Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale. Corso di Laurea in Sociologia. Insegnamento di Statistica (a.a ) dott.ssa Gaia Bertarelli

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1 Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale Corso di Laurea in Sociologia Insegnamento di Statistica (a.a ) dott.ssa Gaia Bertarelli Esercitazione n Si consideri un campione di 69 persone e la distribuzione doppia relativa al tempo per andare al lavoro (indicato con X e misurato in minuti) ed al numero di mezzi pubblici presi f i f.j Calcolare (a) Il numero medio di mezzi e il tempo medio per andare al lavoro del collettivo di interesse; (b) La varianza della distribuzione marginale di X e la varianza della distribuzione marginale di Y; (c) Il tempo medio impiegato per recarsi al lavoro relativo a coloro che prendono un solo mezzo pubblico e la varianza del tempo medio per lo stesso gruppo di lavoratori. Attenzione: Dobbiamo calcolare il punto medio dell intervallo. A prescindere che si decida di passare alle classi reali decidiamo per sempicità di calcolare sempre il punto medio della classe come x L+x l 2, considerando i valori come rappresentati nell intervallo, senza guardare a compreso o meno. Questo perchè alternativamente dovremmo far partire le classi da , che decidiamo di approssimare al valore intero pi prossimo. (a) x = 1 N k x i f i. = i=1 (10 14) + (30 25) + (50 30) 69 = 34.9 ȳ = 1 N k y j f.j = j=1 (0 5) + (1 17) + (2 38) + (3 9) 69 = 1.7 (b) σ 2 x = 1 N 3 (x i ) 2 f i. x 2 = = i=1 1

2 σ 2 y = 1 N 4 j=1 y 2 j f.j ȳ 2 = ? = 0.73 (c) x y = 1 = = σx y 2 = 1 = =

3 2. La quantità di precipitazioni (in mm) e le temperature medie (in gradi C) registrate in 8 stazioni meteorologiche sono state le seguenti: Stazione meteor Precipitazioni (in mm) Temperatura (in gradi C) (a) Si determinino, col metodo dei minimi quadrati, i parametri della retta di regressione che interpreta le Precipitazioni in funzione della Temperatura e si dia un interpretazione statistica ai valori ottenuti per i parametri della retta. (b) Si calcoli l indice di bontà di adattamento della retta dei m.q. e si commenti il risultato: possiamo affermare che la retta di regressione spiega più della metà della variabilità complessiva del carattere Precipitazioni? (c) Si determinino le precipitazioni medie previste per una temperatura pari a 25 gradi C e per una temperatura pari a 15 gradi C: quale delle due previsioni è più affidabile (giustificare la risposta)? Per come sono fatti i dati (non frequenze ripetute di coppie) conviene lavorare con la tanella dei dati grezzi. Tabella per i calcoli: i y i x i x i x y i ȳ (x i x) 2 (y i ȳ) 2 (x i x)(y i ȳ) ,13-27,88 4,52 777,02-59, ,13-21,88 0,02 478,52-2, ,88 30,13 3,52 907,52-56, ,13-24,88 9,77 618,77-77, ,88 55,13 23, ,77-268, ,13-42,88 17, ,27-176, ,13-30,88 1,27 953,27-34, ,88 63,13 15, ,77-244,61 Totale , ,88-921,13 Medie 56,88 15,88 (a) In base al metodo dei minimi quadrati, che minimizza la distanza fra i valori teorici e quelli osservati, il coefficiente angolare e l intercetta della retta di regressione sono dati da: b = σ N XY i=1 σx 2 = (x i x)(y i ȳ) 921, 13 N i=1 (x = = 12, 30 i x) 2 74, 88 Commento: a = ȳ b x = 56, 88 ( 12, 30) 15, 88 = 252, 17 - coefficiente angolare b: per ogni grado centigrado in più, le precipitazioni si riducono mediamente di 12,30 mm. 3

4 - intercetta a: è il valore atteso delle precipitazioni a 0 gradi C. Nota bene: il valore è privo di significato perché fuoriesce dal range di osservazione dei valori delle temperature (11-20). In effetti 0 gradi è la temperatura di congelamento dell acqua. (b) L indice di bontà di adattamento ρ 2 misura l adattamento della retta dei m.q. ai dati osservati. È una proporzione tra la variabilità dei dati e la correttezza del modello statistico utilizzato. Esso misura la frazione della varianza della variabile dipendente espressa dalla regressione. È interpretabile come l indice di correlazione lineare elevato al quadrato ma SOLO nel caso della retta dei minimi quadrati. Assume valori fra 0 e 1. ρ 2 è dato da: ρ 2 = [ N i=1 (x i x)(y i ȳ)] 2 N i=1 (x i x) 2 N i=1 (y i ȳ) = ( 921, 13)2 = 0, , , 88 Commento: il valore del coefficiente di determinazione è prossimo ad 1, dunque la retta stimata spiega molto bene l andamento dei dati osservati. In particolare, siccome la formula di cui sopra equivale al rapporto tra devianza spiegata e devianza totale D SL = D Y = N (ŷ i ȳ) 2 i=1 N (y i ȳ) 2, i=1 allora possiamo affermare che la retta di regressione spiega più della metà della variabilità totale delle Precipitazioni e, più precisamente, spiega l 89,9%. Attenzione (facoltativo): ρ 2 = DS (ŷ ȳ) 2 (â + DT = (yi ȳ) 2 = ˆbxi â ˆb x) (yi ȳ) 2 = 1 n 1 1 n 1 ˆb2 (x i x) 2 (yi ȳ) 2 V ar(x) = ˆb V ar(y ) = = [ Cov(XY ) ] 2 V ar(x) Cov(XY )2 = V ar(x) V ar(y ) V ar(x)v ar(y ) (c) Bisogna sostituire nella retta di regressione la x con i valori di temperatura per i quali di vogliono predirre le precipitazioni medie, ossia 25 e 15. I valori previsti richiesti sono dati da: ŷ = a + bx = 252, 17 12, = 55, 38 ŷ = a + bx = 252, 17 12, = 67, 64 Commento: il valore ottenuto per x = 25 è privo di significato, in quanto ottenuto per un valore che cade al di fuori del range di osservazione dei valori osservati di X, usati per determinare i parametri della retta di regressione (non posso osservare un valore negativo di precipitazioni. Al massimo si avrà 0). 4

5 3. Si consideri la seguente tabella che riporta la serie del numero di imprese fallite in un certo distretto industriale italiano tra il 2007 e il 2011: Anno Num. imprese fallite (a) Si determini con il metodo dei minimi quadrati la retta di regressione che spiega l andamento temporale del numero di imprese fallite. (b) Si indichi se la retta di regressione di cui al punto precedente spiega almeno il 50% della variabilità totale del fenomeno, giustificando la risposta tramite il calcolo di un opportune indice di bontà di adattamento. Tabella per i calcoli: y i x i y i ȳ x i x (y i ȳ) 2 (x i x) 2 (x i x)(y i ȳ) Totale Medie 46 3 (a) In base al metodo dei minimi quadrati, il coefficiente angolare e l intercetta della retta di regressione sono dati da (prendo i valori dalla tabella per i calcoli): b = N i=1 (x i x)(y i ȳ) N i=1 (x i x) 2 = = 3, 9 a = ȳ b x = 46 3, 9 3 = 34, 3 Commento: - coefficiente angolare b: per ogni anno trascorso, il numero di imprese fallite aumenta mediamente di 3,9 unità. - intercetta a: è il valore atteso del numero di imprese fallite in corrispondenza dell anno 0, cioè dell anno precedente al primo anno osservato. (b) L indice di bontà di adattamento ρ 2 è dato da: ρ 2 = [ N i=1 (x i x)(y i ȳ)] 2 N i=1 (x i x) 2 N i=1 (y i ȳ) = (39)2 = 0,

6 4. Otto lotti sono pronti per essere consegnati da parte di un fornitore. Il numero di componenti difettose in ciascun lotto è il seguente: Lotto Num. difetti Si supponga che un lotto scelto a caso tra gli otto sia fornito ad un determinato cliente e si definisca la variabile casuale X che esprime il numero di difetti presenti in un lotto. Determinare: (a) la distribuzione di probabilità della variabile casuale X; (b) la probabilit che almeno 3 pezzi siano difettosi; (c) il valore atteso e la varianza della v.c. X. (a) La distribuzione di probabilità f(x) di X si ottiene calcolando le frequenze relative delle modalità che X può assumere. X f(x) = P (X = x) F (x) = P (X x) 0 4/8 4/8 1 1/8 5/8 2 3/8 1 (b) tre non un valore del supporto della v.c. (c) E(X) = xf(x) = 0 4/ / /8 = 0, 875 Var(X) = [x E(X)] 2 f(x) = (0 0, 875) 2 4/8+(1 0, 875) 2 1/8+(2 0, 875) 2 3/8 = 0,

7 5. Si consideri la seguente distribuzione di probabilità congiunta: Y X ,1 0,2 0 0,3 0,1 1 0,1 0,2 Si calcolino: (a) i valori attesi e le varianze delle distribuzione marginali di X e Y ; (b) la covarianza tra le v.c. X e Y : sulla base di tale risultato possiamo affermare che X e Y sono indipendenti? (c) date le distribuzioni marginali delle v.c. X e Y, costruire la corrispondente distribuzione congiunta nel caso di indipendenza. (a) Le distribuzione marginali delle due v.c. sono le seguenti: X f X (x) 0,3 0,4 0,3 1 Y 0 1 f Y (y) 0,5 0,5 1 (b) σ XY da cui si possono calcolare i valori attesi e le varianze: E(X) = 1 0, , , 3 = 0 V ar(x) = ( 1 0) 2 0, 3 + (0 0) 2 0, 4 + (1 0) 2 0, 3 = 0, 6 E(Y ) = 0 0, , 5 = 0, 5 V ar(y ) = (0 0, 5) 2 0, 5 + (1 0, 5) 2 0, 5 = 0, 25 = x y (x µ X)(y µ Y )f(x, y) = ( 1 0)(0 0, 5)0, 1 + (0 0)(0 0, 5)0, 3 + (1 0)(0 0, 5)0, 1 + ( 1 0)(1 0, 5)0, 2 + (0 0)(1 0, 5)0, 1 + (1 0)(1 0, 5)0, 2 = 0 Anche se la covarianza è nulla non possiamo affermare che X e Y sono indipendenti, ma semplicemente che sono incorrelate (assenza di dipendenza lineare). (c) Date le distribuzioni marginali delle v.c. X e Y, la corrispondente distribuzione congiunta nel caso di indipendenza si ottiene moltiplicando le marginali, cioè f(x, y) = f X (x)f Y (y). La tabella di indipendenza è, quindi, la seguente: 7

8 Y X ,15 0,15 0 0,2 0,2 1 0,15 0,15 6. Un lotto di grandi dimensioni viene consegnato ad un fornitore, il quale, per decidere se accettare o rifiutare il lotto, estrae casualmente con ripetizione 10 pezzi dal lotto e lo accetta se al massimo 1 pezzo risulta difettoso. Si definisca la v.c. X = numero di pezzi difettosi nel campione. Assumendo che nel lotto siano presenti un 6% di pezzi difettosi, calcolare: (a) la funzione di probabilità della v.c. X; (b) la probabilità che il lotto sia accettato; (c) il numero medio atteso di pezzi difettosi; (d) la deviazione standard della v.c. X. (a) X è una v.c. Binomiale con parametri n = 10 e p = 0, 06, pertanto la distribuzione di probabilità richiesta è data da e, più precisamente, da P (X = x) = ( ) 10 0, 06 x 0, 94 (10 x) x = 0, 1,..., 10, x x f X (x) 0,5386 0,3438 0,0988 0,0168 0,0019 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 (b) Il lotto viene accettato se su 10 pezzi estratti al massimo 1 risulta difettoso, quindi: P (X 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0, , 3438 = (c) E(X) = n p = 10 0, 06 = 0, 6 (Verificare che si ottiene lo stesso risultato applicando la definizione di valore atteso) (d) Var(X) = n p (1 p) = 10 0, 06 0, 94 = 0, 564 (Verificare che si ottiene lo stesso risultato applicando la definizione di varianza) σ(x) = 0, 564 = 0,

9 7. Se il 20% dei bulloni prodotti da una certa macchina è difettoso, determinate la probabilità che, su 4 bulloni scelti a caso, (a) non ci siano bulloni difettosi; (b) ci sia un solo bullone difettoso; (c) ci siano al massimo due bulloni difettosi; (d) ci sia almeno un bullone difettoso. Si definisca la v.c. X = numero di bulloni difettosi prodotti da un macchinario su larga scala. X è una v.c. Binomiale avente parametri n = 4 (numero di bulloni estratti con ripetizione) e p = 0, 20 (probabilità di ottenere un bullone difettoso in un estrazione casuale). Pertanto, la distribuzione di probabilità di X è data da: P (X = x) = ( ) n p x (1 p) (n x) = x ( ) 4 (a) P (X = 0) = 0, , 80 4 = 0, 80 4 = 0, 4096 ( ) 4 (b) P (X = 1) = 0, , 80 3 = 4 0, 20 0, 80 3 = 0, 4096 ( ) 4 0, 20 x 0, 80 (4 x) x (c) P (X 2) = P (X = 0 X = 1 X = 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0, , , , 80 2 = 0, , , 1536 = 0, 9728 (d) P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 0, 4096 = 0,

10 8. Un esame a quiz comprende blocchi di 4 domande del tipo vero/falso. Si determini la funzione di probabilità della variabile casuale X, che esprime il numero di risposte corrette fornite, sotto le due seguenti ipotesi: (a) lo studente sceglie a caso; (b) la probabilità che uno studente risponda correttamente ad una generica domanda è pari a 0,85. Quindi, calcolare per ciascuna ipotesi la probabilità che il numero di risposte esatte siano: (a) almeno due, (b) meno di tre. In entrambi i casi la v.c. X = numero di risposte corrette presenta una distribuzione Binomiale con parametri n = 4 e p = 0, 50 nel caso (a) (lo studente sceglie a caso) oppure p = 0, 85 nel caso (b) (la probabilità che uno studente risponda correttamente ad una generica domanda è pari a 0,85). (a) P (X 2) = P (X = 2 X = 3 X = 4) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) Caso p = 0, 50: P (X 2) = 0, , , 0625 = 0, 6875 Caso p = 0, 85: P (X 2) = 0, , , 5220 = 0, 9880 (b) P (X < 3) = 1 P (X 3) = 1 P (X = 3) P (X = 4) Caso p = 0, 50: P (X < 3) = 1 0, 25 0, 0625 = 0, 6875 Caso p = 0, 85: P (X < 3) = 1 0, , 5220 = 0,