Materiale didattico per il corso di Statistica I Seconda esercitazione SOLUZIONI

Transcript

1 Materiale didattico per il corso di Statistica I Seconda esercitazione SOLUZIONI Claudia Furlan Anno Accademico Ringrazio Carlo Gaetan, Nicola Sartori e Aldo Solari per il materiale, aggiunte e correzioni.

2 0. Misure di variabilità (e di posizione) Esercizio. Siano i dati originari (che sono in numero di n): i ȳ = = = 42, 5 n 20 var(y) = 66, 95 i y2 i n sqm(y) = var(y) = 2, 92 ȳ 2 = campo di variazione=max y min y=65-2=44 42, 5 2 = 973, 2 42, 5 2 = scarto interquantile=8 (già calcolato nella prima esercitazione) il coefficiente di variazione è: CV (y) = sqm(y) ȳ = 2, 92 42, 5 = 0, Sia ȳ la media dei dati e sqm(y) il relativo scarto quadratico medio, allora: z i = ( ȳ) sqm(y) = ȳ sqm(y) + sqm(y). Sia z la media degli z i e var(z) la varianza, allora: z = var(z) = ȳ sqm(y) + sqm(y)ȳ = 0, (sqm(y)) 2var(y) =. 3. Siano yi i valori centrali degli intervalli (per esempio per il primo intervallo: y = (9 + 30)/2 = 24, 5): yi F i [9, 30) 24,5 3 3 [30, 45) 37,5 8 [45, 60) 52,5 6 7 [60, 70) ȳ = i y i i = 24, = 44, 75 var(y) = i y 2 i i ȳ 2 = 24, , 75 2 = 6, 732 sqm(y) = var(y) = 2, 77

3 Per il calcolo dei quartili si riprende la formula dell interpolazione lineare (esercizio 0 della prima esercitazione): dalle frequenze assolute cumulate, il primo quartile si trova nell intervallo [30, 45), perchè corrisponde al valore della quinta posizione: Q = x 0,25 = (5 3) = 33, 75 8 dalle frequenze assolute cumulate, il terzo quartile si trova nell intervallo [45, 60), perchè corrisponde al valore della quindicesima posizione: Q 3 = x 0,75 = (5 ) = 55 IQ = 55 33, 75 = 2, 25 CV (y) = sqm(y) ȳ = 0, 288 Le differenze tra i valori ottenuti con i dati originari e quelli ottenuti con i dati raggruppati sono tanto più piccole quanto sono meno ampie le classi (e viceversa). Esercizio 2 Il coefficiente di variazione per il tubo A è 0.87, mentre quello per il tubo B è Di conseguenza si sceglie B, perché ha media maggiore e variabilità più bassa. Nel caso il tubo B avesse avuto media più grande ma anche variabilità più grande, che cosa si decideva? In genere, si preferisce una media maggiore o una variabilità minore? In questi casi, si opta per una valutazione di tipo soggettivo: dipenderà dal tipo di problema e dalla grandezza della media e della variabilità. Esercizio 3 Sia ȳ la media e var(y) la varianza delle osservazioni y,..., y 4 (n=4). Visto che: n n ( K) 2 = ( ȳ) 2 + n(ȳ K) 2 = n var(y) + n(ȳ K) 2, allora i= i= 4 ( K) 2 = 4 var(y) + 4(ȳ ȳ 3) 2 = 4 var(y) + 36 i= che è uguale a 00. Da cui var(y) = 6. Sostituendo tale valore nella formula del coefficiente di variazione si ottiene ȳ = 20. Esercizio 4 Siano i minuti indicati con m Tenendo presente che la mediana è 3m, la media è 4.3m, il primo quartile è 2m e il terzo quartile è 5m, si può concludere che: le ferrovie potrebbero proporre la mediana (risente poco del ritardo di 24m, infatti la mediana non sarebbe cambiata se si avesse avuto un ritardo di m al posto di 24m!), la televisione locale la media (risente del ritardo di 24m) e un valutatore imparziale il primo e il terzo quartile (valutazione più completa). 2

4 4 Il campo di variazione è 28m; la varianza è 353, 0m 2 ; lo scarto quadratico medio è 36, 783m; il coefficiente di variazione è 2, La variabilità è alta per la presenza del dato la mediana (3m) rimane la stessa, mentre la media (3.m) diminuisce. A questo punto l informazione data dalla mediana è equivalente a quella data dalla media. I quartili considerati sono gli stessi. La variabilità diminuisce; infatti, il campo di variazione è 6m, la varianza è 24, 69m 2, lo scarto quadratico medio è 4, 969m, il coefficiente di variazione è, Quello che differisce tra i due casi è la coda destra, che con i dati originari è molto più lunga per la presenza del 24. A parte questo ultimo valore, in entrambi i casi la distribuzione sembra essere piuttosto simmetrica, con la coda destra comunque un pò più lunga (si costruiscano i diagrammi a scatola per conferma). 9 Per la funzione di ripartizione empirica vedere Fig.. Vale: 0 in 0: No, in 24: Si, in 40: Si. Fn(x) ritardo Figura : Funzione di ripartizione empirica, esercizio 4. Esercizio 5. NO, perché è la somma degli scarti dalla media è sempre zero indipendentemente dalla variabilità dei dati. 2. SI, perché è la distanza interquantile. 3

5 3. Si, perché è la media geometrica. Infatti: { } { n n } { n } { exp log = exp n n log = exp log y n i = exp log i= i= 0.2 Variabili categoriali e Tabelle di contingenza i= n i= y n i } = n i= y n i Esercizio 6 La distribuzione di frequenza è: m i p i G 5 0,29 M 7 0,42 P 5 0,29. Il diagramma a barre si trova nella Fig La moda è la modalità con frequenza più alta e quindi è M. 3. L indice di Gini è: G = k p i ( p i ) = 0, 29( 0, 29)+0, 42( 0, 42)+0, 29( 0, 29) = 0, 655 i= dove k = 3 è il numero delle modalità. L indice di Gini normalizzato è: G norm = G k = 0, 983. k L entropia di Shannon è: H = k p i ln p i = (0, 29 ln0, , 42 ln0, , 29 ln0, 29) =, 082 i= dove ln è il logaritmo in base e. L entropia di Shannon normalizzata è: H norm = H/ ln(k) = 0, 985. Entrambi gli indici normalizzati sono molto vicini a : si è, quindi, vicini alla situazione di massima mutabilità, cioè la situazione in cui tutte le modalità hanno la stessa frequenza. NOTA: L entropia di Shannon normalizzata non dipende dalla base del logaritmo. Quindi, si può utilizzare il log, il logaritmo in base 0, al posto di ln nel calcolo sia del numeratore (che è l entropia di Shannon) che del denominatore di H norm : il risultato finale sarà lo stesso di quando si utilizza sempre il logaritmo in base e (log b x = log b c log c x di conseguenza log b x/ log b y = log c x/ log c y). Esercizio 7 Sia Agricoltura, foreste, caccia, pesca=agr, Industrie=IND e Altre attività=alt RO. Le distribuzioni di frequenze della popolazione residente, per anno, sono: 4

6 G M P Figura 2: Diagramma a barre, esercizio m i p i AGR ,29 IND ,406 ALTRO , m i p i AGR ,72 IND ,443 ALTRO ,384 Per i diagrammi a barre, si veda la Fig. 3. La moda è IND in entrambi i casi AGR ALTRO IND AGR ALTRO IND Figura 3: Diagrammi a barre, esercizio 7. L indice di Gini normalizzato è 0,987 per il 96 e 0,939 per il 97. L entropia di Shannon normalizzata è 0,989 per il 96 e 0,938 per il 97. 5

7 Entrambe le situazioni sono vicine alla massima mutabilità, soprattutto per quanto riguarda il 96. Esercizio 8 La tabella di contingenza è 2 3 Tot Tot La distribuzione marginale dell Affezione bronchiale è: 0 39 La moda è 0. L indice di Gini norm. è L entropia di Shannon norm. è La distribuzione marginale dell Attitudine al fumo è: La moda è. L indice di Gini norm. è L entropia di Shannon norm. è Le 3 distribuzioni dell Affez. bronch. condizionate all Attitudine al fumo sono: FUMO= FUMO= FUMO= Per un confronto, tramite i diagrammi a barre, si usano le frequenze relative, visto che le numerosità totali nei tre casi sono differenti: FUMO= p i 0 22/28=0,786 6/28=0,24 FUMO=2 p i 0 7/9=0,777 2/9=0,223 6 FUMO=3 p i 0 0/3=0,769 3/3=0,23

8 FUMO= FUMO=2 FUMO= Aff. Bronch Aff. Bronch Aff. Bronch. Figura 4: Diagrammi a barre, esercizio 8. Si veda Fig. 4: la distribuzione dell Aff. bronchiale non sembra dipendere dall Attitudine al fumo. Sembra esserci indipendenza in distribuzione. Le 2 distribuzioni dell Attitudine al fumo condizionate all Affez. bronch. sono: ATT= ATT= Per un confronto, tramite i diagrammi a barre, si usano le frequenze relative, visto che le numerosità totali nei tre casi sono differenti. Si veda Fig. 5: la distribuzione dell Attitudine al fumo non sembra dipendere dall Aff. bronchiale. Sembra esserci indipendenza in distribuzione (lo si aveva visto già con le altre distribuzioni condizionate rappresentate in Fig. 4.). AFF=0 AFF= Att. fumo Att. fumo Figura 5: Diagrammi a barre, esercizio 8. 7

9 Per valutare correttamente l eventuale indipendenza in distribuzione calcolo il χ 2 di Pearson: r c χ 2 (j = ˆj ) 2 ˆj i= j= dove r è il numero di righe della tabella di contingenza calcolata nel primo punto dell esercizio (cioè il numero di modalità dell Affezione bronchiale), c è il numero di colonne (cioè il numero di modalità dell Attitudine al fumo), j sono le frequenze della tabella di contingenza e ˆj sono le frequenze attese in condizioni di indipendenza in distribuzione: ˆj = +f +j f ++. Per esempio ˆf = = 2, 84, 50 ˆf 2 = 9 39 = 7, 02, ˆf 2 = = 6, 6, e così via fino a formare la sequente tabella di frequenze 50 attese: Quindi: 2 3 Tot. 0 2,84 7,02 0,4 39 6,6,98 2,86 Tot χ 2 = (22 2, 84)2 2, 84 + (7 7, 02)2 7, (3 2, 86)2 2, 86 = 0, 04. A questo punto normalizziamo l indice: χ 2 = χ 2 n min {r, c } = 0, 04 0, 04 = 50 min {, 2} 50 = Il χ 2 di Pearson è molto vicino allo zero, quindi effettivamente ci avviciniamo alla situazione di indipendenza in distribuzione. Esercizio 9 Le distribuzioni marginali sono i totali di riga (per Partito) e di colonna (per l Opinione). Le distribuzioni condizionate sono le righe interne alla tabella per le Opinioni (dato il Partito); sono le colonne interne alla tabella per il Partito (dato le Opinioni). Il χ 2 di Pearson è 0.05: c è una lieve evidenza di dipendenza tra le due variabili. 8

10 Esercizio 0 Tabelle delle frequenze attese sotto l ipotesi di indipendenza. Diminuzione Dose Nulla Parziale Completa Tot Tot χ 2 di Pearson: C è dipendenza tra Diminuzione della massa tumorale e Dose somministrata. Esercizio. Per esempio, decido di rappresentare nella Fig. 6 la distribuzione del farmaco, data la risposta del cambiamento del dolore. Siamo vicini a una situazione di indipendenza in distribuzione. Nessun effetto Dolore diminuito Dolore assente Nuovo Vecchio Nuovo Vecchio Nuovo Vecchio Figura 6: Diagrammi a barre, esercizio. La stessa cosa si evince dalla distribuzione del cambiamento del dolore, dato il tipo di farmaco (Fig. 7). 2. χ 2 di Pearson: Siamo molto vicini allo 0, quindi siamo vicini all indipendenza in distribuzione tra tipo di farmaco e cambiamento del dolore. Il farmaco nuovo non sembra essere, quindi, più efficace di quello vecchio. Esercizio 2. I dati sono rappresentati nella Fig χ 2 di Pearson: C è dipendenza in distribuzione: al cambiare del tipo di reddito cambia la distribuzione delle azioni. Esercizio 3 χ 2 di Pearson: C è una lieve evidenza di dipendenza tra le due variabili. 9

11 Farm. Nuovo dol. ass. dol. dim. ness. eff Farm. Vecchio dol. ass. dol. dim. ness. eff. Figura 7: Diagrammi a barre, esercizio. Reddito R Reddito R A A2 A A A2 A3 Figura 8: Diagrammi a barre, esercizio 2. 0