Intervallo di confidenza.

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1 Intervallo di confidenza

2 campione inferenza popolazione Media Riportare sempre anche la deviazione standard Stima puntuale di Media, dev.standard, numerosità Qualche semplice calcolo Intervallo di confidenza (stima intervallare di Su 20 intervalli di confidenza al 95%, 19 contengono, il valore vero della popolazione

3 Esempio di distribuzione normale: distribuzione della glicemia in una popolazione diabetica =24 = media della popolazione =deviazione standard della popolazione =160

4 Dal momento che il campione viene estratto casualmente dalla popolazione, le conclusioni tratte da un campione possono essere errate. L inferenza statistica 1) cerca di stimare la probabilità di commettere errori 2) cerca di limitare la probabilità di commettere errori

5 INTERVALLO di CONFIDENZA Lo scopo dell'inferenza statistica è la conoscenza dei parametri che caratterizzano una popolazione. Per conoscere il parametro, però, dovremmo prendere in esame tutte le unità statistiche che costituiscono la popolazione; questo spesso è impossibile perché: 1. numerosità molto elevata 2. spesso la popolazione obiettivo è infinita impossibile conoscere il parametro

6 Non potendo calcolare con esattezza il parametro, ricorriamo ad una sua stima. La statistica (es x, s) calcolata su un campione estratto dalla popolazione obiettivo è una stima puntuale del parametro della popolazione.

7 Questa stima puntuale del parametro non sarà mai identica al vero parametro della popolazione, ma sarà affetta da un errore per eccesso o per difetto. In molte situazioni è preferibile una stima intervallare (cioè è preferibile indicare come stima del parametro un intervallo al posto di un singolo punto sull asse dei valori) che esprima anche l errore associato alla stima (precisione).

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9 densit di probabilit DISTRIBUZIONE DELLA MEDIA CAMPIONARIA PER N=36-1,96 / n + 1,96 / n In quest'area cade il 95% delle medie campionarie 2 1,96 / n glicemia (mg/dl)

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11 Estrazione di 50 campioni di numerosità 20 da una distribuzione gaussiana con µ=0 e δ=1. Le barre rappresentano gli intervalli di confidenza al 95% per tutte le 50 medie campionarie calcolate. Dati i 50 campioni dell esempio seguente, osserviamo che soltanto in tre casi (6% dei campioni) l intervallo di confidenza non comprende la vera media di popolazione.

12 La stima puntuale fornisce un singolo valore. Tuttavia: 1) questo valore non coincide quasi mai con il valore vero (parametro) della popolazione; 2) campioni diversi forniscono stime puntuali diverse. La stima intervallare fornisce un intervallo, che ha una predeterminata probabilità di contenere il valore vero della popolazione. Pertanto: 1) quest intervallo ha una determinata probabilità (in genere, il 95%) di contenere il valore vero (parametro) della popolazione; 2) gli intervalli ottenuti da campioni diversi in genere si sovrappongono.

13 INTERVALLO DI PROBABILITÀ 0.4 f(x) _ (1-a a/2 a/2 -z a/2 /Ön l INTERVALLO DI PROBABILITA' l +z a/2 /Ön Poiché, per campioni di numerosità sufficiente, lo stimatore media campionaria ha distribuzione gaussiana N~ (, 2 /n), possiamo calcolare la probabilità che una data media campionaria ( x) ha di appartenere ad un certo intorno della media vera della variabile casuale. x L'intervallo z α/2 σ/ön, simmetrico attorno alla media vera (μ), include una frazione (1- α) delle possibili medie campionarie. Quindi la probabilità di ottenere una media campionaria appartenente a tale intervallo è (1-α).

14 dall'intervallo di probabilità all'intervallo di confidenza Quanto detto può essere espresso nei seguenti termini: σ σ p{ μ - z α/2 < x < μ + z α/2 } = (1-α) n n Questo intervallo ha ampiezza nota La precedente espressione può essere invertita, con passaggi algebrici, come segue: Questo intervallo ha ampiezza nota 2 2 z (se si suppone nota la dispersione ), ed è centrato sull'ignoto parametro. Tale intervallo viene detto intervallo di probabilità. σ σ p{ x - z α/2 < μ < x + z α/2 } = (1-α) n n 2 2 z ed è centrato su una media campionaria nota. Tale intervallo viene detto : intervallo di confidenza per il parametro. a/2 n a/2 n

15 INTERVALLO di CONFIDENZA: DEFINIZIONE Per intervallo di confidenza di un parametro della popola-zione, intendiamo un intervallo delimitato da due limiti L inf (limite inferiore) ed L sup (limite superiore) che abbia una definita probabilità (1- a) di contenere il vero parametro della popolazione: dove: 1- a = grado di confidenza a = probabilità di errore p(l inf < < L sup ) = 1-a

16 pr -1 n x +1 n 0.95 invertendo le due disuguaglianze interne alla parentesi: prx -1 n x +1 n 0.95 INTERVALLO DI CONFIDENZA

17 prx -1 n x +1 n 0.95 L s L i (LIMITE SUPERIORE DELL INTERVALLO) (LIMITE INFERIORE DELL INTERVALLO)

18 L intervallo di confidenza diminuisce se 1) diminuisce il livello di confidenza (1-a) (dal 99% al 95% al 90%) 2) aumenta la numerosità del campione (da n=4 a n=36 a n=100) 3) diminuisce la variabilità nella popolazione (da =100 a =36 a =4)

19 155 1, , ,5764

20 x z a/2 ES(x) la probabilità d'errore a determina il valore del coefficiente z: 1-a a/2 z a/

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23 La stima puntuale RIASSUMENDO fornisce un singolo valore. Tuttavia: 1. questo valore non coincide quasi mai con il valore vero (parametro) della popolazione; 2. campioni diversi forniscono stime puntuali diverse. La stima intervallare fornisce un intervallo: 1. quest intervallo ha una determinata probabilità (in genere, il 95%) di contenere il valore vero (parametro) della popolazione; 2. Il metodo generale per la costruzione dell intervallo di confidenza al (1-a) è: x z a/2 ES(x)

24 Deviata gaussiana Standard: Aree per z>+z* (o per z<-z*) z*

25 Deviata gaussiana Standard: Aree Per z>+z* (o per z<-z*) z*

26 Esempio: Calcolo dell'intervallo di confidenza della media di una popolazione Problema: Qual è l intervallo di confidenza al 95% della media del peso di una popolazione, se la media di un campione di 16 soggetti è pari a 75 Kg? Nella popolazione il peso è distribuito normalmente con deviazione standard pari a 12 Kg. Dati: x = 75 Kg = 12 Kg n = 16 1-a= 95% z a/2 = 1,96 Formula da utilizzare: I.C. 95% = x z a/2 /Ön = x z a/2 E.S. I passo: calcolo l errore standard E.S. = /Ön = 12/Ö16 = 12/ 4 = 3 Kg II passo: calcolo l intervallo di confidenza I.C. 95% = x z a/2 E.S. = 75 1,963 = 80,88 Kg 69,12 Kg L intervallo che va da 69,12 Kg (limite inferiore) a 80,88 Kg (limite superiore) ha 95 probabilità su 100 di contenere la media vera della popolazione.

27 E se non conosco, la deviazione standard della popolazione? Posso usare s (dev. standard del campione) come stima di Se la numerosità campionaria è sufficientemente grande (n30), s è una stima precisa di. Se la numerosità campionaria è piccola (n<30) 1.non può essere applicato il teorema del limite centrale I.C. = x Z a/2 * s / Ön? 2. s non è una buona stima di

28 Per poter fare inferenze sulla media nel caso di piccoli campioni è necessario assumere che la variabile in studio abbia una distribuzione approssimativamente normale. Sotto tale assunzione si può utillizzare la distribuzione t di Student con n=(n-1) gradi di libertà Nel caso di piccoli campioni l intervallo di confidenza della media diventa quindi: x t a/2 s n

29 densità di probabilità Distribuzione T di Student n=infinito (distr. normale) n = 10 n = 5 n = 1 n = n-1 = gradi di libertà x- z = /Ön t = x- s/ön

30 Tavola dei valori della funzione t di Student in funzione dei gradi di libertà e della probabilità in una coda della distribuzione (.100,.050,.025,.010,.005) DEGREES OF t.100 t.050 t.025 t.010 t.005 FREEDOM

31 Esempio: Calcolo dell'intervallo di confidenza della media di una popolazione Problema: Qual è l intervallo di confidenza al 95% della media del peso di una popolazione, se in un campione di 100 soggetti la media ( x) è pari a 75 Kg e la deviazione standard (s) è pari a 12 Kg. Dati: x = 75 Kg s = 12 Kg n = 100 Il livello di confidenza è pari al 95%. Pertanto la probabilità di errore (a = alfa) è 100% - 95% = 5%. Formula da utilizzare: Poiché la numerosità campionaria è maggiore di 30, posso usare la distribuzione z. Essendo il livello di confidenza del 95%, z=1,96 Pertanto posso utilizzare la seguente formula: I.C. 95% = x 1,96 s/ön I passo: calcolo l errore standard (= la deviazione standard della media campionaria) E.S. (Errore Standard) = s /Ön = 12/Ö100 = 12/ 10 = 1,2 Kg II passo: calcolo l intervallo di confidenza I.C. 95% = x 1,96 E.S. = 75 1,96* 1,2 = ,96*1,2 = 77,35 Kg 75-1,96*1,2 = 72,65 Kg L intervallo che va da 72,65 Kg (limite inferiore) a 77,35 Kg (limite superiore) ha 95 probabilità su 100 di contenere la media vera della popolazione.