STATISTICA. Regressione-2

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1 STATISTICA Regressione-2

2 Esempio Su un campione di =5unità sono state osservate due variabili, ed : x i y i Rappresentare l andamento congiunto di in funzione di mediante un opportuno grafico: le due variabili sono correlate? Come e quanto? 2. Determinare le stime dei minimi quadrati dei parametri della retta interpolatrice dei dati

3 Esempio x i y i Grafico di dispersione

4 Esempio x i y i ,, Grafico di dispersione

5 Esempio x i y i x i y i = 3, =2.6 =11 3 =2, = =0.44 = 1 = 1 5 = =0.8 = = =.

6 Esempio x i y i ,, =. Correlazione lineare positiva Grafico di dispersione

7 Esempio x i y i x i y i = 3, =2.6 =11 3 =2, = =0.44 = 1 = 1 5 = =. = =0.8 2 =. = = =.

8 Esempio x i y i =, =. =0.4 =1.4 =.+. =, =.+. = Grafico di dispersione

9 Esempio x i y i = 3, =2.6 =0.4 =1.4 =.+. Previsione: Grafico di dispersione =., =.+.. =

10 Esempio x i y i = 3, =2.6 La previsione è =0.4 attendibile? =1.4 solo se il modello = si adatta bene ai dati Previsione: =., =.+.. =. Grafico di dispersione

11 Regressione lineare =+ A. Valutazione preliminare se una retta possa essere una buona approssimazione ρ B. Stima dei parametri della retta. C. Valutazione della bontà di adattamento del modello ai dati

12 Esempio = 3, =2.6 x i y i COME LO VERIFICO? Grafico di dispersione CONFRONTANDO LE OSSERVAZIONI La previsione =0.4 è CON attendibile? LE PREVISIONI =1.4 solo se il modello = si adatta bene ai dati Previsione: CHE IL MODELLO FA PER QUELLE OSSERVAZIONI =., =.+.. =

13 La varianza spiegata dalla retta =+ 1 = 1 (+ ) = =+ = ( )+ = la media delle previsioni coincide con la media delle osservazioni

14 La varianza spiegata dalla retta = + 1 = 1 (+ ) = =+ = ( )+ = la media delle previsioni coincide con la media delle osservazioni se le previsioni sono molto vicine alle osservazioni anche le varianze saranno vicine! = ( ) = ( )

15 La varianza spiegata dalla retta = + 1 = 1 (+ ) = =+ = ( )+ = la media delle previsioni coincide con la media delle osservazioni se le previsioni non sono molto vicine alle osservazioni, la varianza dei dati sarà maggiore di quella delle previsioni

16 Spesa per consumi individuali Italia La varianza spiegata dalla retta PIL Italia Clima di fiducia in quale grafico le previsioni e le osservazioni sono più vicine? Spesa per consumi individuali Italia

17 La varianza spiegata dalla retta 1 = Spesa per consumi individuali Italia ( ) ( ) = PIL Italia = ( ) = ( )

18 La varianza spiegata dalla retta 1 = ( ) ( ) = Spesa per consumi individuali Italia Clima di fiducia = ( ) = ( )

19 Analisi della Varianza Fonte di variabilità Gradi di libertà (gl) SS (Sum of Squares) Mean Square (SS/gl) Retta di regressione Attorno alla retta 1 ( ) 2 Totale 1 ( ) num. di parametri stimati ( e ) 1 2 varianza spiegata varianza totale

20 Spesa per consumi individuali Italia La varianza spiegata dalla retta =. = PIL Italia Clima di fiducia in quale grafico le previsioni e le osservazioni sono più vicine? Spesa per consumi individuali Italia

21 La bontà della regressione ( ) ( ) = coeff. di determinazione 0 1 = BUON ADATTAMENTO :.. o. (per tendenze crescenti) (per tendenze decrescenti)

22 Esempio, Cont. x i y i Grafico di dispersione =.+. =. = () = = =. =

23 L indice non basta! 5 4 =. =

24 Regressione lineare: sunto GRAFICO DI DISPERSIONE & = = = A. Valutazione preliminare se una retta possa essere una buona approssimazione B. Stima dei parametri della retta. C. Valutazione della bontà di adattamento del modello ai dati NON BASTA!

25 Per fare un buon modello lineare serve: una correlazione alta alcune ipotesi che garantiscono la linearità del modello

26 Inferenza Il modello della regressione lineare semplice: = = + ~(, ) =+ + ~(+, )

27 Il modello di regressione lineare =+ +, ~(, ) ~(+, ) In questo modello, mi aspetto di osservare il valore = + (sulla retta), ma l incertezza del fenomeno può produrre un osservazione che non sta sulla retta. Questo errore, =,è supposto gaussiano, quindi non può essere troppo grande (" 3,3"), e deve essere simmetrico, nel senso che l istogramma degli deve dare una «campana» simmetrica. w Y X

28 Il modello di regressione lineare =+ +, ~(, ) ~(+, ) =, - non sono «troppo grandi»: ( 3,+3); - sono in parte positivi e in parte negativi; - il loro grafico è sparpagliato. w Y X

29 Verifica della Gaussianità

30 Verifica della Gaussianità La varianza non è costante ~(, )

31 Esempio, Cont. x i y i = 3, =2.6 =0.4 =1.4 =.+. = Grafico di dispersione

32 Esempio, Cont. x i y i =.+. =. = = Grafico di dispersione

33 Esempio, Cont. =.+. =. = =. = x i y i

34 Esempio, Cont. x i y i = =0.85 = =. =

35 Esempio, Cont. Sparpagliati attorno alla retta tratteggiata; =.+. abbastanza =0.85 simmetrici = =. = x i y i

36 Regressione lineare: GRAFICO DI DISPERSIONE & = = = & analisi residui A. Valutazione preliminare se una retta possa essere una buona approssimazione B. Stima dei parametri della retta. C. Valutazione della bontà di adattamento del modello ai dati

37 Esempio, Cont. I DATI SONO TROPPO =.+. POCHI PER =0.85 FARE UN ANALISI = =. SERIA DEI = RESIDUI! x i y i

38 Regressione lineare: GRAFICO DI DISPERSIONE & = = = & analisi residui A. Valutazione preliminare se una retta possa essere una buona approssimazione B. Stima dei parametri della retta. C. Valutazione della bontà di adattamento del modello ai dati D. Significatività della regressione

39 Inferenza Il modello della regressione lineare semplice: =+ ~(0, ) indipendenti =+ + Verificare se il vero valore della pendenza nella popolazione di riferimento è davvero diverso da zero ( previsioni!) oppure no: =,