Metodi di Monte Carlo: un'applicazione

Transcript

1 Metodi di Monte Carlo: un'applicazione Metodi di Monte Carlo: definizione Brevi richiami sui concetti base utilizzati Variabile casuale Valore di aspettazione Varianza Densità di probabilità Funzione cumulativa Una delle svariate applicazioni: la propagazione degli errori Concetto generale Applicazione alla misura di g tramite il pendolo

2 Metodo di Monte Carlo: definizione Metodo numerico basato su procedimenti probabilistici, usato in statistica per la risoluzione di problemi di varia natura, che presentano difficoltà analitiche non altrimenti o difficilmente superabili. Il metodo si basa sulla possibilità di eseguire, utilizzando numeri casuali, un campionamento di una distribuzione di probabilità assegnata, F(X); ossia sulla possibilità di generare una sequenza di eventi X1, X2,..., Xn,..., distribuiti secondo la F(X). In pratica, invece di servirsi di un campione di numeri effettivamente estratti a caso, si ricorre a una sequenza di numeri ottenuti con un processo iterativo ben determinato; tali numeri vengono detti pseudo casuali giacché, pur non essendo casuali, hanno proprietà statistiche analoghe a quelle dei veri numeri casuali. Al metodo Monte Carlo sono riconducibili molti metodi di simulazione, che mirano alla determinazione dei parametri tipici dei fenomeni complessi a carattere aleatorio.

3 Qualche (breve) richiamo Eventi casuali: eventi che possono essere descritti in modo statistico tramite una distribuzione di probabilità Variabile casuale: variabile associata ad un evento casuale. Non conosciamo a priori il suo valore ma, dalla distribuzione di probabilità, sappiamo l'intervallo di valori che la variabile stessa può assumere e con che probabilità. Ad esempio, una misura! Si veda anche: Lezione 8 Del Prof. Baruffolo 27 ottobre 2015

4 Qualche (breve) richiamo Grandezze necessarie per la caratterizzazione di una variabile casuale: Valore di aspettazione: è la media di tutti i valori che la variabile casuale può assumere, pesata per le probabilità. Ad esempio, la media delle misure da voi effettuate! Varianza: è il valore atteso del quadrato della deviazione della variabile casuale dal suo valore atteso. Caratterizza la dispersione dei valori attorno al valore di aspettazione Cioè, l'errore associato alla misura! Densità di probabilità P(x): funzione che assegna a ciascun valore possibile della variabile casuale, la probabilità che la variabile assuma proprio quel valore. Si veda anche: Lezione 8 Del Prof. Baruffolo 27 ottobre 2015

5 Qualche (breve) richiamo Alcuni tipi di P(x) Uniforme Gaussiana o normale Poissoniana Si veda anche: Lezione 8 Del Prof. Baruffolo 27 ottobre 2015

6 Qualche (breve) richiamo Grandezze necessarie per la caratterizzazione di una variabile casuale: Valore di aspettazione: è la media di tutti i valori che la variabile casuale può assumere, pesata per le probabilità. Ad esempio, la media delle misure da voi effettuate! Varianza: è il valore atteso del quadrato della deviazione della variabile casuale dal suo valore atteso. Caratterizza la dispersione dei valori attorno al valore di aspettazione Cioè, l'errore associato alla misura! Densità di probabilità P(x): funzione che assegna a ciascun valore possibile della variabile casuale, la probabilità che la variabile assuma proprio quel valore. Funzione cumulativa: indica la probabilità che la variabile casuale assuma un valore minore o uguale ad un certo valore v o. Nel caso di una distribuzione continua, definisce l'area al di sotto della P(x) da - al valore v o. Si veda anche: Lezione 8 Del Prof. Baruffolo 27 ottobre 2015

7 Il Metodo di Monte Carlo per la propagazione degli errori Grandezze misurate: A, B Errore: σ A σ B Distribuzione di probablità: ad esempio, gaussiana A e B sono legate tra loro da una funzione generica, più complicata di una semplice relazione lineare: f(a,b) Problema: Qual è l'errore di f(a,b)? Soluzione 1: applichiamo la formula di propagazione σ f = (...) MA! f(a,b) può essere particolarmente complicata quindi avremo a che fare con derivate parziali difficili da calcolare! Soluzione 2: Usiamo il metodo di Monte Carlo!

8 Il Metodo di Monte Carlo per la propagazione degli errori Sappiamo che le misure del parametro A si disporranno attorno al valore vero di A A vero con una certa dispersione che è data dagli errori di misura (casuali!). Possiamo assumere che il valore misurato di A coincida con A vero Generiamo N valori A simulato in modo pseudo-casuale, seguendo la forma della PDF di A: l'insieme di questi valori sarà distribuito attorno ad A vero con una dispersione data da σ A I valori di A simulato ci permettono di campionare lo spazio dei parametri di A. La qualità del campionamento dipenderà dal numero di valori di A simulato che generiamo. *Questo si applica anche al parametro B Si vedano anche: Lezioni 6b e 10a Del Prof. Baruffolo 6 e 19 novembre 2015

9 Il Metodo di Monte Carlo per la propagazione degli errori Quindi avremo N valori simulati del parametro A (A simulato ) Ed N valori simulati del parametro B (B simulato ) Possiamo ripetere N volte il calcolo di f(a,b) sui valori A simulato, B simulato otterremo N valori di f simulato = f(a simulato, B simulato ) A partire dagli N valori di f simulato possiamo costruirne la distribuzione di probabilità p(f) Dalla p(f) ricaviamo: Il valore medio di f simulato. Questo valore deve essere confrontato con f vero per controllare che la simulazione sia stata fatta correttamente L'errore Δf sul parametro f: σ(p(f)) se e solo se p(f) è gaussiana (vero se p(a) e p(b) sono gaussiane) Altrimenti costruiamo la cumulativa e usiamo i percentili: Δf = (84 th - 16 th ) Percentile

10 Il Metodo di Monte Carlo per la propagazione degli errori f ( A, B)= A B Parametri: A vero = 1 σ A = 0.4 B vero = 4 σ B = 0.3 σf = σa2 B 2 +σb2 A2 B 2 Valori simulati dei parametri: N simulazioni = A simulato = A vero + randomn(seed,n simulazioni )*σ A B simulato = B vero + randomn(seed,n simulazioni )*σ B f simulato = A simulato / B simulato

11 Il Metodo di Monte Carlo per la propagazione degli errori σf = σa2 B 2 +σb2 A2 B 2 =0.125 σ f,mc = 84 th percentile della p(f) - 16 th percentile della p(f) ~ 0.11

12 Applicazione pratica al pendolo g= 4 π 2 l T 2 Grandezze misurate: l e T Errori: σ l e σ T. Propagazione degli errori: σ (g)= σ (l)2 ( g l ) 2 +(σ (T )) 2 ( g T ) 2 Monte Carlo: N simul = 1000 g = f(l,t) l simul = l vero + randomn(seed, N simul )*σ l T simul = T vero + randomn(seed, N simul )*σ T g simul = f(l simul,t simul )

13 Propagazione vs Monte Carlo g= 4 π 2 l T 2 l misurato = 0.99 m σ l = 2E-4 m T misurato = 2 s σ T = 1E-4 s g misurato = m/s 2 σ g, propagazione = m/s 2 <g simulato > = m/s2 σg, MC = m/s 2

14 In conclusione... LEARN