Lezione 7 Corso di Statistica. Domenico Cucina

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1 Lezione 7 Corso di Statistica Domenico Cucina Università Roma Tre D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 1 / 12

2 obiettivi della lezione comprendere la retta di regressione e le sue proprietà D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 2 / 12

3 contenuti della lezione 1

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5 y distribuzioni bivariate quantitative consideriamo la distribuzione unitaria bivariata di due variabili quantitative unità 1... i... n X x 1... x i... x n Y y 1... y i... y n la rappresentazione grafica tipica di questa distribuzione è il diagramma a dispersione x D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 5 / 12

6 supponiamo di tracciare una retta residui dalla retta y = a + bx sul piano cartesiano ad ogni punto (x i, y i ) del diagramma a dispersione possiamo associare il punto (x i, ŷ i ) che si ottiene proiettando (x i, y i ) sulla retta y = a + bx il punto (x i, ŷ i ) ha la stessa ascissa del punto (x i, y i ), ma una diversa ordinata ŷ i = a + bx i si chiama residuo e i del punto (x i, y i ) dalla retta y = a + bx la differenza e i = y i ŷ i tale residuo è positivo se (x i, y i ) si trova sopra la retta (viceversa il residuo è negativo); il residuo è pari a zero solo quando (x i, y i ) giace sulla retta D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 6 / 12

7 residui dalla retta y (x i, y^i) ε i =y i y^i (x i, y i ) D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 7 / 12 x

8 sia (x i, y i ), i = 1... n una distribuzione unitaria doppia sia y = a + bx l equazione di una retta che attraversa la nuvola dei punti sia e i = y i a bx i il residuo dalla retta (e i = 0 se il punto giace sulla retta) misuriamo con D(a, b) = ei 2 = (y i a bx i ) 2 la dispersione (o la devianza) dei punti intorno alla retta la dispersione intorno alla retta varia al variare dei coefficienti a e b desideriamo trovare quei coefficienti â e ˆb che rendono minima tale dispersione D(â, ˆb) D(a, b) la retta y = â + ˆbx si chiama retta dei minimi quadrati o retta di regressione D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 8 / 12

9 minimi quadrati per trovare il punto (â, ˆb) che rende minima la devianza D(a, b) dobbiamo risolvere il sistema { ad(a, b) = 0 b D(a, b) = 0 dalla prima equazione si ottiene a (y i a bx i ) 2 = 2 (y i a bx i ) = 0 a = ȳ b x D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 9 / 12

10 minimi quadrati dalla seconda equazione si ottiene (y i a bx i ) 2 = 2 b x i y i a x i (y i a bx i ) = 0 x i b sostituendo il valore a = ȳ b x x i y i ȳ x i + b x x i b x i y i nȳ x + nb x 2 b b ( x 2 i n x 2 ) = x 2 i = 0 x 2 i = 0 x i y i n xȳ x 2 i = 0 da cui si ottengono i valori â e ˆb D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 10 / 12

11 : proprietà la retta che minimizza la somma dei residui al quadrato ha coefficienti minimizza la devianza passa per il baricentro ( x, ȳ) â =ȳ ˆb x ˆb = s xy s 2 x la somma dei residui dalla retta è nulla e i = (y i â ˆbx i ) =nȳ nȳ + nˆb x nˆb x = 0 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 11 / 12

12 parole chiave residuo baricentro della nuvola dei punti devianza retta di regressione minimi quadrati D. Cucina 12 / 12