Statistica Corso di laurea in Biotecnologie I esonero - 19 aprile 2010

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1 Statistica Corso di laurea in Biotecnologie I esonero - 9 aprile 00 Esercizio Determinare, a P X ; b PX < /; c il terzo quartile della distribuzione, nei casi ix N, ; iix variabile aleatoria continua con densità fx = x per x, Esercizio Si estrae a caso un dado da una scatola che ne contiene due: il primo con tre facce recanti il numero e tre facce recanti il numero ; l altro con due facce recanti il numero e quattro facce recanti il numero Si lancia due volte il dado estratto sempre lo stesso a Qual è la probabilità che esca due volte il numero? b Quale la probabilità che escano i numeri e in qualsiasi ordine? E i numeri e in qualsiasi ordine? c Detta X la variabile aleatoria somma dei due numeri usciti calcolare la distribuzione e la media di X Esercizio Si consideri la seguente distribuzione di frequenze relative alle frequenze dei livelli di colesterolo nel sangue di 50 pazienti X Frequenze 70 < X < X < X < X 0 8 Tot 50 Riferendosi alla tabella in questione: a determinare le frequenze percentuali e costruire il relativo istogramma; b determinare la percentuale di pazienti per i quali 95 < X 05; c calcolare media, varianza e scarto quadratico medio della distribuzione; d calcolare la mediana della distribuzione Esercizio Con riferimento a due fenomeni X e Y sono state annotate le seguenti osservazioni: X 0 Y a trovare la retta di regressione di Y su X; b trovare la retta di regressione di X su Y ; c disegnare lo scatter plot dei dati e le rette trovate; d stimare il valore di Y quando X vale 6 nei due casi

2 Soluzioni S Supponiamo dapprima X N, Indicando con X una gaussiana standard, si ha: a P X = PX + PX = P X + P X = PX 5 + PX 05 = Φ05 + Φ5 = b PX < 05 = P X < 05 = Φ075 c Dobbiamo trovare x tale che PX x = 075 Si ha PX x = P X x = 075 Dalle tabelle si evince che x = 067 Pertanto x = = Supponiamo ora X con densità fx = x per x, a Da f si capisce che X prende valori in -, pertanto b PX < / = P X = 0 / x dx = x / = 9 8 c Dobbiamo trovare q tale che PX q = 075 Si ha PX x = q Risolvendo q + = 075 si ha q = 05, q = 079 x dx = x q = q + = 075 S Rappresentiamo la situazione con un diagramma ad albero / / D D /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Indichiamo con A l evento esce due volte il numero Guardando l albero si ha subito: PA = 6 6 = 9 7 = 8 b Osserviamo che è impossibile che escano ed! Non ci sono dadi che hanno entrambi i numeri Quindi la probabilità che escano e è nulla Chiamiamo invece B l evento escono e Guardando l albero si ha subito: PB = = 6 7 = 9 i

3 c Sempre guardando l albero si ha PX = = PA = 9 7 PX = = = 8 7 PX = = = 7 PX = 5 = PB = 6 7 PX = 6 = 6 6 = 6 7 Riportando in una tabella X 5 6 prob 9/7 8/7 /7 6/7 6/7 Pertanto E[X] = 7 [ ] = 00 7 = 5 6 S Completiamo la tabella con le frequenze richieste X Frequenze Freq rel % 70 < X 90 % 90 < X % 00 < X 0 0 0% 0 < X 0 8 6% Tot 50 00% a Ricordando che l area di ogni rettangolo deve dare le frequenze percentuali, si ottiene l istogramma seguente: b Si tratta di calcolare l area dell istogramma ombreggiata compresa tra X = 95 e X = 05 Ovvero [5 + 5 ]% = 0% c Calcoliamo la media di X: X = 50 [ ] = 99 Ricordiamo che s X = X X, pertanto occorre calcolare X Si ha X = 50 [ ] = 995, pertanto s X = = 76, s X = 88 = d ii

4 q La mediana, o secondo quartile, q lascia a sinistra un area quella ombreggiata pari al 50% Si ha che q = 00 + x ed x è tale che: x = 6, ovvero x = 5, quindi q = 05 S Riempiendo la tabella si ottiene X Y XY X Y da cui X = = Y = + 0 = XY = = 9 X = = Y = = Pertanto, s XY = XY XY = 9 = 7 s X = X X = = 5 s Y = Y Y = = a La retta di regressione di Y su X è r : Y = âx + ˆb, dove â = s XY s X = 7/ 5/ = 7 5 e ˆb = Y âx = 7 5 = 0, quindi la retta richiesta è r : Y = 7 5 X + 0 b La retta di regressione di X su Y è s : Y = ĉx + ˆd, dove ĉ = s XY s Y = 7/ / = e ˆd = X ĉy = = 5, quindi la retta richiesta è s : X = Y + 5 iii

5 c Entrambe le rette di regressione passano per il punto di coordinate X, Y =, / r passa poi per 0,/0 mentre s passa per 0,5/ s r d Il valore stimato, per r quando X = 6 è Y = = 6 0 = 6 Il valore stimato, per s quando X = 6 è soluzione di 6 = Y + 5, ovvero Y = = 65 I valori sono molto vicini così come le due rette Il che prova che il coefficiente di correlazione lineare sia buono iv