Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale. Corso di Laurea in Sociologia. Insegnamento di Statistica (a.a ) dott.ssa Gaia Bertarelli

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1 Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale Corso di Laurea in Sociologia Insegnamento di Statistica (a.a ) dott.ssa Gaia Bertarelli Esercitazione n La seguente tabella riporta la distribuzione delle forze di lavoro per condizione professionale e ripartizione geografica di residenza per l anno 2007 (Fonte: ISTAT, Annuario Statistico Italiano 2008): Zona Occupati In cerca di Residenza Agricoltura Industria Terziario occupazione Nord-Ovest Nord-Est Centro Mezzogiorno (a) Si ottengano le distribuzioni marginali. (b) Si ottengano le distribuzioni condizionate percentuali rispetto all area geografica di residenza. (c) Dal confronto delle distribuzioni condizionate si indichi se esiste o meno dipendenza tra la zona geografica di residenza e la condizione lavorativa. (d) Si calcoli un opportuno indice di dipendenza e si commenti il risultato ottenuto. SOLUZIONE (a) Le distribuzioni marginali dei caratteri zona di residenza e condizione professionale si ottengono dai totali riga e colonna della tabella (facendo quindi in un caso la somma di tutti i valori su ogni riga e nell altro la somma di tutti i valori sulla colonna): Zona geografica f i. Condizione professionale f.j Nord-Ovest 7144 Agricoltura 924 Nord-Est 5210 Industria 7004 Centro 5052 Terziario Mezzogiorno 7324 In cerca di occupazione 1507 Totale Totale (b) Le distribuzioni condizionate percentuali rispetto all area geografica di residenza sono le seguenti: Il totale di riga, quindi il totale della modalit rispetto alla quale si condiziona, deve essere 100. Quindi per il nord ovest ad esempio si ha = 2, 20 per Agricoltura al nord-ovest, = 33, 05 per Industria al Nord-Ovest, e similmente fino a riempire la tabella. 1

2 Agricoltura Industria Terziario In cerca di occupazione Totale Nord-Ovest 2,20 33,05 60,97 3,78 100,00 Nord-Est 3,63 34,78 58,48 3,11 100,00 Centro 2,41 25,16 67,14 5,29 100,00 Mezzogiorno 6,23 21,30 61,44 11,03 100,00 (c) Le distribuzioni condizionate percentuali del punto precedente risultano lievemente differenti, in particolare quella del Mezzogiorno e del Centro rispetto alle zone Nord del paese. Qualora i due caratteri fossero stati indipendenti tali distribuzioni sarebbero risultate uguali. Per tale motivo ci aspettiamo la presenza di un certo grado di dipendenza. (d) La tabella di indipendenza in cui le frequenze teoriche (cioè nel caso di indipendenza) congiunte sono calcolate come f ij = f i.f.j /N è la seguente: Agricoltura Industria Terziario In cerca di occupazione Totale Nord-Ovest 266, , , , Nord-Est 194, , , , Centro 188, , , , Mezzogiorno 273, , , , Totale L indice di connessione χ 2 può essere calcolato come segue: χ 2 = ij (f ij f ij )2 f ij = ( , 925)2 ( , 315)2 ( , 311) = 939, , , , 311 L indice di connessione ci dice solo che, essendo diverso da zero, i due caratteri sono connessi. Per avere informazioni sul grado di connessione dobbiamo andare a studiare l indice di connessione normalizzato che è definito come la radice quadrata del rapporto fra l indice χ 2 e il suo valore massimo, ossia N min[(s 1), (t 1)] dove s e t sono il numero delle modalità per il carattere sulle righe e sulle colonne. L indice di connessione normalizzato di Cramer è sempre compreso fra 0 e 1. Moltiplicato per 100 è interpretabile come percentuale di connessione. È dato da χ 2 N = χ 2 N min[(s 1), (t 1)] = 939, , 969 = = 0, min[(4 1, 4 1)] % di connessione fra i caratteri distribuzione forze lavoro e zona di residenza. 2

3 2. Si voglia stabilire dalla seguente tabella (Hand et al., 1994) se tra il livello di colesterolo e i disturbi cardiaci esiste un legame associativo. Colesterolo Si Disturbi Cardiaci No Disturbi Cardiaci Totale < > Totale SOLUZIONE La risposta a quesito si ricava dall osservazione delle distribuzioni condizionate del carattere disturbi cardiaci espresse in forma percentuale e riportate di seguito. Le distribuzioni condizionate percentuali sono state ottenute sostituendo alle frequenze assolute quelle percentuali, calcolate ponendo uguale a 100 il totale di riga. Quindi, per esempio, la percentuale 3.5 nella prima tabella data da Si deve ricorrere alle percentuali perchè le distribuzioni condizionate iniziali non sono comparabili, avendo totali diversi. Colesterolo Si Disturbi Cardiaci No Disturbi Cardiaci Totale < > Come si osserva le tre distribuzioni condizionate differiscono sensibilmente: l incidenza dei disturbi cardiaci passa dal 3.5% per un livello di colesterolo normale al 6.6% per un livello di colesterolo lievemente superiore alla norma, al 14.3% per un livello elevato. La conclusione è che esiste un qualche grado di connessione fra i due caratteri. 3

4 3. La quantità di precipitazioni (in mm) e le temperature medie (in gradi C) registrate in 8 stazioni meteorologiche sono state le seguenti: Stazione meteor Precipitazioni (in mm) Temperatura (in gradi C) (a) Si rappresentino graficamente i dati tramite un diagramma di dispersione. (b) Si calcoli il coefficiente di correlazione e si commenti il risultato. SOLUZIONE In questo esercizio ci conviene lavorare con la matrice dei dati grezzi poichè ciascuna coppia di modalità dei due fenomeni osservati compare per una sola unità. Costruiamo quindi la tabella per i calcoli partendo dalla matrice dei dati grezzi: i y i x i x i x y i ȳ (x i x) 2 (y i ȳ) 2 (x i x)(y i ȳ) ,13-27,88 4,52 777,02-59, ,13-21,88 0,02 478,52-2, ,88 30,13 3,52 907,52-56, ,13-24,88 9,77 618,77-77, ,88 55,13 23, ,77-268, ,13-42,88 17, ,27-176, ,13-30,88 1,27 953,27-34, ,88 63,13 15, ,77-244,61 Totale , ,88-921,13 Medie 56,88 15,88 4

5 (a) Diagramma di dispersione y x (b) Il coefficiente di correlazione lineare fra due variabili X e Y misura la relazione statistica di tipo lineare fra le due variabili. È definito come la loro covarianza (σ XY ) divisa per il prodotto delle deviazioni standard (o scarto quadratico medio σ X e σ Y ) delle due variabili. Assume valori fra -1 e +1 e fornisce indicazioni sia sul verso sia sull intensità della correlazione fra le due variabili. Se ρ = 1 X e Y sono perfettamente e negativamente correlate Se ρ = +1 X e Y sono perfettamente e positivamente correlate Se ρ = 0 X e Y sono incorrelate I valori intermedi sono interpretabili come percentuale di correlazione (negativa per valori compresi fra 0 e -1 e positiva per valori compresi fra 0 e +1) A volte su alcuni eserciziari si può trovare definito il coefficiente di correlazione lineare come il rapporto fra la codevianza (ossia il numeratore della covarianza C XY ) e il prodotto della devianza delle due variabili (ossia il numeratore della deviazione standard (o scarto quadratico medio) D X e D y ). Le due formule sono equivalenti in quanto la numerosità N a denominatore nella covarianza e le due numerosit N a denominatore delle due deviazioni standard si annullano a vicenda nel rapporto che definisce il coefficiente di correlazione lineare ρ. Nel calcolo del coefficiente di correlazione lineare ρ a partire dai dati della tabella per i calcoli per la matrice dei dati grezzi noi utilizzeremo effettivamente questa seconda formulazione. Quindi 5

6 ρ è dato da ρ = σ XY σ X σ Y = C XY D X D Y = N i=1 (x i x)(y i ȳ) N i=1 (x i x) = 2 N i=1 (y i ȳ) 2 921, 13 74, , 88 = 0, 948. (Si osservi che in questo caso l indice i somma tutte le unità, quindi arriva fino a N, non raggruppa le modalità). Commento: il coefficiente di correlazione assume un valore negativo prossimo al limite inferiore -1, indicando un elevata associazione lineare negativa tra precipitazioni e temperatura (Si ricordi che il coefficiente di correlazione pu variare fra -1 e 1). 6

7 4. ESERCIZIO DI RIPASSO (indici di variabilità in presenza di una carattere diviso in classi) La tavola che segue riporta la popolazione appartenente alle forze di lavoro per classi di età quinquennali e condizione professionale per la Provincia di Perugia (Fonte: ISTAT, Censimento 2001): Classi di età Occupati Disoccupati e più Totale (a) Si confronti la variabilità delle due distribuzioni sulla base di un opportuno indice di variabilità. SOLUZIONE Tabelle per i calcoli: Occupati Classi di età c i 1 c i x i f i F i p i Φ i x i p i (x i x)2 p i , ,012 0,012 0,213 6, , ,070 0,082 1,571 22, , ,122 0,204 3,353 20, , ,147 0,351 4,771 9, , ,157 0,508 5,884 1, , ,143 0,650 6,069 0, , ,128 0,779 6,097 6, , ,116 0,895 6,097 16, , ,058 0,953 3,335 16, , ,029 0,982 1,794 14, e più 65 67, ,018 1,000 1,229 12,963 Totale , ,597 Si noti che siamo passati alle classi reali. L età media degli occupati è pari a x = k i=1 x i p i = 40, 414, mentre per i disoccupati è pari a x = k i=1 x i p i = 32, 093. La varianza degli occupati è pari a: σ 2 = k i=1 (x i x)2 p i = 127, 597, mentre per i disoccupati è pari a σ 2 = k i=1 (x i x)2 p i = 108,

8 Disoccupati Classi di età c i 1 c i x i f i F i p i Φ i x i p i (x i x)2 p i , ,088 0,088 1,532 18, , ,192 0,279 4,310 17, , ,223 0,502 6,125 4, , ,164 0,666 5,333 0, , ,125 0,791 4,678 3, , ,084 0,875 3,571 9, , ,056 0,931 2,652 13, , ,036 0,966 1,888 14, , ,021 0,988 1,218 13, , ,009 0,997 0,564 8, e pi 65 67, ,003 1,000 0,224 4,046 Totale , ,029 (a) Per confrontare la variabilità delle due distribuzioni utilizzo il coefficiente di variazione (medie diverse nei due gruppi): CV = σ µ 100. Per gli occupati ottengo CV = 127,597 40, = 27, 95 e per i disoccupati CV = 108,029 32, = 32, 39. Quindi, la variabilità del carattere età è maggiore tra i disoccupati. Si noti che se, erroneamente, ci fossimo basati sulla varianza (o sullo scostamento quadratico medio) saremmo pervenuti alla conclusione opposta. 8

9 5. ESERCIZIO DI RIPASSO (distribuzioni marginali e condizionate) La seguente tabella descrive i clienti di un certo negozio in possesso di una carta sconto, in base al genere (X) e al numero di libri acquistati nell ultimo mese (Y). Numero libri acquistati Maschi Femmine (a) Quali sono le unità statistiche? Qual è la natura dei caratteri osservati? (b) Si rappresentino graficamente i dati della tabella. (c) Si determinino le distribuzioni marginali del Numero di libri acquistati e del Sesso. (d) Si determini la proporzione di soggetti che hanno acquistato al massimo 1 libro nell ultimo mese. (e) Si determinino le distribuzioni secondo il Numero di libri acquistati, fatte con le frequenze relative, condizionate al Sesso e si commentino i risultati, discutendo in particolare se il Numero di libri acquistati è indipendente dal Sesso. (f) Sulla base dei risultati di cui al punto (e), si consideri la distribuzione marginale secondo il Numero di libri acquistati e se ne calcoli la mediana. (g) Si calcolino la media e la deviazione standard del Numero di libri acquistati separatamente per i maschi e per le femmine e si confronti la variabilità utilizzando la metodologia più appropriata. SOLUZIONE (a) Le unità statistiche sono i clienti del negozio in possesso di una carta di sconto. Il numero di libri acquistati è un carattere quantitativo discreto; il sesso è un carattere qualitativo sconnesso o nominale. 9

10 (b) Rappresentazione grafica dei dati: (c) Distribuzioni marginali: Numero libri acquistati Totale Maschi Femmine Totale (d) Proporzione di soggetti che hanno acquistato al massimo un libro nell ultimo mese = = ( )/154 = 0,47. (e) Distribuzione condizionata del Numero di libri letti secondo il Sesso: Numero libri acquistati Totale Maschi 0,18 0,42 0,20 0,12 0,08 1,00 Femmine 0,07 0,35 0,29 0,19 0,11 1,00 Totale 0,10 0,37 0,26 0,17 0,10 1,00 Commento: dal momento che la distribuzione del Numero di libri letti dato il Sesso è diversa per maschi e femmine possiamo concludere che i due caratteri non sono indipendenti. In effetti, la frequenza relativa condizionata di Numero di libri letti è maggiore per i maschi per le modalità 0 e 1 ed è superiore per le femmine per le restanti modalità. (f) Frequenze assolute cumulate marginali del Numero di libri letti: Num. libri F i La mediana : 10

11 x 0.5 = m = 2; (g) Tabella per i calcoli: Maschi Femmine x i p i x i p i x i x (x i x) 2 p i p i x i p i x i x (x i x) 2 p i 0 0,18 0,00-1,50 0,41 0,07 0,00-1,92 0,25 1 0,42 0,42-0,50 0,11 0,35 0,35-0,92 0,29 2 0,20 0,40 0,50 0,05 0,29 0,58 0,08 0,00 3 0,12 0,36 1,50 0,27 0,19 0,58 1,08 0,22 4 0,08 0,32 2,50 0,50 0,11 0,42 2,08 0,46 Totale 1,50 1,33 1,92 1,22 Quindi: Sesso x σ CV Maschi 1,50 1,15 76,88 Femmine 1,92 1,11 57,55 Commento: sulla base del coefficiente di variazione si osserva che la variabilità del carattere considerato è maggiore per i maschi rispetto alle femmine. 11

12 6. Si consideri la seguente distribuzione doppia di 10 capoluoghi di regione, secondo la Percentuale di superficie verde ed il Numero di centraline per il monitoraggio dell aria ogni 100 kmq. (cfr. Italia in cifre, Anno 2008, pag. 6 ): Capoluoghi % Superficie verde 16,2 11,4 8,6 5,4 28,1 1,5 23,9 0,9 33,9 52,9 Centraline per 100 kmq. 4,6 4,4 5,0 5,9 4,0 5,4 6,8 2,3 5,7 8,2 Per la distribuzione in oggetto: (a) si calcoli la covarianza tra i due caratteri, commentando il senso del valore ottenuto; (b) si calcoli l indice di correlazione lineare ρ e si commenti. SOLUZIONE Come nell esercizio due lavoriamo con la matrice dei dati grezzi. I calcoli necessari per svolgere l esercizio sono contenuti nella tabella che segue. Capoluoghi x i y i (x i x) (y i ȳ) (y i ȳ)(y i ȳ) (x i x) 2 (y i ȳ) ,2 4,6-2,1-0,6 1,3 4,3 0,4 2 11,4 4,4-6,9-0,8 5,7 47,3 0,7 3 8,6 5,0-9,7-0,2 2,2 93,7 0,1 4 5,4 5,9-12,9 0,7-8,6 165,9 0,4 5 28,1 4,0 9,8-1,2-12,1 96,4 1,5 6 1,5 5,4-16,8 0,2-2,9 281,6 0,0 7 23,9 6,8 5,6 1,6 8,8 31,6 2,5 8 0,9 2,3-17,4-2,9 50,9 302,1 8,6 9 33,9 5,7 15,6 0,5 7,3 244,0 0, ,9 8,2 34,6 3,0 102, ,5 8,8 Totali 182,8 52,3 155, ,4 23,2 (a) Se entrambi i fenomeni sono quantitativi è possibie calcolare la covarianza, una sorta di misura della variabilità congiunta, che indichiamo con σ XY. La covarianza può assumere valori positivi, negativi od essere nulla. Dalla tabella risulta che la codevianza pari a C xy = i (y i ȳ)(y i ȳ) = 155, 6. La covarianza si calcla dunque come σ X,Y = C xy N = 155, 6 = 15, Il segno positivo indica relazione di concordanza (associazione positiva) tra i due caratteri in esame, ovvero che all aumentare della superficie verde tende anche ad aumentare il numero di centraline per il controllo dell aria. (b) Per quanto riguarda il coefficiente di correlazione lineare avremo: ρ = caratteri. Cxy D xd y = 155, ,4 23,2 = 0, 65, che indica un discreto grado di correlazione tra i due 12