Statistica inferenziale

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1 Dipartimento di Fisica a.a. 2004/2005 Fisica Medica 2 Statistica inferenziale 6/5/2005

2 Relazione tra dati Possono esistere in uno studio connessioni tra dati differenti che possono legare caratteristiche: quantitative (pressione verso colesterolo) qualitative (professione figlio verso prof. padre) Noi ci interesseremo di dati quantitativi Correlazione: due variabili x, y interscambiabili tra loro (non esiste rapporto di antecedenza e conseguenza tra x ed y o viceversa) Regressione: ricerca della relazione funzionale tra variabile dipendente y ed una indipendente x

3 Correlazione Altezza (cm) Altezza verso peso (su un campione di 169 pazienti) Peso (kg) Non esiste una relazione funzionale univoca ma ad un aumento del peso corrisponde un aumento dell altezza! Correlazione positiva o diretta

4 Correlazione negativa Tempo in minuti Voti di un test verso il tempo impiegato Voto in trentesimi Non esiste una relazione funzionale univoca ma vi è una tendenza a rispondere correttamente in meno tempo Correlazione negativa od indiretta

5 Correlazione nulla Voti di ginnastica Voti fisica verso voti ginnastica Voti di fisica In questo caso, quando la variabile x aumenta, la variabile y può sia aumentare che diminuire Assenza di correlazione

6 Relazione funzionale Peso (g) 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 Trazione di un filo di rame Lunghezza (cm) Esiste una funzione lineare y = ax + b le deviazioni da andamento lineare sono dovuti da errori di misura Correlazione completa

7 Coefficiente di correlazione Il coefficiente di Pearson indica la correlazione R= (x i <x>)(y i <y>)/ (x i <x>) 2 (y i <y>) 2 R assume tutti i numeri reali tra -1 R 1 correlazione negativa completa ( 1), assenza di correlazione (0), correlazione positiva completa (+1) indicatore generale di correlazione può essere R 2 per R 2 > 0.5 si ha buona correlazione funzionale N.B. correlazione non implica relazione causale (se x è la causa allora y ne è l effetto)

8 Covarianza Come si è definita la varianza di una variabile x Var(x) = (x i <x>) 2 / N si definsce covarianza di due variabili x ed y Cov(x, y) = [ (x i <x>)(y i <y>)] / N La varianza non è che la covarianza di x con x Il coefficiente di correlazione R= (x i <x>)(y i <y>)/ (x i <x>) 2 (y i <y>) 2 Può essere quindi visto come R (x,y) = Cov(x, y) / Var(x) Var(y)

9 Validità correlazione Pensione annua (in ) rispetto ad anni contributi R = 0, R buono e valido cresce costantemente all aumentare degli anni di contributi R = 0, R ingannevole cresce rapidamente, ha un massimo e poi tende a decrescere

10 Regressione Correlazione: x e y sono variabili interscambiabili In un problema di regressione le due variabili non svolgono più un ruolo simmetrico ricerca di una relazione funzionale y = f(x) La variabile x (predeterminata dal ricercatore) è quella calcolata con la precisione maggiore - variabile y con distribuzione normale errori statistici σ y x uguali e gaussiani - osservazioni sulle y i siano indipendenti dalle x i y = a x + b Retta di regressione

11 Minimi quadrati Peso (kg) Altezze (cm) Il valore che minimizza la distanza (quadratica) tra il valore y i sperimentale ed il valore y i teorico y = 1,1039 x R 2 = R =

12 Estrapolazione y = 1,1039 x In base alla retta di regressione posso calcolare quanto dovrebbe pesare, in media, una persone di 150 cm 1, = kg 170 cm 1, = kg 190 cm 1, = kg 210 cm 1, = kg

13 Analisi dati Dato un file di dati questi dati sono compatibili tra loro (appartengono alla stessa popolazione)? Se ho dati compatibili posso effettuare una regressione (ossia predire dati medi della popolazione cui i dati appartengono)? Come posso affermare (estimatore R od R 2 ) che una retta di regressione è migliore di un altra? Per trovare quanto N dati sperimentali (valori osservati) possono essere ben rappresentati da una previsione teorica (valori aspettati) esistono test di significanza statistica Test del χ 2!

14 Metodo del χ 2 Il test del χ 2 definito come χ 2 = (x osservato x aspettato ) 2 / x aspettato Tanto più piccolo è il valore del χ 2 tanto migliore è la previsione teorica I gradi di libertà sono il numero di dati meno il numero dei parametri utilizzati per fittarli parametri della retta di regressione sono 2 (a e b) il numero di gradi di libertà ν (ndf) sono N 2 Ricordando N ± N: per buona significatività (χ 2 /ndf) deve essere circa uguale (o minore) di 1

15 Esempio Lunghezza fegato in funzione del suo peso lungh = peso Nome Aldo Albini Berto Bosco Carlo Carlini Dante Donati PRIVACY Elio Eliopoli Franco Fedeli media χ 2 = peso (g) Lungh. (cm) 28,70 29,30 30,80 34,00 39,60 43,50 34,32 predizione 29, , , , , , ,32 χ 2 / ndf = / 4 = χ 2 0, , , , , , , Ottima corrispondenza tra dati misurati e fittati!