Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia a.a Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 1

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1 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 1

2 Popolazione: - insieme di tutti i valori realizzati o possibili di una variabile - insieme che raccoglie tutte le osservazioni possibili, relativamente ad una data variabile o ad un dato fenomeno - può essere finita (comunque molto grande) o infinita Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 2

3 Campione: - Raccolta finita di elementi estratti da una popolazione - Scopo dell estrazione è quello di ottenere informazioni sulla popolazione - Pertanto il campione deve essere rappresentativo della popolazione da cui viene estratto ( non viziato, cioè non affetto da errore sistematico) - Per corrispondere a queste esigenze il campione viene individuato con un campionamento casuale - In un campionamento casuale semplice tutti gli individui nella popolazione hanno uguale probabilità di essere inclusi nel campione Data una popolazione con N individui (dove N è molto grande rispetto alla dimensione del campione) la probabilità per l i-esimo individuo è 1/N Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 3

4 Il campione corrisponde alla popolazione? Consideriamo una popolazione di individui (unità statistiche); per ciascuno sia noto il valore di una data variabile numerica La distribuzione della variabile è normale (Gaussiana) con media µ e deviazione standard δ Si estraggano ripetuti campioni di dimensione n da tale popolazione Definiamo media campionaria la media calcolata per le osservazioni che compongono il campione osserviamo che: la distribuzione delle medie campionarie sarà normale (Gaussiana), con media µ e deviazione standard δ/ n Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 4

5 - Il valore atteso della media campionaria è la media della popolazione, in altre parole la media campionaria è una stima non distorta della media della popolazione - Il valore atteso della varianza campionaria (calcolata con n-1) è la varianza della popolazione, in altre parole la varianza campionaria (calcolata con n-1) è una stima non distorta della varianza della popolazione - La variabilità della distribuzione delle medie campionarie è inferiore alla variabilità nella popolazione Campioni più grandi avranno variabilità inferiore La deviazione standard delle medie campionarie viene indicata anche come Errore Standard della Media (spesso abbreviato in Errore standard) Errore standard = deviazione standard della popolazione / (numerosità campionaria) =δ/ n Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 5

6 - La forma della distribuzione di frequenza delle medie campionarie è normale Questo accade anche se la distribuzione nella popolazione non è normale (Teorema del limite centrale ) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 6

7 Verifichiamo queste assunzioni su un esempio: L istogramma presenta la distribuzione di frequenza di osservazioni distribuite in modo uniforme La variabile considerata (indicata come I) assume i soli valori interi tra 0 e 9 L esempio è analogo a quello presentato nel testo di PArmitage e GBerry Statistical Methods in Medical Researchs (editaliana McGraw-Hill) Alcune statistiche descrittive della Variabile I N Mean 45 Std Deviation Variance Skewness 0 Kurtosis Distribuzione Uniforme Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 7

8 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 8 FREQUENCY popolazione

9 Estraiamo da questa distribuzione campioni ripetuti di diversa numerosità (n=5, n=10, n=20, ciascuno ripetuto 5000 volte) Esaminiamo le caratteristiche delle distribuzioni di frequenza delle medie campionarie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 9

10 Distribuzione e variabilità dei Campioni con n=5 Variable: md (media campionaria) N 5000 Mean 45 Std Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff Variation Median Mode Range Interquartile Range Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 10

11 Distribuzione e variabilità dei Campioni con n=10 Variable: md (media campionaria) N 5000 Mean 45 Std Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff Variation Median Mode Range Interquartile Range Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 11

12 Distribuzione e variabilità dei Campioni con n=20 Variable: md (media campionaria) N 5000 Mean 45 Std Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff Variation Median Mode Range Interquartile Range Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 12

13 da distribuzione uniforme (interi da 0 a 9) µ=4,5 δ=2, n=5 /10 / Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 13

14 La distribuzione di probabilità rilevante per condurre inferenze sulle medie è la distribuzione gaussiana perché: - la distribuzione gaussiana è la forma limite delle distribuzioni di frequenza campionarie, quale che sia la distribuzione originale delle osservazioni, purché i campioni siano di numerosità sufficiente - la distribuzione di frequenza di molte variabili biologiche è descritta da tale distribuzione; - la distribuzione degli errori casuali è una distribuzione Gaussiana; - se la distribuzione di frequenza della popolazione è gaussiana, la distribuzione delle medie campionarie è gaussiana anche per n piccoli Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 14

15 Rivediamo le caratteristiche principali della distribuzione gaussiana Formula: f(x) = (1/σ 2π)*exp[-1/2(x-µ) 2 /σ 2 ] µ (media) e σ (deviazione standard) sono i parametri che definiscono la distribuzione - il dominio della funzione è - <= x <= - L area compresa tra - e ha valore unitario, - f(x) è un valore di probabilità e viene anche indicato con la lettera p - La distribuzione è simmetrica, media = mediana = moda La distribuzione gaussiana con µ=0 e δ = 1 viene definita Deviazione Normale Standard La funzione gaussiana viene utilizzata per l inferenza sulle medie, essendo la forma limite della distribuzione di frequenza delle medie campionarie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 15

16 Il grafico seguente mostra due curve normali con DS=1 (curva nera) e DS=2 (curva rossa) Entrambe hanno media=0 y Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie x0

17 In questo grafico si mostra la relazione tra funzione di densità di probabilità gaussiana (curva a campana, corrisponde ad una distribuzione normale standard) e la corrispondente funzione cumulativa (curva sigmoide) GS Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 17 X

18 Il processo di verifica dell ipotesi si svolge secondo quanto visto in precedenza: L ipotesi di lavoro: il campione non fà parte dalla popolazione considerata ma di un altra popolazione, con media differente Siamo interessati al confronto tra la media campionaria e la media della popolazione I parametri della distribuzione di probabilità della variabile nella popolazione (µ e σ) sono noti L ipotesi nulla: il campione estratto ha media uguale a quella della popolazione (corrisponde cioè ad un campione tratto dalla popolazione) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 18

19 Gli errori di primo e di secondo tipo e la dimensione del campione vengono definiti Nel calcolo della dimensione del campione occorre anche considerare che la distribuzione di frequenza di campioni piccoli si differenzia dalla distribuzione gaussiana maggiormente che la distribuzione di frequenza di campioni grandi L esperimento consiste nell estrazione di un campione e nel calcolo della media campionaria Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 19

20 Il test statistico consiste nel calcolo della deviata normale standardizzata: Z = (X - µ)/ (σ/ n) Dove X: media campionaria µ: media della popolazione (σ/ n): errore standard della media (cioè deviazione standard della media campionaria) σ: deviazione standard della popolazione n: numerosità del campione Il test è di tipo parametrico, cioè è valido a condizione che siano validi i presupposti relativi alla distribuzione di probabilità (gaussiana) L assunzione è generalmente vera dato il teorema del limite centrale (sempre che n sia sufficientemente grande e la forma della distribuzione della popolazione non sia troppo asimmetrica) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 20

21 Il valore di probabilità corrispondente al valore Z (valore assoluto di Z) così ottenuto si legge dalla tabella della distribuzione normale standard Se Z>0 viene letto il valore di probabilità compreso tra Z e Se Z<0 viene letto il valore di probabilità compreso tra Z e - Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 21

22 Esempio 1 Confronto della pressione sistolica tra un gruppo di pazienti affetti da una nuova forma di arteriopatia con la popolazione generale H lavoro= i soggetti considerati, affetti da una rara malattia delle arterie hanno pressione arteriosa (sistolica) diversa dalla popolazione generale L ipotesi è nata osservando che i primi casi avevano valori pressori molto elevati H0= media della popolazione: pressione sistolica 145 mmhg test a due code (sebbene l ipotesi di lavoro sia indirizzata maggiormente verso un rialzo pressorio, non ho informazioni sufficientemente forti da scegliere un test ad una coda) errore 1 tipo =005 numerosità campionaria non modificabile poichè sono inclusi tutti i pazienti disponibili Non è stata calcolata la potenza statistica Test statistico: test Z (confronto tra una media campionaria e la media della popolazione) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 22

23 Requisiti del test scelto: La deviazione standard della misura della pressione della popolazione è nota da precedenti studi ed è pari a 2,53 mmhg; La distribuzione della variabile nella popolazione è gaussiana, pertanto anche piccoli campioni saranno distribuiti secondo tale distribuzione Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 23

24 I dati: Obs pressure (mmhg) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 24

25 Le statistiche campionarie necessarie per il test N 15 Media mmhg (calcolo omesso) I parametri necessari per il test µ=145 mmhg δ=2,53 mmhg Il valore della statistica Z (errore 1 tipo <= 0,05 e test a due code) = 1,960 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 25

26 Il calcolo del test Z = (X - µ)/ (σ/ n) Z = ( ) / (2,53/ 15) = = 6, Conclusione = rifiuto l ipotesi nulla Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 26

27 Esempio 2 Una compagnia di assicurazioni intende controllare quali agenzie sono troppo severe oppure troppo disponibili nella valutazione dei danni Viene effettuato un campione delle pratiche seguite da ciascuna agenzia Per rendere omogenea la popolazione di provenienza vengono esclusi gli incidenti con feriti e quelli in autostrada Il costo medio nella popolazione (tutte le pratiche della compagnia di assicurazione) (in migliaia di euro) = 1,6 Deviazione standard della popolazione (in migliaia di euro) = 3,4 H lavoro: L'agenzia xxyy si discosta dai parametri definiti sulla base della popolazione di tutti gli incidenti dell'anno in corso H0: l'agenzia non si discosta Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 27

28 test a due code (interessano entrambi gli scostamenti) errore 1 tipo =010 (dato il piano di lavoro di controllo) numerosità campionaria 20 pratiche Non è stata calcolata la potenza statistica Test statistico: test Z (confronto tra una media campionaria e la media della popolazione) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 28

29 Requisiti del test scelto: La deviazione standard del costo medio è nota, poichè il centro di calcolo della compagnia ha tutte le pratiche La distribuzione della variabile nella popolazione è asimmetrica con coda a destra (valori elevati), come indicato dal centro di calcolo Viene effettuata una trasformazione logaritmica per renderla simile alla gaussiana: dopo la trasformazione anche piccoli campioni si distribuiscono secondo la distribuzione gaussiana Il centro di calcolo fornisce µ e σ della popolazione, con i dati trasformati su scala logaritmica Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 29

30 I dati Obs costo lcosto Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica medie 30 Inferenza sulle

31 The UNIVARIATE Procedure Variable: costo Stem Leaf # Boxplot * *--+--* Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 31

32 The UNIVARIATE Procedure Variable: lcosto Stem Leaf # Boxplot *--+--* Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 32

33 Variable: lcosto (log e del costo) Moments N 22 Mean Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 33

34 Il calcolo del test Indico media e Ds della popolazione calcolati dai logaritmi dei dati originali µ = 0, σ = 0, x = 0,216 Z = (X - µ )/ (σ / n) Z = (0,216-0,262364) / (0,875469/ 22) = = - 0,2484 Conclusione = non rifiuto l ipotesi nulla Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 34

35 Intervalli di confidenza Abbiamo visto che la media campionaria costituisce la stima migliore della media della popolazione ma questo non significa che la media campionaria sia priva di errore campionario: si osserva facilmente che campioni ripetuti danno medie campionarie diverse L intervallo di confidenza fornisce una indicazione della precisione della stima L intervallo di confidenza fornisce un espressione formale dell incertezza che deve essere aggiunta alla media campionaria a causa del semplice errore di campionamento (Armitage) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 35

36 L intervallo di confidenza della media campionaria è un intervallo di valori intorno alla media campionaria; tale intervallo ha una probabilità definita di includere il parametro (valore della statistica nella popolazione) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 36

37 Estrazione di 50 campioni di numerosità 20 da distribuzione gaussiana con µ=0 e δ=1 Le barre rappresentano l intervallo di confidenza al 95% M D ID Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 37

38 L intervallo di confidenza è definito in modo tale da soddisfare la seguente equazione: [X - Z α/2 *(σ/ n)] < µ < [X + Z α/2 *(σ/ n)] Dove: X: media campionaria µ: media della popolazione (σ/ n): errore standard della media (cioè deviazione standard della media campionaria) Z α/2 = valore della deviata normale standardizzata corrispondente all errore di 1 tipo scelto Limite fiduciale superiore = X + Z α/2 *(σ/ n) Limite fiduciale inferiore = X - Z α/2 *(σ/ n) Di solito l intervallo di confidenza intorno alla media viene indicato come: X ± Z α/2 *(σ/ n) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 38

39 Un altra definizione dell intervallo di confidenza è l intervallo di valori della media campionaria che non avrebbe portato al rifiuto dell ipotesi nulla Ripetendo un campionamento dalla stessa popolazione ci aspettiamo che, se vale l ipotesi nulla, la proporzione di campioni il cui intervallo di confidenza non comprende il valore della media corrispondente all ipotesi nulla sia pari al valore dell errore di 1 tipo Dati i 50 campioni dell esercizio precedente, osserviamo che in tre casi l intervallo di confidenza non comprende la media Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 39

40 Esempio: calcolo dell intervallo di confidenza nel caso del primo esempio: N 15 Media campionaria mmhg (calcolo omesso) µ=145 mmhg δ=2,53 mmhg Limite superiore = *(2,53/ 15) = 147,85 Limite inferiore = *(2,53/ 15) = 150,41 147,85 <= µ <=150,41 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 40

41 Spesso non abbiamo informazioni sul parametro e la statistica campionaria è calcolata proprio per avere informazioni relative al valore (ignoto) del parametro In questo caso la soluzione adottata è quella di stimare la varianza della popolazione in base alla varianza del campione Si dimostra infatti che l Atteso della varianza campionaria è la varianza della popolazione, se il denominatore è (n-1) La varianza del campione però è affetta da variabilità casuale rispetto alla varianza della popolazione, a causa del campionamento Pertanto non potremo usare statistiche basate sulla distribuzione normale standardizzata, che risulterebbe troppo poco conservativa Gosset (che pubblicava con lo pseudonimo di Student) propose di utilizzare una famiglia di distribuzioni, con forma simmetrica e con ampiezza dipendente dal numero di osservazioni del campione: le funzioni di distribuzione t (o t di Student) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 41

42 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 42

43 La distribuzione t per 30 gradi di libertà è praticamente una distribuzione normale standardizzata Si noti che i valori di probabilità cumulativa esterni ad un dato valore di X sono maggiori man mano che si riduce il numero di gradi di libertà La probabilità corrispondente all intervallo tra un dato X e si legge su apposite tabelle Xxx tabella distribuzione t Nell inferenza sulle medie basata sull uso della distribuzione t dobbiamo distinguere tre diversi casi: - Confronto tra un campione e la media della popolazione - Confronto tra due campioni indipendenti - Confronto tra due campioni appaiati Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 43

44 Confronto tra un campione e la media della popolazione La logica del test è analoga a quanto già visto per il calcolo del test Z ma il test tiene conto del fatto che la varianza è stimata dal campione: t gl = (X - µ)/ (s/ n) X: media campionaria µ: media della popolazione s: deviazione standard del campione (s/ n): errore standard della media (cioè deviazione standard della media campionaria) n: numerosità del campione il numero di gradi di libertà è gl= n-1 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 44

45 Il test è di tipo parametrico, cioè è valido a condizione che: - nella popolazione la variabile sia distribuita secondo la distribuzione di probabilità gaussiana; - il campione abbia la stessa varianza della popolazione La prima assunzione è generalmente vera dato il teorema del limite centrale (sempre che n sia sufficientemente grande e la forma della distribuzione della popolazione non sia troppo asimmetrica) La seconda è vera se vale H0 (il campione appartiene alla popolazione), mentre non è valutabile altrimenti Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 45

46 Esempio Confronto della pressione sistolica tra un gruppo di pazienti affetti da una nuova forma di arteriopatia con la popolazione generale (è l esempio precedente, sviluppato senza fare uso della informazione sulla deviazione standard della popolazione) H lavoro= i soggetti considerati, affetti da una rara malattia delle arterie hanno pressione arteriosa (sistolica) diversa dalla popolazione generale L ipotesi è nata osservando che i primi casi diagnosticati avevano valori pressori molto elevati H0= media della popolazione: pressione sistolica 145 mmhg test a due code (sebbene l ipotesi di lavoro sia indirizzata maggiormente verso un rialzo pressorio, non ho informazioni sufficientemente forti da scegliere un test ad una coda) errore 1 tipo =005 numerosità campionaria non modificabile poichè sono inclusi tutti i pazienti disponibili Non è stata calcolata la potenza statistica Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 46

47 Test statistico: test t(confronto tra una media campionaria e la media della popolazione, senza dati sulla deviazione standard della popolazione) Requisiti del test scelto: La deviazione standard della misura della pressione della popolazione non è nota La distribuzione della variabile nella popolazione è gaussiana, pertanto anche piccoli campioni saranno distribuiti secondo tale distribuzione Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 47

48 I dati individuali: Obs pressure (mmhg) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 48

49 Le statistiche campionarie N 15 Mean Std Deviation Variance I parametri necessari per il test µ=145 mmhg s= Std Deviation Il valore della statistica t (errore 1 tipo <= 0,05 e test a due code, 14 gl) = 2,145 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 49

50 Il calcolo del test t 14 = (X - µ)/ (s/ n) t 14 = ( ) / (107/ 15) = = 1,496 Conclusione = non rifiuto l ipotesi nulla Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 50

51 Possiamo anche definire un intervallo di confidenza della media campionaria basandoci sul test e sulla distribuzione t L intervallo di confidenza è definito in modo tale da soddisfare la seguente equazione: [X - t gl,α/2 *(s/ n)] < µ < [X + t gl,α/2 *(s/ n)] Dove: t gl,α/2 = valore della funzione t con il numero dato di gradi di libertà corrispondente all errore di 1 tipo scelto Limite fiduciale superiore = X + t gl,α/2 *(s/ n) Limite fiduciale inferiore = X - t gl,α/2 *(s/ n) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 51

52 Esempio: calcolo dell intervallo di confidenza Risultati: N 15 Media campionaria 1491 mmhg (calcolo omesso) µ=145 mmhg s= 1072 mmhg Il valore della statistica t (errore 1 tipo <= 0,05 e test a due code, 14 gl) = 2,145 Limite superiore = ,145 *( 1072/ 15) = 154,56 mmhg Limite inferiore = ,145 *( 1072/ 15) = 143,71 mmhg Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 52

53 Estrazione di 50 campioni di numerosità 20 da una distribuzione gaussiana con µ=0 e δ ignota L errore standard è stato calcolato in base alla distribuzione t Le barre rappresentano l intervallo di confidenza al 95% Si noti che le barre sono di ampiezza diversa tra loro µ ID Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 53

54 Confronto tra due campioni indipendenti Nel caso del confronto tra due campioni indipendenti il test è costruito per valutare la probabilità (data H0) della differenza osservata tra le medie dei due campioni, correggendo per l errore standard Il calcolo dela differenza tra le due medie non pone difficoltà x = (X 1 X 2 ); Il calcolo dell errore standard richiede l individuazione di un valore comune della varianza Questo valore può essere stimato se i due campioni appartengono alla stessa popolazione (H0) oppure a due popolazioni diverse (H1) ma con varianza uguale In tal caso si potrà calcolare uno stimatore comune dell errore standard Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 54

55 Il caso di due campioni con varianze diverse esula da questo programma (si può comunque affrontare con i test non parametrici, considerati nelle prossime lezioni Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 55

56 Nel caso di due campioni con varianza comune, lo stimatore migliore della varianza comune è la media delle due varianze campionarie, pesata per il numero di gradi di libertà di ciascun campione S 2 = [(n 1-1)s (n 2-1)s 2 2 =] / [(n 1-1) + (n 2-1)] = {(n 1-1)Σ[(x 1 X 1 ) 2 /(n 1-1)] + (n 2-1)Σ[(x 2 X 2 ) 2 /(n 2-1)]} / [(n 1-1) + (n 2-1)] = {Σ(x 1 X 1 ) 2 + Σ(x 2 X 2 ) 2 } / [(n 1 + n 2-2)] = somma delle devianze / gradi di libertà s = s 2 ES(X 1 X 2 ) = (s 2 /n 1 + s 2 /n 2 ) = s 2 * (1/n 1 + 1/n 2 ) t gl = (X 1 X 2 ) / ES(X 1 X 2 ) = (X 1 X 2 ) / [ s 2 * (1/n 1 + 1/n 2 )] Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 56

57 Esempio: In un laboratorio si intende confrontare l effetto di due differenti diete sulla crescita di ratti La tabella indica l incremento di peso conseguito in 60 giorni H lavoro: la dieta 1 consente una più veloce aumento di peso H0: le due diete sono uguali per quanto riguarda l aumento di peso Test a 2 code Errore di primo tipo= 005 Numerosità campionaria definita in base al numero di animali già trattati con le due diete Errore di 2 tipo non misurato Test t-student (confronto tra medie di 2 campioni indipendenti) requisiti La distribuzione del peso degli animali è gaussiana Gli animali sono dello stesso ceppo, si suppone quindi che la varianza del peso sia la stessa e che le due diete non modifichino la varianza comune Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 57

58 I dati: Dieta 1 Dieta X 1 = 1200 X 2 = 1010 n 1 = 12 n 2 = 7 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 58

59 S 2 = {Σ(x 1 X 1 ) 2 + Σ(x 2 X 2 ) 2 } / [(n 1 + n 2-2)] Σ(x 1 X 1 ) 2 = 5032,00 Σ(x 2 X 2 ) 2 = 2552,00 S 2 = { } / 17 = ES(X 1 X 2 ) = s 2 * (1/n 1 + 1/n 2 ) ES(X 1 X 2 ) = * (1/12 + 1/7) = = 1004 t 17 = ( ) / 1004 = 189 p=0076 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 59

60 Calcolo dell intervallo di confidenza sulla differenza tra le medie L intervallo di confidenza viene calcolato rispetto alla differenza delle medie campionarie Indichiamo tale differenza come X [ X - t gl,α/2 *(s/ n)] < (x 1 x 2 ) < [ X + t gl,α/2 *(s/ n)] Dove: t gl,α/2 = valore della funzione t (con il numero dato di gradi di libertà) corrispondente all errore di 1 tipo scelto S: deviazione standard comune N: (1/n 1 + 1/n 2 ) Limite fiduciale superiore = X + t gl,α/2 *(s/ n) Limite fiduciale inferiore = X - t gl,α/2 *(s/ n) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 60

61 Calcolo dell intervallo di confidenza (continua dall esempio precedente) [ X - t gl,α/2 *(s/ n)] < (x 1 x 2 ) < [ X + t gl,α/2 *(s/ n)] X = (x 1 x 2 ) = 190 t 17,005/2 = 2110 ES(X 1 X 2 ) = ES( X) = 1004 Limiti di confidenza= 190 ± 2110 *1004 = -22; 402 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 61

62 Confronto tra due campioni appaiati (finire) E (X 1 X 2 ) = µ 1 - µ 2 Ma s s 2 2 < δ δ 2 2 Calcolo differenze d tra le osservazioni appaiate d 1 = x 1 - x 2 calcolo quindi media e varianza di d, usando le formule consuete Calcolo quindi la statistica t con gl=nosservazioni 1 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 62

63 I dati trattamento placebo diff Differenza media = - 1,30 n = 10 S 2 = Σ(d 1 D) 2 / (n) = 186,1 / 9 = 20,68 ES(d) = s 2 / 1/n Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 63

64 = 20,68 / 10 = 2,068 = 1,438 t 9 = -1,30 / 1,438 = - 0,90 p=039 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 64

65 Calcolo dell intervallo di confidenza sulla differenza tra le medie L intervallo di confidenza viene calcolato rispetto alla differenza media [D - t gl,α/2 *(s/ n)] < (x 1 x 2 ) < [D + t gl,α/2 *(s/ n)] Dove: t gl,α/2 = valore della funzione t (con il numero dato di gradi di libertà) corrispondente all errore di 1 tipo scelto S: deviazione standard della differenza Limite fiduciale superiore = D + t gl,α/2 *(s/ n) Limite fiduciale inferiore = D - t gl,α/2 *(s/ n) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 65

66 Calcolo dell intervallo di confidenza (continua dall esempio precedente) D = - 1,30 T 9,005/2 = 2262 ES(D) = 1,438 Limiti di confidenza= -1,30 ± 2262*1,438 = -4,55; 1,95 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia aa Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie 66