LE MEDIE DI POSIZIONE

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1 - Medie Algebriche o Potenziate se la determinazione della media avviene utilizzando tutti i valori della distribuzione; - Medie lasche (: Medie di Posizione e Moda) se la determinazione della media avviene utilizzando solo uno o alcuni valori della distribuzione. LE MEDIE DI POSIZIONE Definizione di MEDIANA: si definisce mediana quel termine che, nella successione ordinata dei valori, occupa la posizione centrale, ovvero quel termine che è preceduto e seguito dal 50% dei valori osservati. CALCOLO DELLA MEDIANA DI X I)X variabile discreta a) dati semplici m -n numero dispari: e = x n+ ( ) -n numero pari: x n me x n ( ) ( + ) oppure la mediana può essere data dalla semisomma degli estremi.

2 b) dati ponderati: si procede in modo analogo al caso di dati semplici sostituendo ad n la somma delle frequenze N ed utilizzando le frequenze cumulate. -N numero dispari: m e = x N + ( ) -N numero pari: x N me x N ( ) ( + ) Osservazione: la Mediana si può applicare anche a caratteri qualitativi, purchè su scala ordinale. II)X variabile continua-valori divisi in classi: dapprima si individua la classe mediana secondo il procedimento al punto I) e poi, ipotizzando che all interno della classe mediana i valori siano uniformemente distribuiti, si determina la mediana al suo interno nel seguente modo: -se N è un numero dispari: xs+ xs ) N + me = xs + ( f s ( s i= f i ) -se N è un numero pari: ' xs xs ) N me = xs + ( f s ( + = s i f i )

3 m '' e = x s + s ( x ) ( s+ xs N + fs i= f ) i ' me + Da cui me = m '' e Dati relativi ad alcune regioni italiane (: variabile Y n. di aziende di un certo settore economico): Determinare la Mediana di Y. Regioni y Piemonte 606 Lombardia 974 Trentino A.A. 53 Friuli V.G. 3 Liguria 5 Emilia R. 556 Marche 338 Lazio 035 Molise 69 Calabria 405 Sardegna 38 y y ORD y () Trentino y (6) Marche y () Lazio

4 Innanzitutto bisogna ordinare i valori di Y, quindi si considera n (: n=), che è un numero dispari: Med(y)=y n = y = y + (6)=338 + Sui seguenti valori determinare la Mediana di X: x I valori di X sono ordinati. Poiché n=6 è pari, allora: x n/ Med(x) x n/+ x 3 Med(x) x 4 5 Med(x) 35 Ovvero, volendo approssimare: Med(x)= =30 Sui seguenti valori Determinare la Mediana di X. x f(x)

5 x f(x) F(x) N=90 n.pari, allora: x N/ Med(x) x N/+ x 95 Med(x) x 96 Dalle frequenze cumulate F(x) si deduce: x 95 = e x 96 = Quindi Med(x)= La durata in mesi x di una partita di batterie (000) è risultata la seguente: Sui dati precedenti calcolare la Mediana di x. x f(x) F(x) N=000 n.pari, allora: x f(x) x N/ Med(x) x N/+

6 x 500 Med(x) x 50 Dalle frequenze cumulate F(x) si deduce che entrambi i termini appartengono alla classe 3-6. Allora ( 6 3) x 500 =3+ (500-30)=5,7 300 ( 6 3) x 50 =3+ (50-30)=5, ,7 Med(x) 5,7 5,7 + 5,7 Ovvero, volendo approssimare: Med(x)= =5,705 LE PROPRIETA DELLA MEDIANA I PROPRIETA : la mediana minimizza la somma degli scarti assoluti: la quantità D = n i= x i A è minima se A=Med(x). Quindi la Mediana è il Centro di grado. Ne consegue che la mediana consente la miglior allocazione di un servizio destinato a più utenti. II PROPRIETA : la mediana non risulta influenzata da eventuali valori anomali presenti nella distribuzione.

7 Definizione di PERCENTILE: in una successione ordinata di valori si dice percentile il termine che ripartisce la distribuzione nella percentuale prefissata, ovvero in modo che la percentuale prefissata di dati non superi tale valore e che la percentuale complementare dei dati comprenda tutti gli elementi maggiori. Variabile discreta (dati semplici): x % =x %(n) Variabile discreta (dati ponderati): x % =x %(N) Variabile continua in classi: x s ( x = = + s+ xs) x%( N ) xs %( N fs i= % ) f i Sui seguenti valori x f(x) Determinare il 70 Percentile di X.

8 x f(x) F(x) Calcolo del 70 percentile x 70% : Il 70% di N=90 è 33, quindi x 70% =x (33) =4 dalle frequenze cumulate. Dati i seguenti valori x e le rispettive frequenze f(x) Calcolare il 0 Percentile. x f(x) F(x) Calcolo del 0 percentile x 0% : x f(x) Il 0% di N=00 è 0, quindi x 0% =x (0) = dalle frequenze cumulate. Sui seguenti valori

9 x f(x) x 5 <x <x <x 8 70 x>8 0 Calcolare il 90 Percentile della variabile X. x f(x) F(x) x 5 5 <x <x <x x> Calcolo del 90 percentile: il 90% di N=500 è 450, quindi si deduce dalle frequenze cumulate che x 90% =x (450) appartiene alla classe 6-8. Allora: ( 8 6) x 450 =6+ (450-40)= 6, La durata in mesi x di una partita di batterie (000) è risultata la seguente: x f(x) Sui dati precedenti calcolare il 75 Percentile di x.

10 x f(x) F(x) Il 75% di N=000 è 750, quindi si deduce dalle frequenze cumulate che x 75% =x (750) appartiene alla classe 6-. Allora: ( 6) x 750 =6+ ( )=0,5 30

11 Definizione di QUARTILE: in una successione ordinata di valori si dicono quartili quei termini che ripartiscono la distribuzione in 4 parti uguali: Q =x /4 =x 5% Q =x / =x 50% Mediana(x) Q 3 =x 3/4 =x 75% Q 4 =x 4/4 =x 00% (è l ultimo termine della distribuzione) Nella tabella che segue vengono indicate le distribuzioni per classi di età dei suicidi e dei tentativi di suicidio verificatisi nel 987 nell ambito della popolazione femminile (fonte ISTAT 988). Confrontare i Quartili delle due distribuzioni. età X SUICIDI f(x) TENTATIVI di SUICIDIO f'(x) F(x) F'(x) TOTALI 8 33

12 Per la distribuzione dei SUICIDI: Q =4; Q =56; Q 3 =70 Q 4 =85 SUICIDI Per la distribuzione dei TENTATIVI di SUICIDIO: Q =4; Q =36; Q 3 =5; Q 4 =85 TENTATIVI di SUICIDIO

13 Definizione di MODA: data la distribuzione di frequenze relativa ad un certo carattere, si definisce moda la modalità di quel carattere che si presenta con la massima frequenza. Sui seguenti valori Determinare la Moda. x f(x) Moda(x)=, termine della distribuzione cui corrisponde la massima frequenza. Sui seguenti valori x f(x) 0<x 5 <x <x <x <x 0 0 Calcolare la Moda. MODA(x): Classe modale(x)= classe 4-6 cui corrisponde la massima frequenza, pari a 355 (in questa situazione non è necessario il calcolo delle Densità di frequenza poiché le classi sono tutte di ampiezza uguale e pari a ).

14 FUNZIONE DI DANNO n D = x i A i= s Si definisce centro di grado s la quantità A che minimizza la funzione di danno D. Si dimostra che: la Moda è il Centro di grado 0. la Mediana è il Centro di grado. la Media Aritmetica è il Centro di grado.