Corso di Statistica. Medie,Moda. Prof.ssa T. Laureti a.a Corso di Statistica a.a DEIM, Univ.TUSCIA - Prof.

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1 Corso di Statistica Indici di posizione: Medie,Moda Mediana, Quartili, Percentili Prof.ssa T. Laureti a.a

2 Indicatori sintetici Gli aspetti più importanti di una distribuzione di frequenza riguardano:. La posizione INDICI STATISTICI DI POSIZIONE (MODA, MEDIANA,MEDIE) SCOPO: SINTETIZZARE in un singolo valore numerico l intera distribuzione ib i di frequenza per effettuare confronti nel tempo, nello spazio o tra circostanze differenti. 2. La variabilità INDICI STATISTICI DI VARIABILITA SCOPO: misurare L ATTITUDINE di un fenomeno ad assumere differenti modalità 3. La forma INDICI DI ASIMMETRIA SCOPO: misurare la SIMMETRIA di una distribuzione rispetto ad un punto notevole (es.: rispetto ad una misura di posizione) 2

3 Tendenza centrale: la media Il modo più intuitivo per sintetizzare un insieme di valori passa attraverso il calcolo della media Media (aritmetica) punto di equilibrio o baricentro dell insieme di valori È una media analitica, funzione di tutti i valori 3

4 Calcolo della media dei ricavi Conoscendo i ricavi dei 9 punti vendita dell azienda,,posso essere interessato ad ottenere il ricavo medio, un unico valore rappresentativo dell intero insieme Si sommano i ricavi di tutti i punti vendita e il risultato si divide per il numero delle osservazioni (n9) 4

5 Calcolo della media Punti vendita Ricavi Somma dei ricavi i (Intensità totale del carattere) Media dei ricavi 2925: L intera torta rappresenta la somma dei ricavi di tutti i punti vendita La singola fetta 5 rappresenta la media dei ricavi Σ2925 5

6 Formula della media Media 325 Dati n valori osservati, 2,, n di un carattere quantitativo X a n ( n ) n n i i 6

7 Effetto dei valori estremi Se il valore estremo fosse 800 invece di 600 la media aumenterebbe (il punto di equilibrio si sposta verso destra) Media 347,22 La media aritmetica risente fortemente dei valori estremi 7

8 Media di una distribuzione di frequenza 6 è il numero Addetti Numero punti j *n j complessivo di (valori j ) vendita addetti nei primi 3 (frequenze n j ) punti vendita 3 2 3*26 4 4*4 8 è il numero complessivo di 6 3 6*38 addetti nei 2 punti 7 7*7 vendita in ciascuno 0 2 0*220 dei quali lavorano 6 addetti K nj n 9 n 55 K j 55 è il numero j j complessivo di addetti K K (l intensità totale del j nj j nj carattere) j j 55 Media 6, a K n n j j j 9 8

9 Media di una distribuzione di frequenza con classi di valori Classi di superficie (in ettari) Numero aziende (n j ) Valore centrale classi (c j ) 0,5,5 25 2,5 4 7,5 c j *n j n K n j 3 c j n j 8095, 5 j Fonte: Borra-Di Ciaccio, pag. 7 K j K c n j j j a 60 n , , ,5 La superficie media di una azienda agricola è di 7,27 ettari 9

10 Media aritmetica ponderata Uno studente ha sostenuto i seguenti esami del I anno del corso di laurea di EA. Come calcola la media dei voti? N. Esame voto cfu Ec. Aziend./Rag. Gen I mod Ist. diritto pubblico Metodi di matematica applicata Macroeconomia Rag. Gen II mod /Bilancio e principi

11 Media aritmetica ponderata: calcolo N. voto cfu voto*cfu Esame ( i ) (p i ) ( i *p i ) n p i i i a n i p i n p i 39 i p i 972 i 24,92 n i Il voto medio (su 39 cfu) è pari a 24,92

12 Media aritmetica ponderata i due voti più bassi pesano di meno nel calcolo della media perché sono due esami da 6 cfu Media ponderata 24,92 2

13 Media aritmetica ponderata La media aritmetica ponderata di un insieme di n Media aritmetica ponderata valori osservati di un carattere quantitativo X con pesi non negativi, è quindi espressa dalla seguente formula: k + + k j j j k k p p p p k j j j k k k a p p p p j 3

14 Media come parametro per le decisioni Un azienda che vuole farsi pubblicità su una rivista può scegliere la rivista in base al costo medio dello spazio pubblicitario rapportato alla tiratura della rivista stessa, preferendo quelle riviste con un indicatore del costo per lettore inferiore alla media Tiratura T Costo medio C/T (in migliaia di spazio pubblic. C copie) (in euro) Rivista A ,45 Rivista B ,23 Rivista C ,67 4

15 Proprietà della media aritmetica. La somma dei valori osservati è uguale al valore medio moltiplicato per il numero di unità: n i n a i 2. La m.a. è compresa tra il più piccolo e il più grande dei dati osservati 3. La somma degli scarti dalla m.a. è uguale a zero: n ( ) 0 i a i 4. La somma dei quadrati degli scarti dei valori osservati da una costante c è minima quando c è uguale alla media aritmetica: n 2 ( c) è minimo per c i i a 5

16 Proprietà della media aritmetica 5. Se un collettivo di n unità statistiche viene suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti di numerosità n, n 2,,n L con media g, 2,, L X, X,..., X a() a(2) a( L) allora la media generale si può ottenere come media ponderata delle medie dei sottoinsiemi con pesi uguali alle loro numerosità n a ah ( ) n n n i 6. La media aritmetica di un carattere Y, ottenuto attraverso una trasformazione lineare Ya+bX di un carattere X di media a è uguale a: y a+ b a a h 6

17 Proprietà della media aritmetica Esempio Su un campione di 5 famiglie è stato rilevato il numero di auto possedute ottenendo i valori seguenti:,2,3,4,5 La media aritmetica data da a ( ) 3 5 Verifichiamo le precedenti proprietà: Proprietà. Il prodotto 355 è uguale al totale del carattere Proprietà 2. La media, 3 è maggiore di e minore di 5 Proprietà 3. Vale l identità ( 3) + ( 2 3) + ( 3 3) + ( 4 3) + ( 5 3) 0 Proprietà 4. Ponendo per esempio c2 si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mentre per la m.a. si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

18 Proprietà della media aritmetica Esempio Proprietà 5. Se con i dati iniziali si formano due sottoinsiemi, rappresentati ad esempio dalle famiglie che vivono in centro e da quelle che vivono in periferia si ottiene: Centro Periferia media,5 4 5, a 3 5 Proprietà 6. Applicando ad esempio la trasformazione y+3 ai dati iniziali si ottiene: 4,7,0,3,6 La media della nuova distribuzione ib i è uguale a 0; tale quantità può essere calcolata applicando la trasformazione y+3 alla media iniziale y a 8

19 La media geometrica calcolo co o sulla distribuzione unitaria a n g 2 n g n calcolo l sulla distribuzione ib i di frequenze n n n n... K 2 K 2 g oppure f f f 2 K g... 2 K 9

20 Mediana È il valore che occupa la posizione centrale nell insieme ordinato di tutti i valori min ( ) ( 2)... ( n) ma Tra () e Me è Tra Me e (n) è contenuto il 50% contenuto il restante dei valori 50% dei valori X() Me X(n) È una media di posizione 20

21 Come individuare la posizione centrale o rango della mediana Insieme di n valori n dispari la posizione centrale è data da Me n+ 2 n pari le posizioni centrali sono due, n e 2 Me n n ( n + ) 2 n 2 + Di solito Me + n 2 2 n + 2 2

22 Calcolo della mediana In un insieme i di 9 valori, la posizione i centrale è la quinta. Il termine che occupa la quinta posizione è la mediana X X X Elimino ogni volta l osservazione più piccola e quella Mediana 280, più grande cioè il valore che occupa la quinta posizione X X 22

23 Calcolo della mediana Se il valore estremo fosse 800 invece di 600 la mediana resterebbe invariata X X X X X Mediana 280 La mediana non è influenzata dalla presenza di valori estremi Fornisce una misura della tendenza centrale migliore rispetto alla media quando ci sono alcune osservazioni molto grandi o molto piccole 23

24 Mediana da una distribuzione di frequenza Addetti Numero Frequenze ( j ) punti vendita cumulate n + 0 rango Me 5 (n j ) N j Me ( 5 ) La mediana è il valore che occupa la quinta posizione Sulla colonna delle frequenze cumulate si individua la prima N j che è uguale o maggiore del rango Il corrispondente valore j è la mediana della distribuzione Me6 24

25 Mediana da una distribuzione di frequenza (con le freq. rel. cum.) Addetti Numero Frequenze Frequenze ( j ) punti vendita cumulate rel cum. (n j ) N j F j , , ,67 0,78,00 Sulla colonna delle frequenze relative cumulate si individua d la prima F j che è uguale o maggiore di 0,5 Il corrispondente valore j è la mediana della distribuzione Me6 25

26 Mediana di una distribuzione di frequenza con classi di valori Classi di superficie (in ettari) Numero aziende (n j ) Freq. cumulate (N j ) rango mediana L elemento che occupa la posizione 557 è uno dei 22 valori della classe La mediana è contenuta nella Oltre classe 3-5 n

27 Mediana di una distribuzione di frequenza con classi di valori Classi di superficie (in ettari) Numero aziende (n j ) Freq. cum. (N j ) Freq. rel. cum. (F j ) 20 0, , , , , , ,98 Oltre ,000 I m estr inf della classe mediana3 F m- freq rel cum fino alla classe precedente a quella mediana 0,449 F m freq rel cum fino alla classe mediana0 0,640 Δ m ampiezza della classe mediana 5-32 Me I 0,5 Fm 0,5 0,449 + Δm Fm Fm 0,640 0,449 m 3,

28 Mediana di una distribuzione di frequenza con classi di valori F m 0,640 F C Assunzione: Nella classe mediana le unità si distribuiscono ib i uniformemente 0,5 E Le freq rel cum crescono linearmente F m- 0,449 A D B I m 3 Me 5 La formula deriva dalla similitudine tra i due triangoli rettangoli ABC e ADE Me I 0,5 Fm 0,5 0,449 + Δm Fm Fm 0,640 0,449 m 3,

29 Quartili Sono 3 indici di posizione, Q Q 2 e Q 3 min ( ) ( 2)... ( n) ma Tra () e Q è contenuto t il 25% dei valori (più bassi) Tra Q 3 e (n) è contenuto t il 25% dei valori (i più alti) X() Q Q2Me Q3 X(n) Tra Q e Q 2 è contenuto il 25% dei valori Tra Q 2 e Q 3 è contenuto il 25% dei valori 29

30 Primo quartile Q Q Primo quartile: è preceduto dal 25% dei termini (e seguito dal 75%) n dispari n pari Q Q n+ 4 n + n Se n (o n+) non è divisibile per 4, il rango può non essere un numero intero In ogni caso, Q è il primo valore i in corrispondenza del quale la frequenza cumulata relativa 0, 25 F j 30

31 Terzo quartile Q 3 Q3 Terzo quartile: è preceduto dal 75% dei termini (e seguito dal 25%) n dispari Q 3 3 n pari Q 3 + 3n 4 (n+ ) 4 2 3n + 4 Se n (o n+) non è divisibile per 4, il rango può non essere un numero intero In ogni caso, Q 3 è il primo valore i in corrispondenza del quale la frequenza cumulata relativa 0, 75 F j 3

32 Calcolo dei quartili Ricavii Ricavi Freq. (valori cum. rel. ordinati) X () 80 /90, La prima F i ad essere maggiore o uguale a 0,25 è la terza Q (3 ) 205 X (2) 200 2/90,22 Il 25% dei punti vendita con i ricavi X (3) 205 3/90,3333 più bassi registrano ricavi che non superano 205 mila euro X (4) 270 4/90,44 X 280 5/90,56 La prima F i ad essere maggiore o (5) uguale a 0,75 è la settima X (6) 340 6/90,67 X (7) 350 7/90,78 X (8) 500 8/90,89 X (9) 600 9/9 Q (7) Per essere nel 25% dei punti vendita con i ricavi più alti si devono superare 350 mila euro di ricavi 32

33 Calcolo dei quartili: distribuzione in classi- Terzo quartile Classi di superficie (in ettari) Numero aziende (n j ) Oltre 40 2 Freq. cumulate (N j ) rango primo quartile ( n + ) 4 3 ( 3 + ) 835,5 4 L elemento che occupa questa posizione è uno dei 205 valori della classe 5-0 Il terzo quartile è contenuto nella classe 5-0 Osservare la prima F i ad essere maggiore o uguale a 0,75 33

34 Calcolo dei quartili: distribuzione in classi- Terzo quartile Classi di superficie (in ettari) Numero aziende (n j ) Freq. cum. (N j ) Freq. rel. cum. (F j ) 20 0, , , , , , ,98 Oltre ,000 I Q3estr inf della classe in cui cade il Q 3 5 F Q3- freq rel cum fino alla classe precedente a quella in cui cade il Q 3 0,640 F Q3 freq rel cum fino alla classe in cui cade il Q 3 0,824 Δ Q3 ampiezza della classe in cui cade il Q Q 3 0, 75 F Q ,75 0, I + Q Δ + 3 Q 5 5 7,99 3 F Q F 3 Q3 0,824 0,640 34

35 Percentili Sono quei valori che dividono la distribuzione in cento parti di uguale numerosità Mediana50-esimo percentile Q3 75-esimo percentile P0 decimo percentile: lascia alla sua sinistra il 0% dei valori P90 novantesimo percentile: lascia alla sua destra il 0% dei valori 35

36 Moda È la modalità più frequente In un insieme di valori: quel termine che si ripete più volte In una distribuzione di frequenza: quella modalità che ha la frequenza più alta In una distribuzione di frequenza con classi di valori: ogni valore della classe con la più alta densità di frequenza 36

37 Moda di un insieme di valori Punti Genere vendita respons. maschio 2 maschio 3 femmina La modalità del carattere Genere del responsabile che si ripete più volte (5 volte ) è maschio 4 femmina 5 maschio Moda maschio 6 maschio 7 maschio 8 femmina 9 femmina La maggioranza dei punti vendita ha come responsabile un uomo 37

38 Moda di una distribuzione di frequenza Addetti Numero (valori punti distinti) vendita (frequenze) La frequenza maggiore è 3 La modalità del carattere Numero di addetti cui è associata la frequenza maggiore è Moda6 La maggioranza dei punti vendita ha un numero di addetti pari a 6 38

39 Moda di una distribuzione di frequenza con classi di valori Classi di superficie (in ettari) Numero aziende (n j ) Ampiezza classe (aj) Densità di freq (dj) , ,525 La classe modale è 2-3 In presenza di classi di ampiezza diversa, la classe modale è quella che ha la densità di frequenza maggiore 39

40 Moda Può non esistere Può non essere unica Può essere una modalità poco rappresentativa del fenomeno Per chi vende abbigliamento, la moda rappresenta un parametro utile per decidere in merito a come rifornire il negozio: saranno ordinati più capi delle taglie più diffuse 40

41 Esempio: calcolo diversi indici di posizione n N F X j j j j ,667 0, ,5833 0, ,967 0, ,0000 0,05 Totale 2 h Q 36 M e 54 Q , Classe modale

42 Confronto tra diversi indici di posizione 020 0,20 0,0 0,05 0 M Q e Q , 42 X i

43 Calcolo dei valori medi in base Media al tipo di carattere Caratteri Quantitativi Qualitativi Qualitativi ordinati sconnessi Mediana Moda 43