISTICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI ESERCITAZIONE

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1 MATEMATICA E STATISTICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI ESERCITAZIONE ES1-Se la probabilità di colpire un bersaglio è 1/5 e rimane tale ad ogni tentativo, calcola la probabilità che, sparando 10 colpi, il bersaglio sia colpito almeno 2 volte. Calcola, inoltre, il numero medio di bersagli colpiti e la varianza. SOLUZIONE: indichiamo con X la variabile aleatoria numero dei bersagli colpiti, si ha P(X 2)= 1 P(X=0) P(X=1)= 1-(4/5) 10 10(1/5)(4/5) 9 Inoltre sappiamo che E(X)=10(1/5)= 2 e che Var(X)=10(1/5)(4/5)=8/5 ES2-Tizio e Caio lanciano tre dadi equilibrati, stabilendo che se i tre dadi mostrano tutti lo stesso punteggio Tizio riceve da Caio 10, se solo due dadi mostrano lo stesso punteggio Tizio riceve da Caio 2, in tutti gli altri casi Caio riceve da Tizio 2. Calcolare la vincita media di Tizio. SOLUZIONE: La v.a. X vincita di Tizio ha la seguente legge: vale 10 con probabilità 1/36, 2 con probabilità 15/36 ed infine 2 con probabilità 20/36, dunque E(X)= 10/36 +30/36 40/36 = 0, vale a dire che il gioco è equo, Tizio, in media, riporta, come Caio, guadagno nullo dal gioco. ES3-In una serie di 100 prove una variabile aleatoria X con distribuzione binomiale ha varianza Var(X) = 25. Quanto vale il suo valor medio E(X)? SOLUZIONE: Sappiamo che Var(x)=100p(1-p)=25 da cui p(1-p)=1/4 e dunque p=1/2, per cui E(X)=100(1/2)=50 ES4-Si lancia un dado 4 volte. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero delle volte in cui esce 1. (a) Scrivere la sua densità di probabilità. (b) Quanto vale il valor medio della variabile aleatoria X 2? SOLUZIONE: X può assumere i valori 1,2,3,4 e si ha P(X=1)= 4(1/6)(5/6) 3, P(X=2)= 6(1/6) 2 (4/6) 2, P(X=3)=4(1/6) 3 (5/6), P(X=4)=(1/6) 4, dunque si ha una binomiale di parametri n=4 e p=1/6, dalla relazione Var(X)= E(X 2 )-(E(X)) 2, si ottiene E(X 2 )=Var(X) + (E(X)) 2 = 4(1/6)(5/6) + (4(1/6)) 2 = 1 ES5-Un urna contiene 10 palline, alcune Rosse e le altre Blu. Vengono effettuate una serie di estrazioni con rimessa. Si consideri la variabile aleatoria discreta X, numero di volte in cui si ottiene Blu. Sapendo che il valor medio di X è 3 e la sua varianza è 6/5, quante sono le palline Rosse? Quante estrazioni sono state effettuate?

2 SOLUZIONE: Indichiamo con x il numero di palline Blu, le Rosse sono ovviamente 10-x; poiché si estrae con rimessa, la distribuzione è binomiale di parametri incogniti n (numero delle estrazioni effettuate) e p=x/10 (probabilità di estrarre Blu); sappiamo che E(X)=n(x/10)=3, da cui otteniamo che nx=30, ed inoltre che Var(X)=n(x/10)(10-x)/10=6/5, quindi 30/10((10-x)/10)=6/5, da cui x=6 e dunque n=5. ES6-Una dattilografa fa in media 2 errori per pagina, qual è la probabilità che faccia più di 4 errori in una pagina? SOLUZIONE: Possiamo pensare ad una distribuzione di Poisson (molte battiture e bassa probabilità di errore per ogni battitura ) di parametro a=2; è richiesta P(X>4)= 1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= 1-e -2-2e -2-2e -2 -(4/3)e -2 -(2/3)e -2 = 1-7e ES7-Trovare la probabilità che fra 200 pezzi testati, più di tre siano difettosi sapendo che il valor medio di pezzi difettosi è 1/100 SOLUZIONE: Ancora Poisson di parametro 200/100 =2, dunque P(X>3)= 1-e -2-2e -2-2e -2 -(4/3)e -2 = 1-(19/3)e ES8-Il numero di eventi che si verificano in un certo esperimento viene descritto da una legge di Poisson. La probabilità che non si verifichi alcun evento è 0.2. Qual è la probabilità che se ne verifichino almeno 2? SOLUZIONE: Si ha P(X=0)= e -a =0.2, da cui a=ln5; la probabilità richiesta è P(X 2)= 1-P(X=0)-P(X=1)= (ln5)(0.2) ES9-La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X è data da 0 per x 0 F(x)= x 3 per 0<x<1 1 per x 1 a) Determinare la corrispondente funzione di densità b) Calcolare P(-1 X 1/2) SOLUZIONE: a) Si ha F (x)= f(x), dunque la funzione di densità f(x)=3x 2 per 0<x<1, f(x)=0 per ogni x (0, 1); b)si ha P(-1 X 1/2)= F(1/2) F(-1) = 1/8 0 =1/8 ES10-La distribuzione di un certo tipo di batteri in un ml di acqua tende alla distribuzione gaussiana N(100,64). Qual è la probabilità che vi siano più di 90 batteri di quel tipo in un ml di acqua? SOLUZIONE:E richiesta P(X>90), per calcolare questa probabilità standardizziamo ed utilizziamo le tavole della normale standard, si ha P(X>90)=P((X-100)/8> (90-100)/8) =P(Y> -1.25), dove con Y abbiamo indicato la v.a. N(0,1), dalle tavole si ha P(Y>-1.25)=Φ(1.25)=0.8944, dunque la probabilità richiesta è leggermente superiore a 89%.

3 ES11-Il peso alla nascita in una data popolazione animale è una variabile aleatoria X distribuita secondo una gaussiana di media 0,824 grammi e deviazione standard 0,042 g. a) Determinare la probabilità P(0,784 X 0,934) b) Determinare k tale che P( X-0,824 k)=0,95 SOLUZIONE: a) P(0,784 X 0,934)= P((0,784-0,824)/0,042 (X- 0,824)/0,042 (0,934-0,824)/0,042)= P(-0,95 Y 2,62), dove Y è N(0,1) e si è arrotondato il calcolo alla seconda cifra decimale, dalle tavole della normale standard si ottiene P(-0,95 Y 2,62) =Φ(2,62) + Φ(0,95) 1 =0,8245; b) P( X-0,824 k)=p(-k X-0,824 k)=0,95 per standardizzare basta dividere per la deviazione standard e si ottiene P(-k/0,042 Y k/0,042)=0,95 dove Y è N(0,1), dalle tavole della normale standard, otteniamo la relazione k/0,042=1,96 (infatti P(-1.96 Y 1,96)=0,95), e dunque k=0,08232 ES12-Sia X una v.a. gaussiana di media 2 e deviazione standard 3, calcolare a) P(-1.5 X 4.2) b) Determinare k tale che P(X k)=0.90 SOLUZIONE: a) P(-1.5 X 4.2)=P((-1.5-2)/3 (X-2)/3 (4.2-2)/3)= P(-1.17 Y 0.73) = =0.6463; b) P(X k)=p((x-2)/3 (k-2)/3)=0.90, dunque (k-2)/3= 1.29, da cui k= 1.87 ES13-Assegnata la funzione f(x)=c/x 2 per 1 x 3, f(x)=0 altrimenti a) determinare il valore da attribuire alla costante c affinchè f(x) possa rappresentare una funzione di densità di probabilità b) Sia X una v.a. che ha f(x) come funzione di densità di probabilità determinare media e mediana della distribuzione SOLUZIONE:Si deve avere c 13 (1/x 2 )dx =1, poiché 13 (1/x 2 )dx =2/3, dunque c=3/2; b) E(X)=3/2 13 (1/x 2 )xdx =3/2(log3-log1)=3/2log3; per determinare la mediana m si deve avere 3/2 1m (1/x 2 )dx =1/2, vale a dire 1 m (1/x 2 )dx =1-1/m=1/3, da cui 2/3=1/m e quindi m=3/2 ES14-Supponiamo che il tempo di vita di un organismo sia distribuito secondo una legge esponenziale con parametro a = (1/200) anni. Determina la probabilità che l organismo viva per più di 50 anni. SOLUZIONE: P(X>50) = 50 + (1/200)e -(1/200)x dx = e -(1/200)50 =e -1/4

4 ES15-Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(t) così definita: e 2t per t 0 f(t) = 1 per 0 < t 1/2 0 per t > 1/2 a) Determina la funzione di ripartizione b) Calcola P(-1 X 1/4) c) Calcola E(X) SOLUZIONE: a) la funzione di ripartizione F(x)= P(X x) = - t f(t)dt E quindi si ha e 2x /2 per x 0 F(x)= x+1/2 per 0 < x 1/2 1 per x>1/2 b) P(-1 X 1/4)= -1 0 e 2t dt + 0 1/4 1dt = F(1/4)-F(-1)= 3/4- e -2 /2; c)e(x)= - 0 te 2t dt + 0 1/2 t dt = -1/4 + 1/8 = 1/8 ES16-In un esperimento ciascun topo, di un campione casuale di 25 unità, deve essere iniettato con un farmaco ad un livello di dose di mg per grammo di peso corporeo. Per questo ceppo di topi è noto che il peso è approssimativamente distribuito secondo una legge normale di media 19 g e deviazione standard 4g. a)se il ricercatore possiede un totale di 2 mg di farmaco, qual è la probabilità che questo non sia sufficiente per trattare tutti i topi? b) Quanto farmaco dovrebbe possedere il ricercatore al fine di correre un rischio dell 1% di non trattare tutti gli animali? SOLUZIONE: a) Indichiamo con X i il peso dell i-sima cavia, è richiesta la probabilità P((X X 25 )0.004> 2)= P(X X 25 > 500)= P( Y> (500-(19)(25))/20)=P(Y> 1.25) = 1-Φ(1.25)= = , dove Y indica la variabile gaussiana standard; b)p((x X 25 )0.004> n)= 0.01=P(X X 25 > 250n)= =P(Y>(250n-19(25))/20))=0.01, si deve avere, quindi, (250n-475)/20 = 2.33 (infatti si ha Φ(2.33)=0.99) da cui n= mg ES17-Un commerciante sa che il numero di articoli di una certa marca che può vendere in un giorno è una variabile aleatoria di Poisson di parametro a=5 a) Calcola la probabilità che in un anno (365 giorni) venda più di 1740 articoli b) Quanti articoli di quella marca dovrebbe immagazzinare per essere sicuro al 95% che gli basteranno per tutto l' anno? SOLUZIONE:Per prima cosa notiamo che V (x) = E(x) = 5: Indicando con X i la variabile aleatoria che descrive il numero di articoli venduti l' i-

5 simo giorno dell'anno, calcoliamo la probabilità P(X X 365 > 1740). Standardizzando e utilizzando il Teorema del Limite Centrale si approssima la distribuzione con una gaussianastandard N(0; 1); otteniamo dove con Φ si è indicata la funzione di ripartizione di N(0; 1), quindi è molto alta la probabilità che le richieste superino 1740; b) Seguendo il procedimento del punto a) abbiamo che P(X X 365 n) = 0.95 essendo il valore k corrispondente a Φ(k) = 0.95; possiamo dire che ossia n 1896: