Materiale didattico per il corso di Statistica I Seconda esercitazione

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1 Materiale didattico per il corso di Statistica I Seconda esercitazione Claudia Furlan 1 Anno Accademico Ringrazio Carlo Gaetan, Nicola Sartori e Aldo Solari per il materiale, aggiunte e correzioni.

2 0.1 Misure di variabilità (e di posizione) Esercizio 1 In un gruppo di 20 persone sono state rilevate due variabili, il sesso e l età In relazione all età: F M M M F M F F M F M F M F M M M F F F 1. Calcolare media, varianza, scarto quadratico medio, campo di variazione, scarto interquantile e coefficiente di variazione. 2. Si chiamino y i i valori originari e z i quelli standardizzati: si trovino media e varianza degli z i attraverso le corrispondenti quantità degli y i. 3. Utilizzando la distribuzione per classi dell età (classi 19-29, 30-44, 45-59, 60 e oltre), della prima esercitazione, calcolare media, varianza, scarto quadratico medio, scarto interquantile e coefficiente di variazione. Confrontare i risultati con quelli trovati utilizzando i dati originari e commentare. Esercizio 2 Una fabbrica di televisori produce due tipi di tubi catodici: il tipo A e il tipo B. I tubi catodici hanno tempi di durata media, rispettivamente di 1495 ore e 1875 ore e scarti quadratici medi rispettivamente di 280 ore e 310 ore. In generale, è preferibile il tubo catodico che ha la durata più alta e variabilità più bassa. Quale dei due tubi catodici è preferibile? Esercizio 3 Per 4 osservazioni, la somma dei quadrati degli scarti da un valore K = media + 3 è uguale a 100. Se il coefficiente di variazione è uguale a 0.20, calcolare la media e la varianza di queste 4 osservazioni. Esercizio 4 I seguenti dati sono relativi ai minuti di ritardo con cui un treno è arrivato a destinazione negli ultimi dieci giorni (un numero negativo sta ad indicare che il treno è arrivato in anticipo per i minuti corrispondenti): Se foste assunti dalle ferrovie per mostrare che le ferrovie forniscono un buon servizio quali misure di posizione usereste? 2. Se foste assunti da una televisione locale per mostrare che le ferrovie forniscono un cattivo servizio quali misure di posizione usereste? 3. Se cercaste di essere obiettivi e imparziali nel valutare le ferrovie, quali misure di posizione usereste? 4. Calcolate il campo di variazione, la varianza, lo scarto quadratico medio e il coefficiente di variazione per il ritardo (in minuti). 5. Commentate la variabilità dei dati. 1

3 6. Quale sarebbe l effetto sulle vostre conclusioni in (a)-(e) se al posto di 124 si fosse scorrettamente rilevato 12? 7. Descrivete la forma della distribuzione dei dati originari. 8. Descrivete la forma della distribuzione dei dati se a 124 è sostituito Calcolate la funzione di ripartizione empirica e dire se la funzione di ripartizione vale 0 in 0, 1 in 124, 1 in 140. Esercizio 5 Dire se gli indici elencati di seguito possono o non possono essere interpretati come una misura di posizione oppure di variabilità di un certo insieme di dati tutti positivi, y 1,..., y n (Q i indica il quartile i-simo): 1. 1 n 2 n i=1 n j=1 (y i y j ); 2. Q 2 Q 1 + Q 2 Q 3 ; 3. exp { 1 n n i=1 log(y i) } 0.2 Variabili categoriali e Tabelle di contingenza Esercizio 6 In un negozio di abbigliamento si è registrato che capi venivano venduti in un particolare giorno. Il risultato è stato: P, P, M, G, P, M, M, G, P, G, G, M, P, M, M, G, M dove P =pantalone, G=giacca, M =maglia. 1. calcolare la distribuzione delle frequenze assolute e relative; disegnare il diagramma a barre. 2. identificare la moda. 3. calcolare l indice di Gini normalizzato e l entropia di Shannon normalizzata. Esercizio 7 La seguente tabella si riferisce alla distribuzione della popolazione residente attiva (in migliaia di unità) per settore di attività (Censimento generale della popolazione italiana, 1961 e 1971). m i Agricoltura, foreste, caccia, pesca Industrie Altre attività f i f i In riferimento sia al 1961 sia al 1971: Disegnare i relativi diagrammi a barre e identificare le relative mode. Calcolare l indice di Gini normalizzato e l indice di Shannon normalizzato. Commentare. 2

4 Esercizio 8 In un gruppo di 50 soggetti classificati secondo la loro attitudine al fumo, è stata registrata la presenza di una affezione bronchiale. Nel seguente prospetto sono riportati i risultati dello studio, tenendo presente che la variabile Affezione bronchiale presenta modalità 0 o 1 (assenza o presenza di affezione) e la variabile Attitudine al fumo ha modalità codificate con 1, 2 e 3, dove 1 sta ad indicare un non fumatore, 2 un ex fumatore e 3 un fumatore. Affezione bronchiale Attitudine fumo Affezione bronchiale Attitudine fumo Affezione bronchiale Attitudine fumo Affezione bronchiale Attitudine fumo Si costruisca la tabella di contingenza. Identificare le distribuzioni marginali dell Affezione bronchiale e dell Attitudine al fumo; rappresentarle secondo un diagramma a barre. In entrambi i casi, identificare la moda e calcolare l indice di Gini normalizzato e l Entropia di Shannon normalizzata. Commentare. Calcolare la distribuzione condizionata dell Affezione bronchiale data l Attidudine al fumo e la distribuzione condizionata dell Attitudine al fumo data l Affezione bronchiale. Rappresentarle secondo opportuni diagrammi a barre. Valutare l esistenza di un associazione tra affezione bronchiale e attitudine al fumo. Esercizio 9 In un sondaggio riguardante un certo problema politico, si voleva sapere se i votanti Conservatori vedessero il problema differentemente da quelli Laburisti. Sono stati considerati 250 individui, ottenendo i seguenti risultati: Partito/Opinione Contrari Incerti Favorevoli Totale Conservatori Laburisti Totale Si calcolino le distribuzioni marginali e condizionate e le si rappresentino graficamente. Si verifichi se la differenza di opinione non è dovuta alla preferenza politica. 3

5 Esercizio 10 Su 18 pazienti sottoposti a chemioterapia è stata registrata la diminuzione della massa tumorale intervenuta a seguito della somministrazione di dosi crescenti di un farmaco chemioterapico. I risultati sono raccolti nella seguente tabella Diminuzione Dose Nulla Parziale Completa Supponendo fissate le distribuzioni marginali della Tabella, si derivino le frequenze assolute della distribuzione nell ipotesi di indipendenza in distribuzione. Si calcoli un indice per valutare la dipendenza in distribuzione tra la dose somministrata e la diminuzione della massa tumorale. Esercizio 11 Per verificare l effetto di un farmaco anti-emicrania, 100 pazienti sono stati trattati con il farmaco sotto studio mentre 200 sono stati trattati con il farmaco in uso al momento dello studio. Poi per ciascun paziente è stata raccolta la risposta codificata come nessun effetto, dolore diminuito, dolore assente. I risultati sono sintetizzati nella seguente tabella: farmaco nessun effetto dolore diminuito dolore assente nuovo vecchio Rappresentare graficamente i dati. 2. Analizzare la tabella con gli strumenti a voi noti. 4

6 Esercizio 12 Nella tabella che segue viene mostrata una classificazione di 254 famiglie italiane secondo i valori assunti dalle due variabili Reddito annuo e Azioni acquistate nell ultimo anno. Azioni Reddito Totale R 1 R 2 A A A Totale Le modalità assunte dalle due variabili sono le seguenti: A 1 Non sono state acquistate azioni Azioni = A 2 Acquistate azioni per un valore inferiore a 10 milioni A 3 Acquistate azioni per un valore superiore a 10 milioni Reddito = { R1 Reddito inferiore ai 25 milioni annui R 2 Reddito superiore ai 25 milioni annui 1. Si rappresentino graficamente i dati. 2. Si verifichi se i dati nella tabella suggeriscono una associazione tra il reddito e le azioni acquistate. Esercizio 13 In tre distributori di benzina ubicati in punti distinti di una città è stato rilevato, per 20 giorni consecutivi, l incasso giornaliero. I risultati sono mostrati nella tabella seguente: Incasso Distributore (Euro/10) A B C Totale Totale Valutare l esistenza di un associazione tra gli incassi e il luogo in cui è situato il distributore. 5