Introduzione. Medie di posizione. Medie analitiche. non richiedono operazioni algebriche sulle modalità Mediana e moda

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Cornelio Pippi
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1 Introduzione Medie di posizione non richiedono operazioni algebriche sulle modalità Mediana e moda Medie analitiche calcolate con operazioni algebriche sulle modalità, richiedono dei caratteri quantitativi Media aritmetica 1

2 Media aritmetica 23 persone osservate secondo il loro reddito mensile Equidistribuisce l ammontare complessivo del carattere Xi reddito ni Xi*ni espresso in migliaia di 1,5 2 3,0 2,0 4 8,0 3,5 3 10,5 5,0 5 25,0 5,5 9 49,5 totale 23 96,0 complessivamente le 23 persone guadagnano al mese ognuna mediamente euro Ammontare complessivo del carattere 2

3 k i 1 x n i n i n i n f i k x i f i 1 i La media assume sempre un valore interno alla distribuzione ossia compreso tra x min e x max La media è sensibile ai dati anomali La media moltiplicata per il numero complessivo delle osservazioni corrisponde all ammontare complessivo del carattere n La somma degli scarti tra i valori x i e la loro media aritmetica è sempre = 0 La somma degli scarti tra i valori xi e la loro media aritmetica elevati al quadrato è minima 3

4 Per capire cosa significa: la media è sensibile ai dati anomali Equidistribuisce l ammontare complessivo del carattere Xi reddito ni Xi*ni espresso in migliaia di 1,5 2 3,0 2,0 4 8,0 3,5 3 10,5 5,0 5 25,0 15, ,5 totale ,0 ognuno mediamente guadagna euro valore che risente dell ultima modalità molto diversa dalle modalità precedenti 4

5 Verifica della prima proprietà della v. scarto dalla media Xi ni Xi*ni Xi-media 1, ,7 2, ,2 3,5 3 10,5-0,7 5, ,8 5,5 9 49,5 1, ,4 Media = 4,174 (Xi-4,2)*ni (Xi-4,174)*ni -5,4-5,348-8,8-8,696-2,1-2, ,130 11,7 11,934-0,6-0,002 Come influiscono gli arrotondamenti sul totale 5

6 Verifica della seconda proprietà della v. scarto dalla media Xi ni (Xi-media)^2*ni (Xi-3,0)^2*ni (Xi-5,0)^2*ni 1,5 2 2,0 4 3,5 3 5,0 5 5, ,30 4,50 24,50 18,90 4,00 36,00 1,36 0,75 6,75 3,41 20,00 0,00 15,83 56,25 2,25 53,80 85,50 69,50 6

7 Calcolo della media tramite il valore centrale della classe Nel caso di una distribuzione di frequenze per un carattere X suddiviso in classi, possiamo approssimare la media utilizzando il valore centrale della classe c j 1 K c jn n j 1 j 7

8 ESEMPIO Prezzi e quantità di farmaci acquistati da un ospedale Valore centrale classe Prezzo a confezione ( ) Numero Confezioni (migliaia) Ammontare carattere (costo) ml. ( ) Totale 40 25*11= *5= *15= *9 = = 1405/40 = (a confezione) (approssimato) 8

9 Mediana può essere individuata anche per caratteri qualitativi ordinabili La mediana è quella modalità che divide il collettivo in due parti uguali. Per individuarla ci basiamo sulla numerosità del collettivo, ossia n n pari si hanno due unità centrali n dispari si ha una sola unità centrale Poiché la mediana è una media di posizione prima di effettuare qualsiasi calcolo e/o ragionamento dobbiamo verificare che la distribuzione sia ordinata Se devo calcolare la mediana in una tabella di frequenze utilizzerò le frequenze cumulate Se le modalità della distribuzione sono raggruppate in classi, individueremo la classe mediana 9

10 Mediana numerosità del collettivo dispari 23 persone osservate secondo il loro reddito mensile Xi reddito ni N i fi Fi in migliaia di 1, ,09 0,09 5,5 totale 2, ,17 0,26 3, ,13 0,39 5, ,22 0, ,39 1,00 Se utilizzo le freq. relative cumulate cerco quella in cui è contenuto 0,5 n=23 una sola unità centrale si individua tramite la posizione (n+1)/2; nel nostro caso corrisponde alla 12 a posizione. La posizione 12 a è occupata dalla modalità 5,0 quindi la mediana vale 5,0 10

11 Mediana numerosità del collettivo pari 100 persone osservate secondo il loro reddito mensile Xi reddito in migliaia di ni N i fi Fi 1, ,10 0,10 2, ,22 0,32 3, ,35 0,67 5, ,15 0,82 5, ,18 1,00 totale 100 1,00 n=100 due unità centrali si individuano tramite la posizione n/2 e (n/2) + 1; nel nostro caso corrispondono alla 50 a e alla 51 a posizione entrambe occupate dalla modalità 3,5 quindi la mediana vale 3,5 Volendo lavorare con le frequenze relative cumulate vado a individuare la modalità a cui corrisponde o che ricomprende Fi=0,5 mediana = 3,5 11

12 Moda può essere individuata per qualsiasi carattere statistico La moda è quella modalità che si presenta con la massima frequenza Per individuarla basta scorrere la colonna delle frequenze e individuare quella maggiore Se le modalità del carattere sono raggruppate in classi individuerò la classe modale Se le classi hanno diversa ampiezza, la classe modale sarà quella che presenta densità di frequenza maggiore Nell esempio precedente (n=100) la moda vale 3,5 12

13 Individuazione della classe modale Sì No, devo considerare la densità di frequenza La classe modale è la e non la come suggerirebbero le frequenze!!!! 13

14 Pregi e difetti di mediana e moda La mediana è meno sensibile ai valori estremi, quindi più adatta a sintetizzare distribuzioni con valori anomali (distribuzioni dei redditi, dei consumi, degli investimenti, etc.) La moda indica la modalità più frequente del carattere ma non dice nulla delle restanti modalità e questo è rilevante quando ho un elevato numero di unità che presentano modalità diverse dalla moda. E dunque sconsigliata nelle distribuzioni con elevato numero di modalità 14

15 I percentili e i quartili I percentili sono quelle modalità che dividono la distribuzione in cento parti di uguale numerosità. I quartili sono quelle modalità che dividono la distribuzione in quattro parti di uguale numerosità. Il primo quartile Q 1 corrisponde al 25 percentile e il terzo quartile Q 3 corrisponde al 75 percentile Il secondo quartile corrisponde alla mediana Tra Q 1 e Q 3 è contenuto il 50% delle unità statistiche Se la distribuzione è raggruppata in classi si individuerà la classe relativa ai quartili 15

16 Quartili 23 persone osservate secondo il loro reddito mensile Xi reddito ni f i F i espresso in migliaia di 1,5 2 0,09 0,09 2,0 4 0,17 0,26 3,5 3 0,13 0,39 5,0 5 0,22 0,61 5,5 9 0,39 1,00 totale 23 Conviene lavorare con le frequenze relative cumulate Q 1 corrisponde alla modalità a cui spetta la F i pari a 0,25 Q 3 corrisponde alla modalità a cui spetta la F i pari a 0,75 Q 1 = 2,0 Q 3 = 5,5 16

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