Corso di Psicometria Progredito

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1 Corso di Psicometria Progredito 5. La correlazione lineare Gianmarco Altoè Dipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia Università di Cagliari, Anno Accademico

2 Sommario 1 Tipi di relazione tra 2 variabili quantitative 2 Covarianza e correlazione 3 Un esempio completo 4 Un esercizio

3 Covariazione e causazione Abbiamo una covariazione quando semplicemente osserviamo che due variabili X e Y presentano variazioni concomitanti: al variare di una varia l altra. Si ha invece causazione quando ipotizziamo che una variazione di X produca una variazione di Y.

4 Esempio di covariazione

5 Covariazione Attenzione ai termini: covariazione: è il termine generale che indica il fenomeno (sinonimo di associazione). Si riferisce quindi sia alla relazione tra variabili quantitative che categoriali. covarianza: misura assoluta della covariazione tra due variabili quantitative. (non ha un minimo e un massimo, dipende dall unità di misura delle variabili). correlazione: misura standardizzata della covariazione tra due variabili quantitative. (varia tra -1 e 1, è indipendente dall unità di misura delle variabili).

6 Esempio di causazione

7 Tipi di relazioni causali Esistono vari tipi di relazioni causali: relazione diretta relazione reciproca relazione spuria relazione indiretta (mediazione) relazione condizionata (moderazione o interazione)

8 Relazione diretta Si tratta della relazione causale di primo ed immediato interesse da parte del ricercatore. Due variabili X e Y sono legate da una relazione causale diretta quando un mutamento nella variabile causa (X) produce un mutamento nella variabile effetto (Y ).

9 Relazione reciproca Quando viene meno la distinzione fra variabile causa e effetto, quando le variabili si influenzano reciprocamente, quando in sostanza viene meno l asimmetria del rapporto tra X e Y si parla di relazione causale reciproca. Altri termini usati per indicare una relazione reciproca sono: retroazione, simultaneità e mutua relazione.

10 Relazione spuria Il caso della relazione spuria è il caso classico di presenza di covariazione pur in assenza di causazione. Nella ricerca, le relazioni spurie non sono sempre semplici da rilevare!!

11 Relazione indiretta o mediazione Abbiamo una relazione causale indiretta fra X e Y quando il loro legame causale è mediato da una terza variabile Z (Z funge da ponte tra X e Y ). Si parla di relazione indiretta totale quando tutto l effetto di X su Y è mediato da Z, mentre si parla di relazione indiretta parziale quando X agisce su Y sia direttamente che attraverso Z.

12 Relazione condizionata o moderazione Si parla di relazione condizionata quando la relazione tra due variabili X e Y cambia (è moderata) da una terza variabile Z. E il classico caso di interazione: l effetto di X su Y dipende dai livelli di Z.

13 Leggere BENE le avvertenze... prima dell uso! Soprattutto nei fenomeni studiati in psicologia, le relazioni tra variabili sono molto complesse. Trarre conclusioni da analisi bivariate, per altro utilissime a livello esplorativo, può portare a errori di valutazione considerevoli. Quando è possibile è certamente preferibile utilizzare approcci multivariati. Nel provare la causalità di una relazione è determinante l ipotesi teorica del ricercatore. Un modello statistico da solo, non può mai provare la causalità di una relazione! Al limite, un modello statistico può suggerire l assenza di una relazione causale... ma mai provarne l esistenza!

14 La covarianza Date due variabili quantitative X e Y si definisce covarianza tra X e Y la seguente quantità: σ XY = n i (X i X)(Y i Y ) n mentre la stima della covarianza della popolazione sulla base dei dati campionari è: s XY = n i (X i X)(Y i Y ) n 1

15 La covarianza La covarianza consente di valutare se tra due variabili quantitative X e Y esiste un legame lineare e di valutare se tale legame è positivo o negativo o nullo: covarianza > 0:prevalenza di unità statistiche per le quali scarti positivi dei valori di X sono associati a scarti positivi dei valori di Y e scarti negativi dei valori di X sono associati a scarti negativi nei valori di Y. Covariazione positiva, all aumentare di una variabile è associato un aumento dell altra. covarianza < 0: prevalenza di unità statistiche per le quali scarti positivi dei valori di X sono associati a scarti negativi dei valori di Y e scarti negativi dei valori di X sono associati a scarti positivi nei valori di Y. Covariazione negativa, all aumentare di una variabile è associata una diminuzione dell altra. covarianza = 0: non esiste associazione tra scarti sulla X e scarti sulla Y. Covariazione nulla, non esiste associazione lineare.... vediamolo graficamente :-)!

16 Grafico a dispersione nel caso di covarianza positiva

17 Grafico a dispersione nel caso di covarianza negativa

18 Grafico a dispersione nel caso di covarianza nulla

19 La correlazione La covarianza è un indice che dipende dalla unità di misura delle variabili considerate. E utile però poter disporre di un indice relativo di covariazione che sia indipendente dall unità di misura delle variabili e che sia quindi maggiormente interpretabile.

20 La correlazione Dalla teoria sappiamo che: σ X σ Y σ XY σ X σ Y Possiamo quindi costruire un indice relativo, detto coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson, semplicemente dividendo tutti i membri della disequazione per il reciproco del prodotto delle deviazioni standard. ρ = σ XY σ X σ Y Tale indice naturalmente varierà tra -1 e 1.

21 Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais Pearson misura il tipo e l intensità della relazione lineare tra due variabili X e Y. Esso si indica con: con la lettera greca ρ se viene calcolato su tutta la popolazione oggetto dell indagine; con la lettera r se viene calcolato su un campione rappresentativo della popolazione.

22 Il coefficiente di correlazione lineare varia tra -1 e 1 Il segno di r (+ o -) da informazioni sul tipo di relazione: il segno positivo indica che le due variabili aumentano o diminuiscono assieme (relazione lineare positiva) il segno negativo indica che all aumentare di una variabile l altra diminuisce e viceversa (relazione lineare negativa) Il valore assoluto di r, che varia tra 0 e 1, da informazioni sulla forza della relazione lineare: è massimo (assume valore 1) quando esiste una perfetta relazione lineare tra le due variabili. tende a ridursi al diminuire dell intensità della relazione lineare e assume il valore 0 quando essa è nulla.

23 Alcuni esempi

24 Alcuni valori di riferimento nelle scienze sociali r = ±.1 effetto piccolo r = ±.3 effetto medio r = ±.5 effetto grande Statistical power analysis for behavioral science (2nd ed). Cohen, J. (1988)

25 I libri di casa Un insegnante di lingua e letteratura italiana delle scuole superiori ha svolto una piccola indagine sui suoi 9 studenti per esplorare la relazione tra il numero di libri presenti in casa e il profitto finale ottenuto in italiano. I dati sono presentati nella seguente tabella: Codice studente Profitto Y Libri in casa X Rappresentare graficamente i dati e commentarli. 2 Calcolare il coefficiente di correlazione tra Profitto in Italiano e Numero di Libri in casa e fornirne una breve interpretazione. 3 Verificare per α =.05 la significatività della correlazione osservata. 4 Commentare i risultati ottenuti.

26 1. Rappresentazione grafica dei dati (Y) Profitto in italiano (X) Numero di libri in casa Osservando il diagramma a dispersione tra le variabili osservate sembra emergere una relazione diretta e moderatamente lineare tra il numero di libri posseduti in casa e il profitto in italiano.

27 2.1 Il calcolo del coefficiente di correlazione Il coefficiente di correlazione r è dato dalla seguente formula: r = s XY s X s Y dove: s XY = n i (X i X)(Y i Y ) n 1 Al numeratore quindi abbiamo la covarianza campionaria s XY e al denominatore il prodotto delle deviazioni standard campionarie s X s Y

28 2.2 Il calcolo del coefficiente di correlzione Calcoliamo, per prima cosa, medie e deviazioni standard campionarie delle 2 variabili, Numero di libri (X) e Profitto (Y): X = s X = Y = 6.33 s Y = 2.55 Calcoliamo la covarianza campionaria: s XY = ( )( ) + + ( )(5 6.33) 9 1 = 10.08

29 2.3 Il calcolo del coefficiente di correlazione Sostituendo opportunamente i valori calcolati otteniamo il coefficiente di correlazione r: r = =.38 La correlazione calcolata, rispetto ai valori di riferimento proposti da Cohen (1988), può essere considerata di media dimensione.

30 3-4. Confronto tra valore osservato e valore critico e conclusioni Consultando le tavole statistiche si osserva che i valori critici del coefficiente di correlazione per 7 (n 2) gradi di libertà e un livello critico del 5% sono ±.67 Essendo il valore osservato r OSS =.38 compreso tra i valori critici ±.67, l ipotesi nulla, che prevede l assenza di correlazione tra profitto e numero di libri, non può essere rifiutata Da un punto di vista descrittivo emerge una correlazione di effetto medio e positiva tra il numero di libri posseduti e il profitto in italiano. Tendenzialmente quindi all aumentare del numero di libri presenti in casa sembra essere associato un aumento del profitto in italiano. Tale correlazione tuttavia non risulta statisticamente significativa per un livello critico del 5%

31 Empatia e bullismo Nella seguente tabella sono riportati i punteggi ottenuti a due test, uno sull empatia (X) e uno sul bullismo (Y ), da 8 ragazzi maschi di età compresa tra i 12 e i 14 anni. In entrambi i test un punteggio elevato indica un livello elevato del costrutto misurato. Codice soggetto Empatia X Bullismo Y Rappresentare graficamente i dati e commentarli. 2 Calcolare il coefficiente di correlazione tra Empatia e Bullismo e fornirne una breve interpretazione. 3 Verificare per α =.05 la significatività della correlazione osservata. 4 Commentare i risultati ottenuti.

32 Riferimenti bibliografici Corbetta, P. (1992). Metodi di analisi multivariata per le scienze sociali. Bologna: Il Mulino.