Corso di Statistica. Variabilità ed eterogeneità. Prof.ssa T. Laureti a.a

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1 Corso di Statistica Variabilità ed eterogeneità Prof.ssa T. Laureti a.a

2 Variabilità Il calcolo di una media non esaurisce la descrizione sintetica di un fenomeno osservato in un collettivo Due insiemi di valori o due distribuzioni di frequenza, pur avendo lo stesso valore medio, possono essere molto differenti tra di loro Gli indici di variabilità forniscono informazioni complementari a quelle degli indici medi

3 La variabilità VARIABILITA : : attitudine di un carattere ad assumere diverse modalità Varianza (σ ); Indici di variabilità Deviazione standard (σ); Coefficiente di variazione (CV); - Un indice di variabilità deve assumere il valore minimo se e solo se tutte le unità della distribuzione presentano uguale modalità del carattere; - Un indice di variabilità deve aumentare all aumentareaumentare della diversità tra le modalità assunte dalle varie unità; 3

4 La variabilità (distribuzioni teoriche) unità Reddito Reddito Reddito A (000) B (000) C (000) X A = X B = X C = 0 4

5 Riprendiamo la nostra matrice dei dati Punti Ricavi Costi addetti ubicazione Genere Vendit R.O vendita respons. a On-line centro maschio si periferia maschio si semicentro femmina no periferia femmina no centro maschio no centro maschio no periferia maschio no semicentro femmina no centro femmina si 40 5

6 Variabilità Ricavi Distribuzioni teoriche Ricavi (A) Ricavi (B) Ricavi (C) Le 3 distribuzioni teoriche hanno la stessa media della distribuzione osservata x = 35 La sintesi con la media aritmetica porta allo stesso risultato Eppure le distribuzioni sono molto diverse tra di loro Distribuzione osservata n=9 6

7 Indici di variabilità: il campo di variazione o range Ricavi Ricavi Ricavi Ricavi (A) (B) (C) x min x max Range=x max -x min Distr. A Variabilità nulla Tutti iii valori uguali Passando da A a B e da B a C, aumenta la variabilità perché i valori cadono in un range sempre più ampio 7

8 Misure di variabilità come ampiezza di un intervallo Il range (o campo di variazione) range = x max x min è l ampiezza dell intervallo che contiene tutti i valori La differenza interquartile dq = Q 3 Q è l ampiezza dell intervallo che contiene il 50% dei valori (quelli centrali) La variabilità aumenta al crescere di questi indici 8

9 Misure di variabilità come dispersione dalla media Si considerano le distanze dei termini xi della distribuzione dalla media aritmetica: Media = ( x x), ( x x),, ( x n x) ( x ) ( ) ( ) x, x x,, x n x Queste quantità indicano il grado di diversità dei termini della distribuzione rispetto alla media aritmetica Facendo una sintesi di tali distanze tramite una media si ottiene un indice di variabilità

10 Misure di variabilità come dispersione dalla media La varianza σ è funzione delle differenze (scarti) tra ogni valore x i e la media x n σ = ( xi x) σ 0 n = La devianza è il numeratore della varianza Dev(X) = ( x i x ) = n i= 0

11 Misure di variabilità come dispersione dalla media La deviazione standard (o scarto quadratico medio) è la radice quadrata della varianza n σ = x i x ( ) n i = Il coefficiente i di variazione i CV è il rapporto tra la dev. standard e la media moltiplicato per 00 CV = σ 00 x > 0 x

12 Ricavi x j Scarti dalla media Variabilità-esempio Quadrato degli scarti (x j -μ) (x j -μ) n ( xi x) = 0 i= n Per la proprietà della media ( xi x) = Dev(X) = 6300 i= Devianza=6300 Dev(X) n n ( x x) i = = σ = n i= 6300 = σ ( x x) 833,3 = Varianza=833,3 n i = n i = 34, = n media μ = x = 35 = 833,3 7 = Dev.std.=34,7

13 Variabilità dei ricavi dei punti vendita Un basso grado di variabilità indica che i punti vendita realizzano performance simili (i ricavi si discostano poco tra di loro) Viceversa un alto grado di variabilità fa capire che c è una certa eterogeneità nei risultati delle vendite ottenuti nei diversi negozi 3

14 Confronto tra due distribuzioni in termini di variabilità CV si calcola per confrontare la variabilità della distribuzione del carattere X con quella del carattere Y quando sono espressi o con diversa unità di misura o con diverso ordine di grandezza Se CV X >CV y allora la variabilità del carattere X è maggiore di quella del carattere Y 4

15 Varianza di una distribuzione di frequenza Addetti Numero (x j ) punti vendita (n j ) totale 9 μ = x = 6, (x j -μ) *n j 9,34 4,45 0,04 0,79 30,6 K 54,88 σ = ( x j x) nj = = 6, 0 n j= 9,47 σ = 6,0 =,47 CV = 00 = 40,43% 43 6, 5

16 Formula alternativa per il calcolo della varianza σ σ n xi x n i= = K = x n j= j n j x da un insieme di n valori da una distribuzione di frequenza con K valori distinti Varianza di una trasformazione lineare La varianza di un carattere Y Y = α X + β La varianza di un carattere ottenuto dalla trasformazione di un carattere X con media e varianza è: Var x ( ) Y = α σ σ 6

17 Box plot max L altezza del box indica la dispersione del 50% delle osservazioni centrali intorno alla mediana. Si evidenzia una certa simmetria nella parte centrale, dato che la differenza Q -Q non è molto diversa da Q 3 -Q icavi Ri min Q 3 Q Q I segmenti esterni al box indicano la dispersione dei valori estremi. Si nota una maggiore dispersione del 5% dei valori più grandi, dato che la differenza max-q 3 è molto maggiore di Q -min 7

18 Box plot: ricavi e costi Ricavi Costi 8

19 Teorema di Chebyshev Nell intervallo ( x kσ, x + kσ ) cade una proporzione (freq. rel.) di valori almeno pari a k qualunque sia la forma della distribuzione k Proporzione minima di osservazioni x kσ che cadono tra e -/ =0 -// =0, /3 =0,89 4 -/4/4 =0, x + kσ Almeno il 75% dei valori è compreso nell intervallo centrato intorno alla media di ampiezza pari a due volte la deviazione standard 9

20 Applicazione del Teorema di Chebyshev h Riguardo alle spese sostenute per la protezione dell ambiente nell ultimo trimestre da un gruppo di imprese estrattive, si è osservato x = 390 e σ = 780 Senza avere altre informazioni su come sono distribuite le spese, posso concludere che almeno il 75% delle imprese ha speso un ammontare compreso tra 830 e 3950 (si applica il Teorema con k=) x x + kσ = kσ = Alternativamente ti t concludo che non più del 5% delle imprese ha sostenuto spese ambientali inferiori a 830 o superiori a = = 830 0

21 La standardizzazione La standardizzazione è una particolare trasformazione lineare che applicata ai dati originali i riconduce qualsiasi variabile X con media x e deviazione i standard d σ a una nuova variabile con media nulla e varianza unitaria. Ogni osservazione x i viene trasformata t in un nuovo valore: x x y i i = σ La distribuzione risultante ha media nulla e varianza unitaria.

22 La standardizzazione-esempio Punti vendita Addetti Addetti standardizzata 6-0, , ,5753,5753 0, ,600 -,600-0, ,85500 μ = x = 6, σ = 6,0 =, 469 y = 6 6,,469

23 Confronto del rendimento di due investimenti (uguale media) F F 003 7,7 6, , 5, ,4 3, 006 9,8 7, 007 3,5 4,9 media 5,5 5,5 var 0,7,8 Negli ultimi cinque anni, due fondi di investimento F e F hanno avuto lo stesso rendimento medio annuo, ma le varianze sono molto diverse Var(F )>Var(F ) Una varianza maggiore indica che rendimenti molto diversi dalla media sono più frequenti Maggiore volatilità Maggior rischio A parità di rendimento medio, il cliente che è disposto ad accettare un rischio più alto sceglierà di investire in F 3

24 Confronto del rendimento di due investimenti (media diversa) F F 003 9,7, , 9, ,9, 006 9,9, 007 7,5 4,9 media 7,0,5 Il rendimento di F ha registrato una media e una varianza superiore a quello di F Si può concludere che F rappresenta un investimento più rischioso rispetto a F? var 0,6,5 Le due medie hanno un ordine di grandezza diverso CV 46,5 49,3 la variabilità si confronta con CV A F è associata una variabilità (volatilità) più bassa ( ) p 4

25 Omogeneità ed eterogeneità Sono aspetti della variabilità di un carattere qualitativo Eterogeneità nulla (o massima omogeneità) Il carattere assume un unica modalità (tutte le unità del collettivo presentano quella modalità) Eterogeneità massima (o minima omogeneità) Il carattere presenta tutte le modalità e a ciascuna di esse è associata la stessa frequenza 5

26 Eterogeneità Eterogeneità nulla (tutte le unità hanno la stessa modalità) Eterogeneità massima (a ciascuna modalità è associata la stessa frequenza) Mod. Feq Freq. rel. a Mod. Freq. rel. a /k a /k a k /k 6

27 Indice di eterogeneità Mod. Freq. Freq. Indice di rel. eterogeneità di Gini a n f K E = f j j= a n f a j n j f j a K n K f K 0 E K K Indice relativo di eterogeneità di Gini = E K = E K K K e 0 e 7

28 Eterogeneità dell ubicazione dei punti vendita Ubicazione del p.v. F. ass. (n j ) F. rel. (f j ) Centro 4 0,45 Semicentro 0, Periferia 3 0,33 Totale 9,00 f j 00 0,0 0,05 0, 0,36 E K = fj = 0,36 = 0,64 E K = j= 0,64 e = = 0,67 0,96 0 = K 3 0,67 8

29 Eterogeneità dell ubicazione dei punti vendita C è un elevato grado di eterogeneità La distribuzione osservata si avvicina a quella che si avrebbe nella situazione i di massima eterogeneità Distr. osservata Distr. con la max eterog. Ubicazione F. ass. F. rel. (f j ) F. ass. F. rel. del p.v. (n j ) (n j ) (f j ) Centro 4 0,45 3 0,33 Semicentro 0, Periferia 3 0,33 Totale 9,00 3 0,33 3 0,33 9,00 9