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1 p. 1/23 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove Giovedi 11/02 14:30 Laboratorio (via Loredan) Martedi 16/02 14:30 P50 Lunedi 22/02 09:30 P50 Martedi 23/02 14:30 P50 Giovedi 25/02 14:30 Aula informatica (6-7 gruppi) Martedi 02/03 14:30 P50 Giovedi 04/03 14:30 Aula informatica (6-7 gruppi) Martedi 09/03 14:30 P50

2 p. 1/23 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove Giovedi 11/02 14:30 Laboratorio (via Loredan) Martedi 16/02 14:30 P50 Lunedi 22/02 09:30 P50 Martedi 23/02 14:30 P50 Giovedi 25/02 14:30 Aula informatica (6-7 gruppi) Martedi 02/03 14:30 P50 Giovedi 04/03 14:30 Aula informatica (6-7 gruppi) Martedi 09/03 14:30 P50 Decidere la spartizione tra i 2 due turni per l aula inform.

3 p. 2/23 POPOLAZIONE E CAMPIONI POPOLAZIONE insieme di tutti quegli elementi che hanno almeno una caratteristica comune (persone, oggetti,misure, osservazioni). Consideriamo il caso di caratteristiche associate a grandezze misurabili.

4 p. 2/23 POPOLAZIONE E CAMPIONI POPOLAZIONE insieme di tutti quegli elementi che hanno almeno una caratteristica comune (persone, oggetti,misure, osservazioni). Consideriamo il caso di caratteristiche associate a grandezze misurabili. CAMPIONE sottoinsieme finito di elementi estratti a caso dalla popolazione.

5 p. 2/23 POPOLAZIONE E CAMPIONI POPOLAZIONE insieme di tutti quegli elementi che hanno almeno una caratteristica comune (persone, oggetti,misure, osservazioni). Consideriamo il caso di caratteristiche associate a grandezze misurabili. CAMPIONE sottoinsieme finito di elementi estratti a caso dalla popolazione. VARIABILE CASUALE X: funzione che associa in modo univoco ad ogni elemento del campione un numero reale.

6 POPOLAZIONE E CAMPIONI p. 3/23

7 p. 4/23 VARIABILI CASUALI variabile casuale o aleatoria: grandezza che può assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Legata al verificarsi di un evento casuale.

8 p. 4/23 VARIABILI CASUALI variabile casuale o aleatoria: grandezza che può assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Legata al verificarsi di un evento casuale. Funzione X che associa ad ogni elemento dello spazio dei risultati (popolazione) S = {E 1, E 2, } uno e un solo numero reale: X(E i ) = x i

9 p. 4/23 VARIABILI CASUALI variabile casuale o aleatoria: grandezza che può assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Legata al verificarsi di un evento casuale. Funzione X che associa ad ogni elemento dello spazio dei risultati (popolazione) S = {E 1, E 2, } uno e un solo numero reale: X(E i ) = x i variabile casuale discreta: assume valori entro un insieme finito o numerabile (corrispondenza univoca con i numeri naturali)

10 VARIABILI CASUALI variabile casuale o aleatoria: grandezza che può assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Legata al verificarsi di un evento casuale. Funzione X che associa ad ogni elemento dello spazio dei risultati (popolazione) S = {E 1, E 2, } uno e un solo numero reale: X(E i ) = x i variabile casuale discreta: assume valori entro un insieme finito o numerabile (corrispondenza univoca con i numeri naturali) variabile casuale continua: assume valori entro un insieme non numerabile (corrispondenza univoca con i numeri reali). p. 4/23

11 p. 5/23 VARIABILI CASUALI MISURE Un insieme finito di operazioni di misura può essere pensato come un campione, cioè un particolare sottoinsieme formato da elementi estratti a caso dall insieme di tutte le infinite possibili operazioni di misura (popolazione) che potrebbero essere effettuate sulla stessa grandezza fisica, eseguite col medesimo strumento e sfruttando le medesime procedure.

12 p. 5/23 VARIABILI CASUALI MISURE Un insieme finito di operazioni di misura può essere pensato come un campione, cioè un particolare sottoinsieme formato da elementi estratti a caso dall insieme di tutte le infinite possibili operazioni di misura (popolazione) che potrebbero essere effettuate sulla stessa grandezza fisica, eseguite col medesimo strumento e sfruttando le medesime procedure. Il risultato numerico di una misura affetta da errori casuali è una variabile casuale.

13 p. 6/23 VARIABILI CASUALI DISCRETE Hp: Ogni evento E i abbia una probabilità p i di verificarsi

14 p. 6/23 VARIABILI CASUALI DISCRETE Hp: Ogni evento E i abbia una probabilità p i di verificarsi Gli elementi di S = {E 1,E 2, } sono incompatibili e definiscano l intero spazio dei risultati i=1 p i = 1 (probabilità totale).

15 p. 6/23 VARIABILI CASUALI DISCRETE Hp: Ogni evento E i abbia una probabilità p i di verificarsi Gli elementi di S = {E 1,E 2, } sono incompatibili e definiscano l intero spazio dei risultati i=1 p i = 1 (probabilità totale). Analogia con il caso di una serie di N misure ripetute. Infatti, i risultati possono essere raggruppati in M classi di frequenza relativa f i = n i /N tali che M i=1 f i = 1 e M i=1 n i = N.

16 p. 6/23 VARIABILI CASUALI DISCRETE Hp: Ogni evento E i abbia una probabilità p i di verificarsi Gli elementi di S = {E 1,E 2, } sono incompatibili e definiscano l intero spazio dei risultati i=1 p i = 1 (probabilità totale). Analogia con il caso di una serie di N misure ripetute. Infatti, i risultati possono essere raggruppati in M classi di frequenza relativa f i = n i /N tali che M i=1 f i = 1 e M i=1 n i = N. Dal teorema di Bernoulli sappiamo che se N allora f p, per cui ritroviamo la relazione precedente.

17 VARIABILI CASUALI DISCRETE Hp: Ogni evento E i abbia una probabilità p i di verificarsi Gli elementi di S = {E 1,E 2, } sono incompatibili e definiscano l intero spazio dei risultati i=1 p i = 1 (probabilità totale). Analogia con il caso di una serie di N misure ripetute. Infatti, i risultati possono essere raggruppati in M classi di frequenza relativa f i = n i /N tali che M i=1 f i = 1 e M i=1 n i = N. Dal teorema di Bernoulli sappiamo che se N allora f p, per cui ritroviamo la relazione precedente. Un campione di misure ripetute in identiche condizioni della stessa grandezza corrisponde ad eventi incompatibili. Se N è molto grande, vale la condizione di normalizzazione delle frequenze relative. p. 6/23

18 p. 7/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Distribuzione di probabilità P(X) di una variabile casuale X: relazione che stabilisce una corrispondenza univoca tra i valori di tale variabile e la loro probabilità.

19 p. 7/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Distribuzione di probabilità P(X) di una variabile casuale X: relazione che stabilisce una corrispondenza univoca tra i valori di tale variabile e la loro probabilità.

20 p. 8/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Prova o esperimento: lancio di un dado

21 p. 8/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Prova o esperimento: lancio di un dado Variabile casuale: numero uscito X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

22 p. 8/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Prova o esperimento: lancio di un dado Variabile casuale: numero uscito X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Distribuzione di probabilità: P(X) = {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}

23 p. 9/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Prova o esperimento: lancio di 2 dadi

24 p. 9/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Prova o esperimento: lancio di 2 dadi Variabile casuale: somma dei punteggi X = 2, 3, 4, 12 undici elementi X i = i + 1; i = 1, 2, 3,...11

25 p. 9/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Prova o esperimento: lancio di 2 dadi Variabile casuale: somma dei punteggi X = 2, 3, 4, 12 undici elementi X i = i + 1; i = 1, 2, 3,...11 Il numero di possibili coppie è 6 2. Dobbiamo considerare le combinazioni che corrispondono alla stessa somma dei punteggi, e.g. 4 = = = 3 + 1, 3 eventi incompatibili (probabilità totale).

26 p. 9/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Prova o esperimento: lancio di 2 dadi Variabile casuale: somma dei punteggi X = 2, 3, 4, 12 undici elementi X i = i + 1; i = 1, 2, 3,...11 Il numero di possibili coppie è 6 2. Dobbiamo considerare le combinazioni che corrispondono alla stessa somma dei punteggi, e.g. 4 = = = 3 + 1, 3 eventi incompatibili (probabilità totale). Si noti che nel lancio di due dadi, l uscita di due numeri corrisponde a 2 eventi compatibili indipendenti (probabilità composta).

27 p. 9/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Prova o esperimento: lancio di 2 dadi Variabile casuale: somma dei punteggi X = 2, 3, 4, 12 undici elementi X i = i + 1; i = 1, 2, 3,...11 Il numero di possibili coppie è 6 2. Dobbiamo considerare le combinazioni che corrispondono alla stessa somma dei punteggi, e.g. 4 = = = 3 + 1, 3 eventi incompatibili (probabilità totale). Si noti che nel lancio di due dadi, l uscita di due numeri corrisponde a 2 eventi compatibili indipendenti (probabilità composta). Quindi P(4) = P(1, 3) + P(2, 2) + P(3, 1) = 1/6 1/6 + 1/6 1/6 + 1/6 1/6 = 3/36

28 p. 10/23 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ La distribuzione di probabilità risultante è:

29 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ p. 11/23

30 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ p. 12/23

31 p. 13/23 UNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X la somma delle probabilità che la stessa assuma valori x. F(x) = P(X, x) = x i x p(x i )

32 p. 13/23 UNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X la somma delle probabilità che la stessa assuma valori x. F(x) = P(X, x) = x i x p(x i ) Nel caso del lancio di un dado si avra

33 p. 13/23 UNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X la somma delle probabilità che la stessa assuma valori x. F(x) = P(X, x) = x i x p(x i ) Nel caso del lancio di un dado si avra Nel caso di variabili discrete è rappresentata da una funzione a gradini, non decrescente, che raggiunge il massimo a 1.

34 p. 14/23 VALORE DI ASPETTAZIONE Il valore di aspettazione o speranza matematica di una variabile casuale discreta X è E(x) = i p ix i

35 p. 14/23 VALORE DI ASPETTAZIONE Il valore di aspettazione o speranza matematica di una variabile casuale discreta X è E(x) = i p ix i Terminologia inglese: expected value

36 p. 14/23 VALORE DI ASPETTAZIONE Il valore di aspettazione o speranza matematica di una variabile casuale discreta X è E(x) = i p ix i Terminologia inglese: expected value Il valore medio della variabile X su un campione finito di dimensione N, suddiviso in M gruppi è x = M i=1 f ix i Sappiamo che f i p i per N + (Th. di Bernoulli).

37 p. 14/23 VALORE DI ASPETTAZIONE Il valore di aspettazione o speranza matematica di una variabile casuale discreta X è E(x) = i p ix i Terminologia inglese: expected value Il valore medio della variabile X su un campione finito di dimensione N, suddiviso in M gruppi è x = M i=1 f ix i Sappiamo che f i p i per N + (Th. di Bernoulli). x E(x) per N : importante, abbiamo collegato la media aritmetica osservata alla distribuzione teorica!!!

38 p. 14/23 VALORE DI ASPETTAZIONE Il valore di aspettazione o speranza matematica di una variabile casuale discreta X è E(x) = i p ix i Terminologia inglese: expected value Il valore medio della variabile X su un campione finito di dimensione N, suddiviso in M gruppi è x = M i=1 f ix i Sappiamo che f i p i per N + (Th. di Bernoulli). x E(x) per N : importante, abbiamo collegato la media aritmetica osservata alla distribuzione teorica!!! E(x) può non esistere, la serie non converge; E(x) può non appartenere al dominio di X.

39 p. 15/23 LORE DI ASPETTAZIONE (caso discret Lancio del dado (uscita di una faccia) E(x) = 1/ / /6 6 = 21 6 = 3.5

40 p. 15/23 LORE DI ASPETTAZIONE (caso discret Lancio del dado (uscita di una faccia) E(x) = 1/ / /6 6 = 21 6 = 3.5 Lancio di 2 dadi (somma dei punteggi) E(x) = = 7

41 p. 16/23 VARIANZA DI UNA DISTRIBUZIONE DISCRETA Errore di una variabile casuale: x E(x)

42 p. 16/23 VARIANZA DI UNA DISTRIBUZIONE DISCRETA Errore di una variabile casuale: x E(x) Varianza: definita come il valore di aspettazione della variabile casuale [x E(x)] 2 V ar(x) = σ 2 x= E { [x E(x)] 2} = i p i[x i E(x)] 2

43 p. 16/23 VARIANZA DI UNA DISTRIBUZIONE DISCRETA Errore di una variabile casuale: x E(x) Varianza: definita come il valore di aspettazione della variabile casuale [x E(x)] 2 V ar(x) = σ 2 x= E { [x E(x)] 2} = i p i[x i E(x)] 2 Si dimostra che: σ 2 x = E(x 2 ) [E(x)] 2

44 p. 16/23 VARIANZA DI UNA DISTRIBUZIONE DISCRETA Errore di una variabile casuale: x E(x) Varianza: definita come il valore di aspettazione della variabile casuale [x E(x)] 2 V ar(x) = σ 2 x= E { [x E(x)] 2} = i p i[x i E(x)] 2 Si dimostra che: σ 2 x = E(x 2 ) [E(x)] 2 Deviazione standard o errore quadratico medio σ x : radice quadrata della varianza.

45 p. 17/23 OMBINAZIONI LINEARI: VALORE DI ASPETTAZIONE Sia f = ax + by + cz, con a, b, c coefficienti costanti

46 p. 17/23 OMBINAZIONI LINEARI: VALORE DI ASPETTAZIONE Sia f = ax + by + cz, con a, b, c coefficienti costanti Siano E(x), E(y), E(z), i valori di aspettazione

47 p. 17/23 OMBINAZIONI LINEARI: VALORE DI ASPETTAZIONE Sia f = ax + by + cz, con a, b, c coefficienti costanti Siano E(x), E(y), E(z), i valori di aspettazione Si dimostra che:

48 p. 17/23 OMBINAZIONI LINEARI: VALORE DI ASPETTAZIONE Sia f = ax + by + cz, con a, b, c coefficienti costanti Siano E(x), E(y), E(z), i valori di aspettazione Si dimostra che: E(f) = ae(x) + be(y) + ce(z)

49 p. 17/23 OMBINAZIONI LINEARI: VALORE DI ASPETTAZIONE Sia f = ax + by + cz, con a, b, c coefficienti costanti Siano E(x), E(y), E(z), i valori di aspettazione Si dimostra che: E(f) = ae(x) + be(y) + ce(z) La media aritmetica può essere vista come combinazione lineare delle N misure, con coefficienti tutti uguali a 1/N.

50 p. 17/23 OMBINAZIONI LINEARI: VALORE DI ASPETTAZIONE Sia f = ax + by + cz, con a, b, c coefficienti costanti Siano E(x), E(y), E(z), i valori di aspettazione Si dimostra che: E(f) = ae(x) + be(y) + ce(z) La media aritmetica può essere vista come combinazione lineare delle N misure, con coefficienti tutti uguali a 1/N. Applicando il teorema si ottiene E( x) = E(x)

51 p. 17/23 OMBINAZIONI LINEARI: VALORE DI ASPETTAZIONE Sia f = ax + by + cz, con a, b, c coefficienti costanti Siano E(x), E(y), E(z), i valori di aspettazione Si dimostra che: E(f) = ae(x) + be(y) + ce(z) La media aritmetica può essere vista come combinazione lineare delle N misure, con coefficienti tutti uguali a 1/N. Applicando il teorema si ottiene E( x) = E(x) Il valore di aspettazione della popolazione delle medie aritmetiche dei campioni di dimensione finita N coincide con il valore di aspettazione della popolazione stessa.

52 p. 18/23 COMBINAZIONI LINEARI: VARIANZA Hp: le variabili x,y, z siano statisticamente indipendenti, cioè corrispondenti ad eventi compatibili indipendenti.

53 p. 18/23 COMBINAZIONI LINEARI: VARIANZA Hp: le variabili x,y, z siano statisticamente indipendenti, cioè corrispondenti ad eventi compatibili indipendenti. Si dimostra che: σ f 2 = a 2 σ x 2 + b 2 σ y 2 + c 2 σ z 2 +

54 p. 18/23 COMBINAZIONI LINEARI: VARIANZA Hp: le variabili x,y, z siano statisticamente indipendenti, cioè corrispondenti ad eventi compatibili indipendenti. Si dimostra che: σ f 2 = a 2 σ x 2 + b 2 σ y 2 + c 2 σ z 2 + Una combinazione lineare, a coefficienti costanti, di due variabili casuali statisticamente indipendenti ha varianza uguale alla combinazione lineare delle rispettive varianze, con coefficienti pari ai quadrati dei coefficienti rispettivi.

55 p. 18/23 COMBINAZIONI LINEARI: VARIANZA Hp: le variabili x,y, z siano statisticamente indipendenti, cioè corrispondenti ad eventi compatibili indipendenti. Si dimostra che: σ f 2 = a 2 σ x 2 + b 2 σ y 2 + c 2 σ z 2 + Una combinazione lineare, a coefficienti costanti, di due variabili casuali statisticamente indipendenti ha varianza uguale alla combinazione lineare delle rispettive varianze, con coefficienti pari ai quadrati dei coefficienti rispettivi. Ritrovere questo risultato nell ambito della propagazione degli errori nelle misure effettuate con metodi indiretti.

56 p. 18/23 COMBINAZIONI LINEARI: VARIANZA Hp: le variabili x,y, z siano statisticamente indipendenti, cioè corrispondenti ad eventi compatibili indipendenti. Si dimostra che: σ f 2 = a 2 σ x 2 + b 2 σ y 2 + c 2 σ z 2 + Una combinazione lineare, a coefficienti costanti, di due variabili casuali statisticamente indipendenti ha varianza uguale alla combinazione lineare delle rispettive varianze, con coefficienti pari ai quadrati dei coefficienti rispettivi. Ritrovere questo risultato nell ambito della propagazione degli errori nelle misure effettuate con metodi indiretti. Due variabili casuali che differiscano per una quantità costante hanno la stessa varianza. t = x + cost. σ 2 t = σ 2 x (...gli errori sistematici non alterano la precisione dei dati...)

57 p. 19/23 L ERRORE QUADRATICO MEDIO DELLA MEDIA Variabile casuale: media aritmetica x = 1 N N i=1 x i: combinazione lineare delle N misure con coefficienti uguali a 1/N

58 p. 19/23 L ERRORE QUADRATICO MEDIO DELLA MEDIA Variabile casuale: media aritmetica x = 1 N N i=1 x i: combinazione lineare delle N misure con coefficienti uguali a 1/N Varianza σ x 2 = 1 N 2 N i=1 σ xi 2 = 1 N 2 Nσ x 2 σ x 2 = σ x 2 N

59 p. 19/23 L ERRORE QUADRATICO MEDIO DELLA MEDIA Variabile casuale: media aritmetica x = 1 N N i=1 x i: combinazione lineare delle N misure con coefficienti uguali a 1/N Varianza σ x 2 = 1 N 2 N i=1 σ xi 2 = 1 N 2 Nσ x 2 σ x 2 = σ x 2 IMPLICAZIONI: L errore quadratico medio della media di un campione N

60 p. 19/23 L ERRORE QUADRATICO MEDIO DELLA MEDIA Variabile casuale: media aritmetica x = 1 N N i=1 x i: combinazione lineare delle N misure con coefficienti uguali a 1/N Varianza σ x 2 = 1 N 2 N i=1 σ xi 2 = 1 N 2 Nσ x 2 σ x 2 = σ x 2 IMPLICAZIONI: L errore quadratico medio della media di un campione è minore dell analogo errore delle singole misure. N

61 p. 19/23 L ERRORE QUADRATICO MEDIO DELLA MEDIA Variabile casuale: media aritmetica x = 1 N N i=1 x i: combinazione lineare delle N misure con coefficienti uguali a 1/N Varianza σ x 2 = 1 N 2 N i=1 σ xi 2 = 1 N 2 Nσ x 2 σ x 2 = σ x 2 IMPLICAZIONI: L errore quadratico medio della media di un campione è minore dell analogo errore delle singole misure. tende a zero al crescere del numero di misure effettuato. N

62 p. 20/23 DISTRIBUZIONE UNIFORME DISCRETA La funzione di distribuzione di probabilità assume lo stesso valore per tutti i valori della variabile casuale: p(x) = p per ogni x = 1, n

63 p. 20/23 DISTRIBUZIONE UNIFORME DISCRETA La funzione di distribuzione di probabilità assume lo stesso valore per tutti i valori della variabile casuale: p(x) = p per ogni x = 1, n Dalla condizione di normalizzazione: p i = 1/n

64 p. 20/23 DISTRIBUZIONE UNIFORME DISCRETA La funzione di distribuzione di probabilità assume lo stesso valore per tutti i valori della variabile casuale: p(x) = p per ogni x = 1, n Dalla condizione di normalizzazione: p i = 1/n Valore si aspettazione E(x) = 1 1/n+2 1/n n 1/n = 1/n = 1 n (Si è usata la relazione nx i = i=1 n(n + 1) 2 n i = 1 n i=1 n(n + 1) 2 = n dalla teoria delle progressioni aritmetiche )

65 p. 20/23 DISTRIBUZIONE UNIFORME DISCRETA La funzione di distribuzione di probabilità assume lo stesso valore per tutti i valori della variabile casuale: p(x) = p per ogni x = 1, n Dalla condizione di normalizzazione: p i = 1/n Valore si aspettazione E(x) = 1 1/n+2 1/n n 1/n = 1/n = 1 n (Si è usata la relazione nx i = i=1 n(n + 1) Varianza: n ( n σ 2 i=1 = i2 i=1 i ) 2 = n n ( n + 1 2n + 1 n + 1 ) = n n i = 1 n i=1 n(n + 1) 2 = n dalla teoria delle progressioni aritmetiche ) (n + 1)(2n + 1) 6 (Si è usata la relazione P n i=1 i2 = n(n+1)(2n+1) 6 ) 4n + 2 3n 3 6 (n + 1)2 4 = = n2 1 12

66 p. 20/23 DISTRIBUZIONE UNIFORME DISCRETA La funzione di distribuzione di probabilità assume lo stesso valore per tutti i valori della variabile casuale: p(x) = p per ogni x = 1, n Dalla condizione di normalizzazione: p i = 1/n Valore si aspettazione E(x) = 1 1/n+2 1/n n 1/n = 1/n = 1 n (Si è usata la relazione nx i = i=1 n(n + 1) Varianza: n ( n σ 2 i=1 = i2 i=1 i ) 2 = n n ( n + 1 2n + 1 n + 1 ) = n n i = 1 n i=1 n(n + 1) 2 = n dalla teoria delle progressioni aritmetiche ) (n + 1)(2n + 1) 6 (Si è usata la relazione P n i=1 i2 = n(n+1)(2n+1) 6 ) 4n + 2 3n 3 6 (n + 1)2 4 = = n Il valore di aspettazione e la varianza del punteggio associato al lancio di un dado sono : E(x) = = 3.5 e σ 2 =

67 p. 21/23 ESERCIZI Data una serie di n misure {m i }, come cambiano media aritmetica e scarto quadratico medio se ogni misura è moltiplicata per 2: y i = 2 x i? è incrementata di 2: y i = 2 + x i?

68 p. 22/23 ESERCIZI Considera la seguente distribuzione di frequenza. Qual è la frequenza mancante nella posizione occupata dall asterisco? Classi Freq. ass. Freq. cumulata in % fino a % * 64.00% % % % più di % A)25 B)15 C)16 D)3

69 p. 23/23 ESERCIZI Data la seguente distribuzione di probabilità: x P(x) Quale delle seguenti affermazioni è vera? A)P(X > 3) = 0.51 B)P(X 3) = 0.65 C)P(2 X 5) = 0.33 D)P(X < 6) = 1