Lezione 6 Corso di Statistica. Domenico Cucina

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1 Lezione 6 Corso di Statistica Domenico Cucina Università Roma Tre D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 1 / 17

2 obiettivi della lezione familiarizzare con le ditribuzioni bivariate delle variabili quantitative e le loro rappresentazioni grafiche comprendere i concetti di covarianza e correlazione D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 2 / 17

3 contenuti della lezione 1 la covarianza 2 la correlazione

4 la covarianza 1 la covarianza 2 la correlazione D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 4 / 17

5 la covarianza distribuzioni bivariate quantitative consideriamo la distribuzione unitaria bivariata di due variabili quantitative unità 1... i... n X x 1... x i... x n Y y 1... y i... y n la natura numerica delle modalità ci consente di rappresentare graficamente il profilo di ogni unità come un punto nel piano cartesiano collocando le modalità della variabile X sull asse delle ascisse e le modalità della variabile Y sull asse delle ordinate la rappresentazione grafica che ne segue è nota come diagramma a dispersione D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 5 / 17

6 y la covarianza diagramma a dispersione x nel diagramma a dispersione ogni unità rilevata è rappresentata da un punto con coordinate date dal profilo riga dell unità questo tipo di diagrammi è utile per osservare eventuali relazioni di dipendenza tra le due variabili nel grafico qua sopra, ad esempio, è evidente una dipendenza lineare positiva tra le due variabili (la crescita della ascisse è acompagnata dalla crescita delle ordinate) D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 6 / 17

7 la covarianza la covarianza esiste un indice utile per la misura della dipendenza lineare tra due variabili quantitative: si tratta della covarianza per definirlo occorre clacolare le medie e le varianze delle due variabili in esame medie: x = 1 n n x i ȳ = 1 n n y i varianze: sx 2 = 1 n n 1 (x i x) 2 sy 2 = 1 n n 1 (y i ȳ) 2 la covarianza tra X e Y è data da s xy = 1 n 1 n (x i x)(y i ȳ) assume un valore positivo in caso di dipendenza positiva tra le de variabili e segno negativo altrimenti D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 7 / 17

8 la covarianza covarianza: esempi s xy =0 s xy =0 y y x x D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 8 / 17

9 y y la covarianza y y covarianza: esempi s xy=0.5 s xy= x x s xy= 0.5 s xy= x x D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 9 / 17

10 la covarianza covarianza: formula alternativa si osservi che 1 n x i y i 1 n xy i 1 n x i ȳ + 1 n xȳ = n n n n = 1 n x i y i xȳ ȳ x + xȳ = 1 n x i y i xȳ n n quindi (formula alternativa della covarianza): s xy = n ( 1 n 1 n ) n x i y i xȳ questa formula rende più agevole il calcolo della covarianza tramite calcolatrice tascabile D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 10 / 17

11 la correlazione 1 la covarianza 2 la correlazione D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 11 / 17

12 la correlazione correlazione la covarianza è limitata dal prodotto delle deviazioni standard s x s y s xy s x s y se s xy = s x s y allora i punti sono allineati su una retta con pendenza positiva se s xy = s x s y allora i punti sono allineati su una retta con pendenza negativa standardizzando la covarianza si ottiene il coefficiente di correlazione che varia tra -1 e 1 si ha anche r = 1 n 1 r xy = s xy s x s y z-score n ( ) xi x ( ) y i ȳ D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 12 / 17 s x s y

13 la correlazione la covarianza sotto trasformazioni lineari se Z = a + bx allora s zy = n ( ) 1 n z i y i zȳ n 1 n = n ( ) 1 n (a + bx i )y i (a + b x)ȳ n 1 n = n ( aȳ + b 1 ) n x i y i aȳ b xȳ n 1 n = n ( ( )) 1 n b x i y i xȳ n 1 n =bs xy D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 13 / 17

14 la correlazione la correlazione sotto trasformazioni lineari se Z = a + bx ricordiamo che: allora: s zy =bs xy s 2 z =b 2 s 2 x s z = b s x r zy = s zy s z s y = bs xy b s x s y { rxy b > 0 = r xy b < 0 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 14 / 17

15 la correlazione calcolo della covarianza nel caso di distribuzioni di frequenze s xy = n n 1 = ( 1 n H h=1 k=1 y 1 y 2 y 3 totale x 1 n 11 n 12 n 13 n 1 x 2 n 21 n 22 n 23 n 2 x 3 n 31 n 32 n 33 n 3 n 1 n 2 n 3 n totale ) K x h y k n hk xȳ ( 1 ( ) ) = = D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 15 / 17

16 la correlazione calcolo della correlazione nel caso di distribuzioni di frequenze totale s 2 x =2.73 s x = 1.65 s 2 y =0.52 s y = 0.72 r xy = s xy s x s y = = 0.51 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 16 / 17

17 la correlazione parole chiave diagramma a dispersione covarianza e dipendenza lineare correlazione D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 17 / 17