Statistica Sociale - modulo A

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1 Statistica Sociale - modulo A stella.iezzi@uniroma2.it

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3 Uno dei principali limiti della media aritmetica e che essa risente fortemente dei valori estremi della distribuzione. Cosi pu accadere che se la distribuzione presenta valori anomali (outlier), il valore calcolato non rappresenti affatto l intera distribuzione. Per contenere questo effetto, si puo calcolare la media aritmetica troncata o trimmed mean, ossia una media aritmetica computata solo sui valori centrali della distribuzione. ESEMPIO La media aritmetica troncata e al 50% se viene calcolata la media aritmetica del 50% dei valori centrali di un insieme di osservazioni, ovvero nel calcolo non vengono considerati il 25% dei valori piu piccoli e il 25% dei valori pi alti della distribuzione. La trimmed mean al 90% significa che dal calcolo della media sono stati esclusi il 5% dei valori piu piccoli e il 5% di quelli piu grandi.

4 Il peso in Kg (x) di 8 bambini e il seguente: x = 12, 20, 15, 22, 13, 14, 15, 100. Si calcoli la media aritmetica, la media aritmetica troncata al 50% e si commenti il risultato. n x = x 8 i = x i n 8 = = 26, 375 ordino la variabile peso = 12, 13, 14, 15, 15, 20, 22, 100 In questo caso, si calcola la media aritmetica del 50% dei termini centrali, ossia: peso1 = 14, 15, 15, 20 x = n x i n = 4 x i 4 = 64 4 = 16

5 ALTRE PROPRIETA DELLA MEDIA ARITMETICA La somma degli scarti positivi dalla media aritmetica uguale, in valore assoluto, a quella degli scarti negativi, e quindi la somma algebrica di tutti gli scarti (positivi e negativi) uguale a zero. (x i x) = 0 ESEMPIO: Riprendiamo l es. discusso nell es precedente: Il peso in Kg (x) di 4 bambini e il seguente: peso1 = 14, 15, 15, 20 x = 16 4 (x i 16) = (14 16) + (15 16) + (15 16) + (20 16) = = = 0 PROVATE A VERIFICARE QUESTA PROPRIETA CON I DATI DELL ESEMPIO 1

6 La somma dei quadrati degli scarti dei valori della distribuzione dalla media aritmetica minore della somma dei quadrati degli scarti da qualsiasi numero c. dimostrazione (x i c) 2 = min (x i c) 2 = (x i x + x c) 2 = [(x i x) + (x c)] 2 (x i x) 2 + (x c) (x i x) (x c)

7 per la seguente proprieta quindi.. = (x i x) = 0 (x i x) 2 + (x c) 2 = x 2 i + x 2 2 x i +n(x 2 +c 2 2xc) = x 2 i +nx i 2nx 2 i 2nxc e l equazione di una parabola con concavita rivolta verso l alto e il punto di minimo e x.

8 Se un collettivo di n unita statistiche viene suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti di numerosita tali che n 1, n 2...n L L n h = n h=1 con media x a(1), x a(2),..., x a(l) La media aritmetica generale x a si puo ottenere come media ponderata delle medie dei sottoinsiemi con pesi uguali alle loro numerosita.

9 ESEMPIO oppure x = x = Outline Peso sesso 15 M 10 F 20 M 25 M 15 F 3 x M = x i = = 20 2 x F = x i = = 12, 5 20x3 + 12, 5x = = = = 85 5 = 17

10 La media geometrica e utilizzata quando le osservazioni raccolte sono in progressione geometrica, anche approssimata, come succede spesso nei fenomeni economici. La media geometrica di un insieme di n valori positivi ( n, per i = 1,, n) di un carattere quantitativo X e pari alla radice n esima del prodotto dei singoli valori. In simboli: M g = n x 1, x 2,..., x n = n n x i.. logm g = logx 1 + logx 2,..., +logx n n

11 Un titolo di borsa e stato quotato per quattro settimane successive ai seguenti prezzi (in euro): T = 4, 5, 4.5, 4.7 Calcolare il prezzo medio del titolo.. M g = 4 4 x i = = 4, 53 logm g = logx 1 + logx 2,..., +logx n n = = = = exp( ) = 4, 53