Statistica Corso di laurea in Biotecnologie I esonero - 23 aprile 2009

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1 Statistica Corso di laurea in Biotecnologie I esonero - aprile 00 Esercizio Con riferimento a due fenomeni X e Y sono state annotate le seguenti osservazioni: X 5 Y 7 8 a) determinare il grado di correlazione lineare tra X e Y ; b) trovare la retta di regressione di Y su X; c) disegnare lo scatter plot dei dati e la retta trovata; d) stimare il valore di Y quando X vale 6 Esercizio Si consideri la seguente distribuzione di frequenze relativa allo stipendio X, in euro, di certi dipendenti X Frequenze 000 < X < X < X < X 500 Tot 50 Riferendosi alla tabella in questione: a) determinare le frequenze percentuali e costruire il relativo istogramma; b) determinare la percentuale di dipendenti per i quali 00 < X 50; c) calcolare media, varianza e scarto quadratico medio della distribuzione; d) calcolare il primo quartile della distribuzione Esercizio Si estraggono a caso due carte (successivamente e senza reinserimento) da una scatola contenente cinque carte numerate:,,,, e a) Qual è la probabilità di estrarre le due carte col numero? Quale la probabilità di estrarre una carta col numero ed una col numero (in un qualunque ordine)? b) Detta X la variabile aleatoria massimo fra i due numeri usciti calcolare la distribuzione e la media di X Esercizio La probabilità che la squadra A vinca una qualunque partita in un certo torneo è / A gioca 5 partite Determinare la probabilità che A vinca a) almeno una partita; b) esattamente partite Esercizio 5 La frequenza cardiaca X dei giovani adulti ha una distribuzione che può essere ritenuta normale con media µ = 7 battiti al minuto e deviazione standard σ = battiti al minuto I requisiti d accesso ad una palestra escludono coloro che hanno una frequenza cardiaca troppo elevata a) Se il limite è fissato a 0 battiti al minuto Qual è la percentuale di giovani adulti che vengono esclusi? b) Se la palestra vuole escludere solo il 5% della popolazione giovane adulta dove deve fissare il limite?

2 Soluzioni S a) Riempiendo la tabella si ottiene X Y XY X Y da cui Pertanto, X = ( ) = 75 Y = ( ) = 775 XY = ( ) = 55 X = ( ) = 75 Y = ( ) = 685 s XY = XY XY = = 875 s X = X X = = 875 s Y = Y Y = = 8875 e quindi, il coefficiente di correlazione lineare è ρ XY = s XY s X s Y = = 0876, un ottimo livello di correlazione positiva c) La retta di regressione di Y su X è Y = âx + ˆb, dove â = s XY s X = 875 = e b = Y ax = 775 () 75 = 857, 875 quindi la retta richiesta è Y = X c) La retta di regressione passa per i punti di coordinate (0, 857) e (6, 7) d) Il valore stimato quando X = 6 è Y (6) = = 7 La stellina sul grafico lo rappresenta i

3 S Completiamo la tabella con le frequenze richieste X Frequenze Freq rel % 000 < X % 00 < X % 00 < X % 00 < X 500 % Tot 50 00% a) Ricordando che l area di ogni rettangolo deve dare le frequenze percentuali, si ottiene l istogramma seguente: b) Si tratta di calcolare l area dell istogramma ombreggiata compresa tra X = 00 e X = 50 Ovvero [ ]% = 0% c) Calcoliamo la media di X: X = 50 [ ] = 6 Ricordiamo che s X = X X, pertanto occorre calcolare X Si ha X = 50 [ ] = 68000, pertanto s X = = 88, s X = 88 = 560 d) q Il primo quartile q lascia a sinistra un area (quella ombreggiata) pari al 5% Si ha che q = 00 + x ed x è tale che: x 00 = 5, ovvero x = 0, quindi q = 0 ii

4 S /5 /5 /5 a) Rappresentiamo la situazione con un diagramma ad albero / / / / / / / / Quindi indichiamo con A l evento due carte col numero, B l evento una carta l altra Guardando l albero si ha subito: P(A) = 5 = 0, P(B) = = 5 b) Osserviamo che X assume valori in E = {,, } Sempre guardando l albero si ha Riportando in una tabella X prob /0 5/0 /0 c) P(X = ) = P(A) = 0 P(X = ) = = 5 0 P(X = ) = = 0 E[X] = = 0 S La va X= numero di partite vinte è una binomiale di parametri n = 5 e p = /, X Bi(5, /) a) La probabilità che A non vinca nessuna partita è, P(X = 0) = ( 5 0 ) ( ) 0( 5 ( ) 5 = = ) La probabilità che A non vinca almeno una partita è il complementare del precedente, ( ) 5 P(X ) = P(X = 0) = = b) La probabilità che A vinca partite è, ( ) 5 ( ) ( ( ) 5 80 P(X = ) = = 5 = ) S La va X= frequenza cardiaca è una normale di parametri µ = 7 e σ = 8, X N(7, 8) Pertanto si ha X = X µ σ = X 7 iii N(0, )

5 a) Si richiede P(X > 0) ( X 7 P(X > 0) = P > 0 7 ) = P(X > ) = Φ() = 0775 = 0075 Quindi la percentuale degli esclusi è il % circa b) In questo caso si cerca x tale che P(X > x) = 005 Ovvero si cerca un quantile della legge normale Deve essere P(X > x) = 005 ( X 7 P(X > x) = P > x 7 ) ( = P X > x 7 Dalle tavole ricaviamo x 7 = 6 = x = 86 Per scartare il 5% della popolazione occorre fissare il limite a 86 ) = 005 iv