Statistica Corso Base (Serale) Dott.ssa Cristina Mollica

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1 Statistica Corso Base (Serale) Dott.ssa Cristina Mollica Indici di variabilità Esercizio 1: Si è ottenuta la seguente distribuzione del numero di patenti possedute su un collettivo di n = 80 soggetti Numero Patenti Frequenze Totale 80 (1) proporre delle misure di variabilità per il carattere in esame; (2) calcolare gli indici proposti al punto precedente; (3) definire e rappresentare graficamente la funzione di ripartizione empirica; (4) fornire un esempio di distribuzione con variabilità nulla. (1) il carattere è quantitativo discreto, pertanto come misure di variabilità si possono calcolare: range, differenza interquartile, varianza, scostamento quadratico medio; (2) calcoliamo le quantità necessarie x k n k f k F k x k n k xk 2 xk 2n k da cui si ottiene - R = x Min x Min = 4 0 = 4; - W = x III x I = 2 1 = 1; - σ 2 = = = 0.85; σ = σ 2 = 0.85 = 0.922; 1

2 2 (3) x < x < x < 2 F n (x) = x < x < x 4 Funzione di ripartizione empirica Fn(x) x (4) la variabilità si annulla se tutte le unità presentano la medesima modalità del carattere, ad esempio x k n k

3 3 Esercizio 2: Si consideri il collettivo di n = 80 soggetti dell Esercizio 1, sul quale si è osservato anche il numero di unità immobiliari possedute Numero Immobili Frequenze Totale 80 (1) determinare i quartili della distribuzione e lo scarto interquartile; (2) calcolare lo scostamento quadratico medio; (3) il collettivo studiato è più eterogeneo in termini di numero di patenti o unità immobiliari possedute?; (4) quanto vale la devianza?. (1) calcoliamo le quantità necessarie x k n k f k F k x k n k xk 2 xk 2n k da cui si ottiene x I = x II = x III = 1, W = x III x I = 1 1 = 0; (2) σ 2 = = = σ = σ 2 = = 1.508; (3) per confrontare la variabilità rispetto a due caratteri differenti si utilizza il coefficiente di variazione CV 1 = = CV 2 = = da cui concludiamo che la variabilità associata al numero di unità immobiliari è maggiore di quella riscontrata per il numero di patenti possedute; (4) la devianza è il numeratore della varianza dunque. Dev = =

4 4 Esercizio 3: È stato chiesto ad un gruppo di utenti Facebook di giudicare il loro consumo del social network. Le risposte registrate sono le seguenti Eccessivo Moderato Moderato Patologico Eccessivo Scarso Frequente Eccessivo Scarso Moderato Frequente Moderato Frequente Moderato (1) come misureresti l eterogeneità rispetto all uso del social network degli utenti Facebook esaminati?; (2) indicare la distribuzione di frequenze relative nel caso di massima eterogeneità; (3) determinare il valore degli indici di eterogeneità di Gini e di entropia di Shannon nella situazione descritta al punto precedente; (4) come interpreti i risultati ottenuti per la distribuzione di partenza?. (1) Il carattere rilevato è qualitativo ordinato rettilineo e si possono considerare l indice di eterogeneità di Gini e di entropia di Shannon per valutare il grado di eterogeneità nell uso di Facebook degli utenti osservati; Dal calcolo della distribuzione di frequenze relative, si ottiene Consumo n k f k f 2 k log f k f k log f k Scarso Moderato Frequente Eccessivo Patologico da cui deriva E 1 = 1 5 k=1 f 2 k = = E 2 = 5 k=1 f k log f k = (2) il caso di massima eterogeneità si ha quando le unità sono equiripartite tra le modalità del carattere; Consumo n k Scarso 1/5=0.2 Moderato 0.2 Frequente 0.2 Eccessivo 0.2 Patologico (3) nel caso di massima eterogeneità gli indici valgono rispettivamente E1 max = K 1 = 4/5 = 0.8 Emax 2 = log K = log 5 = 1.61 K

5 5 (4) Per interpretare i risultati conviene considerare la versione relativa degli indici, ottenuti come e 1 = E 1 K 1 K = 0.757/0.8 = e 2 = E 2 = /1.61 = log K Dal momento che i valori sono vicini ad uno, concludiamo che c è una forte disuguaglianza nel collettivo in esame rispetto all uso del social network.

6 6 Esercizio 4: Da un collettivo di n = 40 unità si è ottenuto i=1 n s = (x i x) 2 = 6 n 1 (1) determinare la varianza; (2) dato che n i=1 x2 i = 39.1 n quanto vale la media della distribuzione? (1) σ 2 = s 2 n 1 = n 40 = 35.1 ove la quantità s 2 è nota come varianza corretta ed ha un ruolo importante nell ambito della statistica inferenziale; (2) la media aritmetica può essere ottenuta sfruttando la formula semplificata della varianza i=1 n x = ± x2 i σ n 2 = ± = ±2.